河套学院（河套大学）：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵 2.2 矩阵的运算（3/3）

水人 2.2.3矩阵的转置（续2） 尚本 (2)(A+B)I=A+B可推广为 (A+B++C=A+B++C雪 (3)(4④-4（为常数） (4)(AB)T=BA可推广为 (AB..C=BTAT...CT 下面只证明（4) 证明设A=(Q)ms,B=(色，)m,则(4B与B 都是nxm矩阵，而(AB)的第1行第)列的元素 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐骨司

快乐学习 以人 2.2.3 矩阵的转置（续2） 为本 ( ) . T T T A+ B = A + B ( ) ; T T T T A+ B ++C = A + B ++C （2） 可推广为 （3） ( ) ( ) A T = A T 为常数 ； . T T T （AB） = B A T T T T （4） 可推广为 （ABC） = B A C . 下面只证明（4） A aij ms = ( ) ij sn B = (b ) T (AB) T T B A nm 证明 设 ， ，则 与 都是 矩阵，而 T (AB) 的第 i 行第 j 列的元素 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵

水人 2.2.3矩阵的转置（续3） 尚本 等于AB的第j行第ì列的元素.AB的第行第1列 的元素是∑4bu,所以(4B)的第i行第列的元 k三 素是∑abB'的第i行第/列的元素是∑ba, k=1 而》ba∑ab从而有 转置运算 (AB)T=BTAT 不满足 交换律 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐学司

快乐学习 以人 2.2.3 矩阵的转置（续3） 为本 AB 的第 j 行第 i 的元素是 , 1 = s k ajkbki T 所以 (AB) 第 i 行第 j 列的元 . 1 = s k ajkbki T T B A 的第 i 行第 j 列的元素是 , 1 = s k bkiajk 而 = s k bkia jk 1 . 1 = = s k ajkbki 从而有 T T T (AB) = B A 的 . 等于 AB 的第 j 行第 i 列的元素. 列 素是 转置运算 不满足 交换律 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵

水人 2.2.3矩阵的转置（续4） 尚本 例2.2.11已知 A= 2 B= 4 求BA 解（方法一） 2 BTAT= 4 3 45 21628 111 19 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐学可

快乐学习 以人 2.2.3 矩阵的转置（续4） 为本 例2.2.11 已知 , 4 3 2 1 , 5 3 0 4 2 1         =           A = B 求 T T B A . T T T T 5 3 0 4 2 1 4 3 2 1                   B A =                 = 5 4 3 2 0 1 1 3 2 4 . 19 28 11 16 1 2         = 解 （方法一） . 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵

水人 2.2.3矩阵的转置（续5） 尚本 解（方依二） AB= 2 3 16 4 28 故 2 1628 BA(49 对于矩阵A,如果满足A”=A,则称A是对称 矩阵而当A「=-A时，则称A是反对称矩阵 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快东骨司

快乐学习 以人 2.2.3 矩阵的转置（续5） 为本 , 19 11 1 28 16 2 4 3 2 1 5 3 0 4 2 1           =                  AB = 解 （方法二） 故 ( ) . 19 28 11 16 1 T 2 T T         B A = AB = A A = A T 对于矩阵 ,如果满足 , 则称 A 是对称 矩阵.而当 A = −A T 时，则称 A 是反对称矩阵. 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵

水人 2.2.3矩阵的转置（续6） 尚本 对称矩阵的元素满足 ay=0(,j=1,2,,n 即以主对角线为对称轴的元素对应相等；反对称 矩阵的元素满足，=-4，=1,2，…，)，从而 a,=0-1,2,,n),即主对角线上的元素都为 零，其它元素以主对角线为对称轴，对应元素 互为相反数 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快东学司

快乐学习 以人 2.2.3 矩阵的转置（续6） 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 对称矩阵的元素满足 a a (i , j 1, 2 , , n ) i j = j i =  ， 即以主对角线为对称轴的元素对应相等；反对称 矩阵的元素满足 a a (i , j 1, 2 , , n ) i j = − j i =  ，从而 a 0(i 1, 2 , , n ), ii = =  ， 即主对角线上的元素都为 零，其它元素以主对角线为对称轴，对应元素 互为相反数