第5章流形上的微积分本章研究流形上的微分形式及其积分理论：在多元积分中学过的涉及曲线、曲面积分的几个基本定理（Green公式，Gauss公式，Stokes公式)，将被统一推广到任意维数的流形不过，因为维数的升高，仅仅使用向量运算（梯度、散度、旋度）已经不够了，为此，需要先引人多重线性代数的几个基本概念：张量、形式及其运算5.1张量与微分形式5.1.1作为多重线性映射的张量多重线性映射先给出多重线性映射的概念，它是熟悉的线性映射以及双线性映射的推广定义5.1.1.（多重线性映射）设Vi,,V,W为有限维线性空间．若映射TVi××Vk→W对每一分量都满足线性性，即对每一个i与任意固定的向量V1EVi,，Ui-1EVi-1,Ui+iEVi+1,,kEVk，映射T, : V →V, Vi-T(U1,..., u,...,vk)是线性的，则称T是多重线性映射注意如果Ti,T2都是从Vi×·.·×V到W的多重线性映射，那么它们的线性组合也同样是多重线性映射.故所有从Vi×·×Vs到W的多重线性映射组成一个向量空间下面主要考虑W=R(或其他数域，而V都是该数域上的线性空间）的情形，此时多重线性映射被称为多重线性函数.若T是Vi×.×V上的多重线性函数，而S是Vs+1××Vk+1上的多重线性函数，则可以定义它们的张量积TS为Vi××Vs+上由下式定义的多重线性函数，(T S)(U1,**.,Uk+) = T(u1,***,Uk)S(Uk+1,*,Uk+)不难验证，多重线性函数的张量积运算是一个双线性映射，并且满足结合律：(TS)R-T(SR)于是可以定义更多的多重线性函数的张量积.例5.1.2.给定对偶空间的元素fEV，，fkeV，令fl?...fh :Vix...xVh →R,(u1,..,vk) -f'(ui)... fk(uk)显然fl·.·fk是一个多重线性映射.注意由定义，对每个1≤i≤k与入ER，都有fl@...@fi-1@afifi+l@...@fk-afl@..@fi-1@fi@fi+1@...@fk
第 5 章 流形上的微积分 本章研究流形上的微分形式及其积分理论. 在多元积分中学过的涉及曲线、曲面积 分的几个基本定理 (Green 公式，Gauss 公式，Stokes 公式)，将被统一推广到任意维数的流形. 不过，因为维数的升高，仅仅使用向量运算 (梯度、散度、旋度) 已经不够了. 为此，需要先 引入多重线性代数的几个基本概念：张量、形式及其运算. 5.1 张量与微分形式 5.1.1 作为多重线性映射的张量 ¶ 多重线性映射 先给出多重线性映射的概念，它是熟悉的线性映射以及双线性映射的推广： 定义 5.1.1. （多重线性映射） ♣ 设 V1, · · · , Vk, W 为有限维线性空间. 若映射 T : V1 × · · · × Vk → W 对每一分量 都满足线性性, 即对每一个 i 与任意固定的向量 v1 ∈ V1, · · · , vi−1 ∈ Vi−1, vi+1 ∈ Vi+1, · · · , vk ∈ Vk, 映射 Ti : Vi → V, vi 7→ T(v1, · · · , vi , · · · , vk) 是线性的, 则称 T 是 多重线性映射. 注意如果 T1, T2 都是从 V1 × · · · × Vk 到 W 的多重线性映射, 那么它们的线性组合 也同样是多重线性映射. 故所有从 V1 × · · · × Vk 到 W 的多重线性映射组成一个向量空 间. 下面主要考虑 W = R(或其他数域，而 Vi 都是该数域上的线性空间) 的情形，此时多重 线性映射被称为多重线性函数. 若 T 是 V1 × · · · × Vk 上的多重线性函数，而 S 是 Vk+1 × · · · × Vk+l 上的多重线性函数，则可以定义它们的张量积T ⊗ S 为 V1 × · · · × Vk+l 上由下式定义的多重线性函数， (T ⊗ S)(v1, · · · , vk+l) = T(v1, · · · , vk)S(vk+1, · · · , vk+l). 不难验证，多重线性函数的张量积运算是一个双线性映射，并且满足结合律: (T ⊗ S) ⊗ R = T ⊗ (S ⊗ R), 于是可以定义更多的多重线性函数的张量积. 例 5.1.2. 给定对偶空间的元素 f 1 ∈ V ∗ 1 , · · · , f k ∈ V ∗ k , 令 f 1 ⊗ · · · ⊗ f k : V1 × · · · × Vk → R, (v1, · · · , vk) 7→ f 1 (v1)· · · f k (vk). 显然 f 1 ⊗ · · · ⊗ f k 是一个多重线性映射. 注意由定义, 对每个 1 ≤ i ≤ k 与 λ ∈ R, 都有 f 1 ⊗ · · · ⊗ f i−1 ⊗ λfi ⊗ f i+1 ⊗ · · · ⊗ f k = λf 1 ⊗ · · · ⊗ f i−1 ⊗ f i ⊗ f i+1 ⊗ · · · ⊗ f k
5.1张量与微分形式不出所料的是，任意多重线性函数是这种特殊多重线性函数的线性组合：定理5.1.3.（多重线性函数空间的基）设（f,,fn(")) 是V的一组基.那么下面这组多重线性函数(fi @ fiz @..-@fik|1 ≤ij <n(i))构成了ViX·×V上的多重线性函数空间的一组基8证明对于V中的基(f，fn，记V中对应的对偶基为[ei,en()]对任意多重指标I=（i，），记Fl=fif?fk注意到F()-,所以这些多重线性函数FI都是线性无关的：进一步，对Vi××V上任意多重线性函数T，如果令TI=T(ei，.,e)，并考虑多重线性函数S=T-Z,TF,那么对任意多重指标J=（i,...,jk）均有S(el，..·，eh）=0.由多重线性性可知口S=0.换句话说，T=TFI是FI的线性组合，张量下面考虑所有Vi，，Vs均为某个有限维线性空间V或者其对偶空间V*的情形，并把V*×+*×V*×V×·×V上的所有多重线性函数所组成的空间记为αlkV-V&...@V&V*&...&Vk其元素称为V上的（1,k)-型张量根据定理5.1.3，若[ei,.,em】为V的一组基而{fl,,fm】为V*中的对偶基，则空间kV的一组基为[en?...?ein@ fi@...@fjk[l<i,...,i,ji,...,ji<m]于是，dimkV=ml+k.此外，可以自然定义张量积运算@:@l1,k1V × @l2,k2y- @l1+l2.ki+k2v.特别地，记8loV := 8'V,@okV=kV*注意根据定义，有@1.0V = V,0,1V=V*.当k=0时，规定V=R.注5.1.4.对于（可能是无穷维的）抽象向量空间而言，不能将V当成（V*）*，但是依然可以代数地定义张量积如下：首先定义VW为商空间VW= F(V×W)/ ~,128
5.1 张量与微分形式 不出所料的是, 任意多重线性函数是这种特殊多重线性函数的线性组合: 定理 5.1.3. （多重线性函数空间的基） ♥ 设 {f 1 i , · · · , fn(i) i } 是 V ∗ i 的一组基. 那么下面这组多重线性函数 {f i1 1 ⊗ f i2 2 ⊗ · · · ⊗ f ik k | 1 ≤ ij ≤ n(j)} 构成了 V1 × · · · × Vk 上的多重线性函数空间的一组基. 证明 对于 V ∗ i 中的基 {f 1 i , · · · , fn(i) i }，记 V 中对应的对偶基为 {e i 1 , · · · , ei n(i) }. 对任意 多重指标 I = (i1, · · · , ik), 记 F I = f i1 1 ⊗ f i2 2 ⊗ · · · ⊗ f ik k . 注意到 F I (e 1 j1 , · · · , ek jk ) = δ i1,··· ,ik j1,··· ,jk , 所以这些多重线性函数 F I 都是线性无关的. 进一步, 对 V1 × · · · × Vk 上任意多重线性函数 T, 如果令 TI = T(e 1 i1 , · · · , ek ik ), 并考 虑多重线性函数 S = T − X I TIF I , 那么对任意多重指标 J = (j1, · · · , jk) 均有 S(e 1 j1 , · · · , ek jk ) = 0. 由多重线性性可知 S ≡ 0. 换句话说, T = PTIF I 是 F I 的线性组合. □ ¶ 张量 下面考虑所有 V1, · · · , Vk 均为某个有限维线性空间 V 或者其对偶空间 V ∗ 的情形， 并把 V ∗ × · · · × V ∗ × V × · · · × V 上的所有多重线性函数所组成的空间记为 ⊗ l,kV = V ⊗ · · · ⊗ V | {z } l ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ | {z } k , 其元素称为 V 上的 (l, k)-型张量. 根据定理5.1.3，若 {e1, · · · , em} 为 V 的一组基而 {f 1 , · · · , fm} 为 V ∗ 中的对偶基，则空间 ⊗l,kV 的一组基为 {ei1 ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f jk | 1 ≤ i1, · · · , il , j1, · · · , jl ≤ m}. 于是，dim ⊗l,kV = ml+k . 此外，可以自然定义张量积运算 ⊗ : ⊗ l1,k1 V × ⊗l2,k2 V → ⊗l1+l2,k1+k2 V. 特别地，记 ⊗ l,0V := ⊗ lV, ⊗ 0,kV = ⊗ kV ∗ . 注意根据定义，有 ⊗ 1,0V = V, ⊗ 0,1V = V ∗ . 当 k = 0 时，规定 ⊗0V = R. 注 5.1.4. 对于 (可能是无穷维的) 抽象向量空间而言, 不能将 V 当成 (V ∗ ) ∗，但是依然可 以代数地定义张量积如下. 首先定义 V ⊗ W 为商空间 V ⊗ W = F(V × W)/ ∼, 128
5.1张量与微分形式其中F(V×W）是V×W上的（无穷维）自由向量空间，而～是由(C1V1+C2V2,w)~Ci(V1,W)+C2(V2,W)(v, CiW1 + Czw2) ~ ci(v, wi) + c2(v, w2)生成的等价关系，缩并假设l,k≥1.接下来在（1,k)-张量上定义一个非常有用的操作定义5.1.5.（缩并）设[ei,,en] 是V的一组基，且【fl,, fn] 是其对偶基。对任意 1≤r≤l,1 ≤s≤k 以及 T E αlkV,定义 Cr(T) E αl-1,k-1V 为由下式给出的张量,C,(T)(BI, , Bk-1, V1,*, V-1)=T(βl,..,βr-1, fi,βr,.**,βk-I, U1,*+*, Us-1,ei, Us, **., Vl-1)并称之为张量 T的(r,s)-缩并例5.1.6.设WEV且α,BEV*下面用定义计算C（u?wQβ)：Ch(u@w@aβ@)(Bl,u1,v2)=u@w@q@β@(fi,βl,u1,ei,v2)=Ef(o)βi(w)a(o1)β(e)(2)Ef(o)β(e) B(w)a(u1)(o2)= β(v)βi(w)α(u1)(v2)= β(v)w @α@(βl,u1, v2)故有c(u@w@a@β@）=B(u）w@a@该例子表明Cr的定义跟基底{ei)的选取无关，从而给出了一个（r,s)-缩并映射Cr : @lkv → &l-1,k-1v.不仅如此,Cr(T)是将T中的第r个向量与第s个余向量配对得到的(I-1,k-1)-张量：引理5.1.7设T是一个(1,k)-张量,1≤r≤l,1≤s≤k.(1)Cr的定义与V中的基feil的选取无关(2)对于任意的1,,UEV与βl,,βheV*,C.(u1o.@uoβl@..-opk)=β(ur)u1.-@u..@uoplo...oB*o..oβk,其中？意为“删去相应的位置”A其证明留作练习129
5.1 张量与微分形式 其中 F(V × W) 是 V × W 上的 (无穷维) 自由向量空间 , 而 ∼ 是由 (c1v1 + c2v2, w) ∼ c1(v1, w) + c2(v2, w) (v, c1w1 + c2w2) ∼ c1(v, w1) + c2(v, w2) 生成的等价关系. ¶ 缩并 假设 l, k ≥ 1. 接下来在 (l, k)-张量上定义一个非常有用的操作. 定义 5.1.5. （缩并） ♣ 设 {e1, · · · , en} 是 V 的一组基, 且 {f 1 , · · · , fn} 是其对偶基. 对任意 1 ≤ r ≤ l, 1 ≤ s ≤ k 以及 T ∈ ⊗l,kV , 定义 C r s (T) ∈ ⊗l−1,k−1V 为由下式给出的张量， C r s (T)(β 1 , · · · , βk−1 , v1,· · ·, vl−1) :=X i T(β 1 , · · · , βr−1 , fi , βr , · · · , βk−1 , v1,· · · , vs−1, ei , vs, · · · , vl−1) 并称之为张量 T 的 (r, s)-缩并. 例 5.1.6. 设 v, w ∈ V 且 α, β, γ ∈ V ∗ . 下面用定义计算 C 1 2 (v ⊗ w ⊗ α ⊗ β ⊗ γ)： C 1 2 (v ⊗ w ⊗ α ⊗ β ⊗ γ)(β 1 , v1, v2) = X i v ⊗ w ⊗ α ⊗ β ⊗ γ(f i , β1 , v1, ei , v2) = X i f i (v)β 1 (w)α(v1)β(ei)γ(v2) = X i f i (v)β(ei) ! β 1 (w)α(v1)γ(v2) = β(v)β 1 (w)α(v1)γ(v2) = β(v)w ⊗ α ⊗ γ(β 1 , v1, v2). 故有 C 1 2 (v ⊗ w ⊗ α ⊗ β ⊗ γ) = β(v)w ⊗ α ⊗ γ. 该例子表明 C r s 的定义跟基底 {ei} 的选取无关，从而给出了一个 (r, s)-缩并映射 C r s : ⊗ l,kV → ⊗l−1,k−1V. 不仅如此, C r s (T) 是将 T 中的第 r 个向量与第 s 个余向量配对得到的 (l −1, k −1)-张量: 引理 5.1.7 ♦ 设 T 是一个 (l, k)-张量, 1 ≤ r ≤ l, 1 ≤ s ≤ k. (1) C r s 的定义与 V 中的基 {ei} 的选取无关. (2) 对于任意的 v1, · · · , vl ∈ V 与 β 1 , · · · , βk ∈ V ∗ , C r s (v1⊗· · ·⊗vl⊗β 1⊗· · ·⊗β k )=β s (vr)v1⊗· · ·⊗v“r⊗· · ·⊗vl⊗β 1⊗· · ·⊗βcs⊗· · ·⊗β k , 其中 b· 意为“删去相应的位置”. 其证明留作练习. 129
5.1张量与微分形式5.1.2线性p-形式对称与交错张量下面固定一个线性空间V，并考虑一个V上的(0,k)-张量空间kV*=0.kV.令Sk为k个元素的对称群.对于任意S以及(O,k）张量TEV*，令T(v1,*.. , Vk) = T(vo(1),*.. , Vo(k).则T也是 V上的(0,k)-张量，且对所有 k-张量 T以及所有 o,π ESk，都有(T)"= TT换而言之，GESh-(TE@V*HTE&V*)给出了群S在V*上有一个自然的作用。该群作用下的“不变元素”以及“交错元素”分别被称为对称张量与交错张量：定义5.1.8.（对称张量与交错张量）设 T E V* 是一个 V 上的 (0,k)-张量(1)如果对(1,2,.….,k)的任意置换gESK都有To=T，即T(U1,*, V) = T(Vo(1),*** , Va(k),则称T是对称张量(2)如果对(1,2, ,k)的任意置换α E Sk都有 T=(-1)T,即T(i, **. , Vk) = (-1)T(vo(1),**. ,Vo(k),则称T是V上的交错张量（或线性k-形式).在上述定义中的（-1)°是置换α的符号，即当α是偶置换1时（-1)°=1，而当g是奇置换时（-1)°=-1.不难证明引理5.1.9T是V上的交错张量当且仅当对所有,，EV与任意1<i≠j≤kT(U,*-- , Vi,.-. ,Uj,*-, VR) = -T(U1, , Vj,..., Vi, --., UK),V例5.1.10。线性空间V上的任意内积是一个正定对称2-张量，。行列式映射det :Rn x...x Rn→R, (ui,...,n)det(ui,...,Un)是R"上的一个线性 n-形式.显然V上的所有线性k-形式组成一个向量空间，记为A^V*。根据定义，A<V*是V*的线性子空间.为简单起见，记A1V*=V*=V*，并约定AV*=R.1若一个置换αES可以被表示成偶数个对换的乘积，则称它为偶置换，否则称之为奇置换130
5.1 张量与微分形式 5.1.2 线性 p-形式 ¶ 对称与交错张量 下面固定一个线性空间 V , 并考虑一个 V 上的 (0, k)-张量空间 ⊗kV ∗ = ⊗0,kV . 令 Sk 为 k 个元素的对称群. 对于任意 σ ∈ Sk 以及 (0, k) 张量 T ∈ ⊗kV ∗，令 T σ (v1, · · · , vk) = T(vσ(1), · · · , vσ(k) ). 则 T σ 也是 V 上的 (0, k)-张量，且对所有 k-张量 T 以及所有 σ, π ∈ Sk, 都有 (T σ ) π = T π◦σ . 换而言之， σ ∈ Sk ⇝ (T ∈ ⊗kV ∗ 7→ T σ ∈ ⊗kV ∗ ) 给出了群 Sk 在 ⊗kV ∗ 上有一个自然的作用. 该群作用下的“不变元素”以及“交错元 素”分别被称为对称张量与交错张量： 定义 5.1.8. （对称张量与交错张量） ♣ 设 T ∈ ⊗kV ∗ 是一个 V 上的 (0, k)-张量. (1) 如果对 (1, 2, · · · , k) 的任意置换 σ ∈ Sk 都有 T σ = T，即 T(v1, · · · , vk) = T(vσ(1), · · · , vσ(k) ), 则称 T 是对称张量. (2) 如果对 (1, 2, · · · , k) 的任意置换 σ ∈ Sk 都有 T σ = (−1)σT，即 T(v1, · · · , vk) = (−1)σT(vσ(1), · · · , vσ(k) ), 则称 T 是 V 上的交错张量 (或线性 k-形式). 在上述定义中的 (−1)σ 是置换 σ 的符号，即当 σ 是偶置换1 时 (−1)σ = 1, 而当 σ 是奇置换时 (−1)σ = −1. 不难证明 引理 5.1.9 ♦ T 是 V 上的交错张量当且仅当对所有 v1, · · · , vk ∈ V 与任意 1 ≤ i 6= j ≤ k, T(v1, · · · , vi , · · · , vj , · · · , vk) = −T(v1, · · · , vj , · · · , vi , · · · , vk), 例 5.1.10. 线性空间 V 上的任意内积是一个✿✿✿✿✿ 正定对称 2-张量. 行列式映射 det : R n × · · · × R n → R, (v1, · · · , vn) 7→ det(v1, · · · , vn) 是 R n 上的一个线性 n-形式. 显然 V 上的所有线性 k-形式组成一个向量空间，记为 Λ kV ∗ . 根据定义，Λ kV ∗ 是 ⊗kV ∗ 的线性子空间. 为简单起见，记 Λ 1V ∗ = ⊗1V ∗ = V ∗，并约定 Λ 0V ∗ = R. 1若一个置换 σ ∈ Sk 可以被表示成偶数个对换的乘积，则称它为偶置换，否则称之为奇置换. 130
5.1张量与微分形式反对称化下面对线性形式定义“乘法”：由于两个交错张量的张量积不再是交错张量，因此需要对所得的张量进行“反对称化”操作.对任意V上的k-张量T，考虑反对称化映射(-1)"T"Alt(T) :=2TESK引理5.1.11映射Alt是一个从kV*到AkV*的投影，即：它是一个线性映射，且满足(1)对任意TEV*,Alt(T)EAV*(2)对任意 T EA^V*,Alt(T)= TA证明(1)对任意的TEV*与任意的αESk-()([Alt(T)]° = (-1)°(-1)0"To" = (-1)°Alt(T)L1TESKTESH(2)若TEA^V*，则每个求和项（-1)"T"等于T.故由IS=k!可得Alt(T)=T下一个引理在后面将会用到，证明留作习题引理5.1.12设T,S,R分别为线性k-形式，l-形式与m-形式.那么(1) Alt(T @ S) = (-1)^Alt(S T).(2) Alt(Alt(T S) R) = Alt(T & S R) = Alt(T & Alt(S R).楔积现在可以定义对线性形式的“乘积运算”定义5.1.13.（楔积）设TEAV*,SEA'V*则称(+I)-形式(k+Alt(T@S)TΛS=k!!!为T和S的楔积例如，若ff?*，则f1^?=ff2-ffl.楔积运算满足命题5.1.14（楔积的性质）模积运算 :(A^V*)×(A'V*)→A+IV* 满足(1) 双线性性: (T,S)- T ^ S 对 T 和对 S 都是线性的(2)反交换性：TΛS=(-1)SΛT(3)结合律：(TΛS)R=TΛ(SR)证明（1）可以由定义5.1.13推出.（2)可以由引理5.1.12(1）推出：（3）可以由定义5.1.13与口引理5.1.12(2）推出，131
5.1 张量与微分形式 ¶ 反对称化 下面对线性形式定义“乘法”. 由于两个交错张量的张量积不再是交错张量，因此 需要对所得的张量进行“反对称化”操作. 对任意 V 上的 k-张量 T , 考虑反对称化映射 Alt(T) := 1 k! X π∈Sk (−1)πT π . 引理 5.1.11 ♦ 映射 Alt 是一个从 ⊗kV ∗ 到 Λ kV ∗ 的投影, 即：它是一个线性映射，且满足 (1) 对任意 T ∈ ⊗kV ∗ , Alt(T) ∈ Λ kV ∗ . (2) 对任意 T ∈ Λ kV ∗ , Alt(T) = T. 证明 (1) 对任意的 T ∈ ⊗kV ∗ 与任意的 σ ∈ Sk, [Alt(T)]σ = 1 k! X π∈Sk (−1)π (T π ) σ = 1 k! (−1)σ X π∈Sk (−1)σ◦πT σ◦π = (−1)σAlt(T). (2) 若 T ∈ Λ kV ∗ , 则每个求和项 (−1)πT π 等于 T. 故由 |Sk| = k! 可得 Alt(T) = T. □ 下一个引理在后面将会用到，证明留作习题 引理 5.1.12 ♦ 设 T, S, R 分别为线性 k-形式, l-形式与 m-形式. 那么 (1) Alt(T ⊗ S) = (−1)klAlt(S ⊗ T). (2) Alt(Alt(T ⊗ S) ⊗ R) = Alt(T ⊗ S ⊗ R) = Alt(T ⊗ Alt(S ⊗ R)). ¶ 楔积 现在可以定义对线性形式的“乘积运算”: 定义 5.1.13. （楔积） ♣ 设 T ∈ Λ kV ∗ , S ∈ Λ lV ∗ . 则称 (k + l)-形式 T ∧ S = (k + l)! k!l! Alt(T ⊗ S) 为 T 和 S 的 楔积. 例如，若 f 1 , f 2 ∈ V ∗ , 则 f 1 ∧ f 2 = f 1 ⊗ f 2 − f 2 ⊗ f 1 . 楔积运算满足 命题 5.1.14. （楔积的性质） ♠ 楔积运算 ∧ : (ΛkV ∗ ) × (ΛlV ∗ ) → Λ k+lV ∗ 满足 (1) 双线性性: (T, S) 7→ T ∧ S 对 T 和对 S 都是线性的. (2) 反交换性: T ∧ S = (−1)klS ∧ T. (3) 结合律: (T ∧ S) ∧ R = T ∧ (S ∧ R). 证明 (1) 可以由定义 5.1.13推出. (2) 可以由引理 5.1.12(1) 推出. (3) 可以由定义5.1.13与 引理 5.1.12(2) 推出. □ 131