求积公式的代数精确度(续) h xx=-[0+h]+h[1-1 故令求积公式对fx)=x2成立,即 xdx=-[0+h2]+amh2(2×0-2h) 2 得O 12 2004-11-1 11
2004-11-1 11 求积公式的代数精确度（续） ∫ = + + − h h h h xdx 0 2 [0 ] [1 1] 2 α 故令求积公式对f(x)=x2成立,即 ∫ = + + × − h h h h h x dx 0 2 2 2 [0 ] (2 0 2 ) 2 α 12 1 得 α =
求积公式的代数精确度(续) 将f(x)=x3代入已求得的求积公式,显然 xx=-0+h]+[0-3h2] 12 令f(x)=x4 h xx≠[0+h]+[0-4h] 12 h 故!八x)2(0+()+12(0)-(的 具有三次代数精度 2004-11-1 12
2004-11-1 12 求积公式的代数精确度（续） 3 将 f (x) = x 代入已求得的求积公式，显然 [0 4 ] 12 [0 ] 2 3 2 4 0 4 h h h h x dx h ≠ + + − ∫ ∫ ≈ + + ′ − ′ h f f h h f f h h f x dx 0 2 [ (0) ( )] 12 [ (0) ( )] 2 故 ( ) 具有三次代数精度。 [0 3 ] 12 [0 ] 2 2 2 3 0 3 h h h h x dx h = + + − ∫ 令 4 f (x) = x
收敛性与稳定性 如果mn∑Af(x)=f(x)dk(mR门=0 k=0 n→ 其中h=max(x-x1),则称该求积公式是收敛的 如果求积公式对舍入误差不敏感(误差能够控 制),则称该求积公式是稳定的 个求积公式首先应该是收敛的,其次应该是 稳定的。 2004-11-1 13
2004-11-1 13 三.收敛性与稳定性 lim ( ) ( ) (lim [ ] 0), 0 0 = = → ∞ → = → ∞ ∑ ∫ A f x f x dx R f nh n k ba k k 如果n 如果求积公式对舍入误差不敏感（误差能够控 制），则称该求积公式是稳定的。 其中 h = max 1≤i≤n (xi − xi−1)，则称该求积公式是收敛的。 一个求积公式首先应该是收敛的，其次应该是 稳定的
收敛性与稳定性(续) 设计算f(x)时有绝对误差,即f(xk)f(xk)=6k 则()=∑4f(x)-∑4/(x) k=0 k=0 n ∑4as∑A|a k=0 k=0 取E= maxi若A>0(k=01…nm) 0<k<n 则e(1)≤∑4=(b-a k=0 故当系数A全为正时,求积公式是稳定的 2004-11-1
2004-11-1 14 收敛性与稳定性（续） 则 ∑ ∑ = = = − n k n k n k k k k e I A f x A f x 0 0 * ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = = ≤ n k k k n k Ak k A 0 0 ε ε ∑ = ≤ = − n k n k e I A b a 0 则 ( ) ε ( )ε 设计算 f (xk ) 时有绝对误差ε k ，即 ( ) ( ) . * k k k f x − f x = ε n k n ε ε ≤ ≤ = 0max A 0(k 0,1, ,n) 取 若 k > = L 故当系数 Ak全为正时，求积公式是稳定的
§42 Newton cotes公式 插值型求积公式 找到一个足够精度的简单函数p(x)代替(x),于是 有∫。∫(x)JP(x),把p(x)取成插值多项式, 则可得到插值型求积公式。 设给定节点a≤x0<x1<x2<…<xn≤b 并已知这些节点上的函数值f(x)(k=0,1,…,n) 2004-11-1 15
2004-11-1 15 §4.2 Newton Cotes 公式 一 .插值型求积公式 找到一个足够精度的简单函数p(x)代替f(x) ，于是 ∫ ∫ ≈ ba ba 有 f ( x ) dx p ( x ) dx ,把p(x)取成插值多项式， 则可得到插值型求积公式。 设给定节点 a x x x x b ≤ 0 < 1 < 2 < L < n ≤ f (x ) (k 0,1, , n) 并已知这些节点上的函数值 k = L