Newton- cotes公式(续) 记p()=(+k)+k-1)…u(-1)…u-k+1)(u-k) (-u0)=(+k)(l+k-)·()(u-1)(-k+)(l-) (1) 2k+ (l-k)(l-k+1)…(u+1)(uk-1)l+k) =(-1)2+()=-0(l) 从而,q()为奇函数。 故{[Pn]=0,即当n为偶数时,Ne〃 ton - Cotes 公式至少有n+1次代数精度 2004-11-1 26
2004-11-1 26 Newton-cotes公式 （续） 记ϕ(u) = (u +k)(u +k −1)Lu(u −1)L(u −k +1)(u −k) ϕ(−u)=(−u+k)(−u+k−1)L(−u)(−u−1)L(−u−k+1)(−u−k) 1 ( )( 1) ( 1) ( 1)( ) 2 1 u k u k u u u k u k k = − − − + + + − + （ ）+ L L 1 ( ) ( ) 2 1 u u k = − ϕ = −ϕ （ ） + 从而，ϕ(u)为奇函数。 故 ，即当n为偶数时，Newton—Cotes 公式至少有n+1次代数精度。 [ ] 0 R Pn+1 =
几种低阶求积公式的截断误差 1.若x)在[ab]上有二阶连续导数,梯形求积公式 有下列误差估计: 风门]=f(x)ax If (a+f(bl 2 (b-a)3 f"(n)a≤n≤b 证:由R/ bf"() (x-a)(x-b)(hx,2赖于x 2004-11-1
2004-11-1 27 三.几种低阶求积公式的截断误差 1.若f(x)在[a,b]上有二阶连续导数，梯形求积公式 有下列误差估计： f a b b a f a f b b a R f f x dx b a ≤ ≤ − = − + − = − ∫ （η） η （ ） （ ） （ ） （ ） '' 12 [ ] 2 [ ] 3 证： ( )( ) , 2! ''( ) [ ] x a x b dx f R f b a = − − ∫ ξ 由 ξ依赖于x
几种低阶求积公式的截断误差(续) 注意到()是倚赖于x的函数,且在a,b上 连续,(x-a)(x-b)≤0,故运用积分中值定理, 在[a,b上存在一点,使得: f"(E(x-a(x-b)dx=f"(n)(x-a)(x-b)dx f"(m)b-a)(a≤n≤b) R[] (b-a)3 2004-11-1 28
2004-11-1 28 几种低阶求积公式的截断误差 （续） 注意到 f ′′(ξ ) 是倚赖于x的函数，且在[a,b]上 连续， 故运用积分 中值定理， 在 [a,b]上存在一点 使得： (x − a)(x − b) ≤ 0, η, ''( )( ) ( ) 61 ''( )( )( ) ''( ) ( )( ) 3 f b a a b f x a x b dx f x a x b dx b a b a = − − ≤ ≤ − − = − − ∫ ∫ η η ξ η 3 ( ) 12 ''( ) [ ] b a f ∴ R f = − − η
几种低阶求积公式的截断误差(续) 2.若x在[a,b]上有四阶连续导数 辛浦生公式有下列误差估计: 风门=f(x)h、(b-a atb [f(a)+4f )+f(b) b-a b-a)f(> 1802 (b-a)3 f(n 2880 7≤b 2004-11-1
2004-11-1 29 几种低阶求积公式的截断误差 （续） 2.若f(x)在[a，b]上有四阶连续导数， 辛浦生公式有下列误差估计： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） η η 4 5 4 (4) 2880 180 2 ] 2 [ 4 6 [ ] f b a f b a b a f b a b f a f b a R f f x dx b a − = − − − = − + + + − = − ∫ a ≤η ≤ b
几种低阶求积公式的截断误差(续) 证: 由于辛浦生公式的代数精度为3,为此构造次数≤3 的多项式H3(x),使满足: H2(a)=f(a)H3(b)=f(b) h、a+b a+b a+b a+b )=f(-)H3(“)=f( 2 由于H(b-a, +6 [H3(a)+4H3(x)+H2(b) 2 a+b、 f(x)=H2(x)+ f(5) x-ax 4 2004-11-1
2004-11-1 30 几种低阶求积公式的截断误差 （续） H3 (a) = f（a） H3 (b) = f（b） ) 2 ) ( 2 ( 2 2 3 3 a b f a b H a b f a b H + = ′ + ′ + = + （ ） （ ） ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 ( ) 3 3 3 3 H b a b H a H b a H x dx ba + + + − = 由于∫ ) ( ) 2 ( )( 4!( ) ( ) ( ) 2 (4) 3 x b a b x a x f f x H x − + = + − − ξ 由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造次数≤ 3 的多项式 H3 (x) ，使满足： 证：