插值型求积公式(续 n+1 由f(x)=∑4(x)/(x)+ n+1 k=0 n (k=21(x+(2o,(k k=0 n+ (n+ ∑Af(x)+ n n 其中,系数4=4(xk=∏ X-x dx i=0(k i≠k 2004-11-1 16
2004-11-1 16 插值型求积公式 （续） 由 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 x nf f x l x f x n n n k k k + + = + = ∑ + ω ξ x dx n f f x dx l x f x dx b a b a n n b a n k ∫ ∫ ∫ ∑ k k + + = + = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 0 ω ξ ∑ ∫ + + = + = + b a n n n k k k x dx n f A f x ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) 0 ω ξ ∫ ∫ ∏ ≠ = − − = = b a n i k i k i i b a k k dx x x x x A l x dx 0 ( ) ( ) 其中，系数 ( )
插值型求积公式(续 截断误差 Rlf]=So(5II(x-x, dx n 0 当求积系数由A=1(x)tx 所唯一确定时,所得的求积公式称为插值型求 积公式 Remark:由截断误差可知,插值型求积公式 至少具有n次代数精度 2004-11-1 17
2004-11-1 17 插值型求积公式 （续） ∫ = ba k k 当求积系数由 A l (x)dx 截断误差 ∫ ∏ = + − + = b a n i i n f x x dx n R f 0 ( 1) ( ) ( ) ( 1)! 1 [ ] ξ 所唯一确定时，所得的求积公式称为插值型求 积公式。 Remark：由截断误差可知，插值型求积公式 至少具有n次代数精度
二. Newton- cotes公式 将a,b分为n等份,h=(b-a)/m 取节点xk=a+Mh(k=0,1,n) 由 Lagrange插值公式,可得 0,(X A2=[4(x)dx n+ X n+1 系数Ak可以进一步表示: 2004-11-1 18
2004-11-1 18 二. Newton-cotes公式 将[a，b]分为n等份， 取节点 xk = a + kh（k＝0,1,…,n） h = (b − a) n 由Lagrange插值公式，可得 ∫ ∫ + + − ′ = = b a b a k n k n k k dx x x x x A l x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ω ω 系数 Ak 可以进一步表示：
Newton- cotes公式(续) a+hh(k=0,1,…,n) 令x=a+m即有dkx=hdl[a,b<>[0,m k=(t-k) 故On1(x)=(x-x0)…(x-xn)=h1(t-1)…(t-n) On+1(xk)=(xk-x0)…(x=x1)(xk=x+1)…(xk-x2) hk(k-1)…1(-1)(-2)…(-(n-k) h"k(-1)”(n-k) 2004-11-1 19
2004-11-1 19 Newton-cotes公式 （续） x a kh (k 0,1, ,n) Q k = + = L 令x=a+th即有 dx=hdt [a,b] ↔ [0, n] x x t k h k − = ( − ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 1 x x x0 x x h t t t n n n = − − n = − − + 故ω + L L ( ) ( ) ( )( ) ( ) n 1 k k 0 k k 1 k k 1 k n ′ x = x − x x − x x − x x − x ω + L − + L h k(k 1) 1 ( 1)( 2) ( (n k)) n = − L ⋅ − − L − − h k!( 1) (n k)! n n k = − − −
Newton- cotes公式(续) 故 n+1 h (t-1)…(t-n) 0(t-kh1(-1)”(n-k) (t-1)…t=(k-1)[t-(k+1)…(t-n)b k!(n-k)! o (b-a) (-1)y-k (t-1)…(t-k+1)(t-k-1)…(t-n)dt nk!(n-k)! Jo (b-a) (n 2004-11-1 20
2004-11-1 20 Newton-cotes公式 （续） 故 ∫ ⋅ − ⋅ − − − − = − + n n n k n k hdt t k h h k n k h t t t n A 0 1 ( ) !( 1) ( )! ( 1)L( ) ∫ − − − − + − − − = − n n k t t t k t k t n dt k n k h 0 ( 1) [ ( 1)][ ( 1)] ( ) !( )! ( 1) L L ∫ − − + − − − − − = − − n n k t t t k t k t n dt nk n k b a 0 ( 1) ( 1)( 1) ( ) !( )! ( 1) ( ) L L ( ) ( ) nk = b − a c