第2课时角度问题 学习目标:1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为 解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点) [自主预习·探新知] 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为a(如图1-2-18所示) 图1-2-18 方位角的取值范围:[0°,360°) 2.视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角,如图1-2-19所示,视角50°指的是观察 该物体的两端视线张开的角度 视线 视线 图1-2-19 思考:方位角的范围为什么不是(0,)? [提示]方位角的概念表明,“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”,显然方位角 的范围应该是[0,2) [基础自测] 1.思考辨析 (1)如图1-2-20所示,该角可以说成北偏东110°.() 北 西—N10° 东 图1-2-20 (2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均 (3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.()
- 1 - 第 2 课时 角度问题 学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为 解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)． [自 主 预 习·探 新 知] 1．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点 B 的方位角为 α(如图 1218 所示)． 图 1218 方位角的取值范围：[0°，360°)． 2．视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图 1219 所示，视角 50°指的是观察 该物体的两端视线张开的角度． 图 1219 思考：方位角的范围为什么不是(0，π)? [提示] 方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角 的范围应该是[0,2π)． [基础自测] 1．思考辨析 (1)如图 1220 所示，该角可以说成北偏东 110°.( ) 图 1220 (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均 是 0， π 2 .( ) (3)方位角 210°的方向与南偏西 30°的方向一致．( )
[答案](1)×(2)×(3)√ 提示:(1)说成南偏东70°或东偏南20°.(2)方位角的范围是[0,2) 2.从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为B,则a,B的关系是() 【导学号:91432060】 A. a>B B. B C.a+B=90° D.a+B=180° B[由仰角与俯角的水平线平行可知a=B.] 3.在某次高度测量中,在A处测得B点的仰角为60°,在同一铅垂平面内测得C点的俯角 为70°,则∠BAC等于() D.130° D[如图所示: ∠BAC=130° 4.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3公里到B处,再沿正东方向行走2公里到C处 则A、C两地的距离为 公里 【导学号:91432061】 7[如图所示,由题意可知 AB=3V3,BC=2,∠ABC=150° 由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2·cos150°=49,AC=7所以小、C两地的距离为7 [合作探究·攻重难] 类型1 角度问题 》例(1)如图1-2-21,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南 偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
- 2 - [答案] (1)× (2)× (3)√ 提示：(1)说成南偏东 70°或东偏南 20°.(2)方位角的范围是[0,2π)． 2．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关系是( ) 【导学号：91432060】 A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° B [由仰角与俯角的水平线平行可知 α＝β.] 3．在某次高度测量中，在 A 处测得 B 点的仰角为 60°，在同一铅垂平面内测得 C 点的俯角 为 70°，则∠BAC 等于( ) A．10° B．50° C．120° D．130° D [如图所示： ∠BAC＝130°.] 4．某人从 A 处出发，沿北偏东 60°行走 3 3公里到 B 处，再沿正东方向行走 2 公里到 C 处， 则 A、C 两地的距离为________公里. 【导学号：91432061】 7 [如图所示，由题意可知 AB＝3 3，BC＝2，∠ABC＝150°. 由余弦定理得 AC 2＝27＋4－2×3 3×2·cos 150°＝49，AC＝7.所以 A、C 两地的距离为 7 公里．] [合 作 探 究·攻 重 难] 角度问题 (1)如图 1221，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南 偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )
南 图1-2-21 A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° (2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为23m,那么 此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是() 【导学号:91432062】 ,60 C. 30° D (1)D(2)B[(1)由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BD=60°,所以∠CBD=30° 所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80 (2)如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10m,CD=6m,高DE=23 AB-oD 则AE= ∴tan∠DAE AE 2 [规律方法]测量角度问题画示意图的基本步骤 定观测点找准观测点,并根据“上北下南 及正北方/左西右东”的原则确定正北方向 作出被观由题意正确地作出其他方位物的 测方位物/位置示意图 标出有分析图中的已知量和未知量,标 关量 出有关角和线段的大小 [跟踪训练] 1.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水 中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h:水的流向是正东,流速是20km/h,若不 考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 大小为 60°20√3[如图,∠AB=60°,由余弦定理知C=20+20-
- 3 - 图 1221 A．北偏东 10° B．北偏西 10° C．南偏东 80° D．南偏西 80° (2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为 2 3m，那么 此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( ) 【导学号：91432062】 A. 3 3 ，60° B. 3，60° C. 3，30° D. 3 3 ，30° (1)D (2)B [(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. (2)如图所示，横断面是等腰梯形 ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m，高 DE＝2 3 m，则 AE＝ AB－CD 2 ＝2 m， ∴tan ∠DAE＝ DE AE ＝ 2 3 2 ＝ 3， ∴∠DAE＝60°.] [规律方法] 测量角度问题画示意图的基本步骤 [跟踪训练] 1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水 中漂行，此时，风向是北偏东 30°，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不 考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h. 60° 20 3 [如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知 OC 2＝202＋202－
80co120°=120,故OC=203,∠COH=30°+30°=60°.] 类型2 求航向的角度 》例在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船,在 A处北偏西75°的方向,距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私 船.此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能 最快追上走私船? 思路探究:①你能根据题意画出示意图吗? ②在△ABC中,能求出BC与∠ABC吗? ③在△BCD中,如何求出∠BCD [解]设缉私船用t小时在D处追上走私船,画出示意图,则有CD=103t,BD=10t, 在△AC中,∵:AB=-1,AC=2,∠BAC=12 由余弦定理,得 AC2-2AB·AC·cos∠BC=(-1)2+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, Ac 23 ∴BC= 且sin∠ABC sin∠BAC= ∠ABC=45 BC与正北方向成90°角 ∴∠CB=90°+30°=120 在△BCD中,由正弦定理,得 BD·sin∠CBD10tsin120°1 sin∠BCD ∠BCD=30° 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船. [规律方法] 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标 出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解 2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0, 上是单调递减的,而正弦函数在(0,π)上不是单调函数,一个正弦值可以对应两个角.但角在 0,2上时,用正、余弦定理皆可 [跟踪训练
- 4 - 800cos 120°＝1 200，故 OC＝20 3，∠COY＝30°＋30°＝60°.] 求航向的角度 在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私 船．此时，走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能 最快追上走私船？ 思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD? [解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t， 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋2 2－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝ 6，且 sin∠ABC＝ AC BC ·sin∠BAC＝ 2 6 × 3 2 ＝ 2 2 ， ∴∠ABC＝45°，∴BC 与正北方向成 90°角． ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝ BD·sin ∠CBD CD ＝ 10tsin 120° 10 3t ＝ 1 2 ， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船． [规律方法] 1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标 出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π) 上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在 0， π 2 上时，用正、余弦定理皆可． [跟踪训练]
2.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距 a n mile,乙船向正北 方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇 时乙船行驶了多少 n mile? 【导学号:91432063】 [解]如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=0,乙船行驶距离 为 x n mile, 则AC=√3x, 东 sIn 由正弦定理得sin0 AC 2,而60° 0=30° ∴∠ACB=30°,BC=AB=a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了 a n mile. 类型3 求解速度问题 [探究问题] 1.某物流投递员沿一条大路前进,从A到B,方位角是60°,距离是4km,从B到C,方 位角是120°,距离是8km,从C到D,方位角是150°,距离是3km,试画出示意图 提示:如图所示 120 2.在探究1中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从A点到C点,则此人的速度至少 是多少? 提示:在上图中,在△ABC中,∠ABC=60°+(180°-120°)=120°,由余弦定理得AC= A+BC-2AB.BC·cs120°=4V,则此人的最小速度为4V √7(kmh) 3.在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进,10分钟后某人以167 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员,问在C点此人能否与投递员相遇? 提示:投递员到达C点的时间为t速+8 (小时)=30(分钟),追投递员的人所用时间由 探究2可知 (小时)=15分钟;由于30>15+10,所以此人在C点能与投递员相遇
- 5 - 2．甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°方向的 B 处，两船相距 a n mile，乙船向正北 方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇 时乙船行驶了多少 n mile? 【导学号：91432063】 [解] 如图所示，设两船在 C 处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离 BC 为 x n mile， 则 AC＝ 3x， 由正弦定理得 sin θ＝ BC·sin 120° AC ＝ 1 2 ，而 θ<60°， ∴θ＝30°， ∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a. ∴甲船应沿北偏东 30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了 a n mile. 求解速度问题 [探究问题] 1．某物流投递员沿一条大路前进，从 A 到 B，方位角是 60°，距离是 4 km，从 B 到 C，方 位角是 120°，距离是 8 km，从 C 到 D，方位角是 150°，距离是 3 km，试画出示意图． 提示：如图所示： 2．在探究 1 中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从 A 点到 C 点，则此人的速度至少 是多少？ 提示：在上图中，在△ABC 中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得 AC＝ AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 120°＝4 7，则此人的最小速度为 v＝ 4 7 1 2 ＝8 7(km/h)． 3．在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从 A 到 D 前进，10 分钟后某人以 16 7 km/h 的速度沿小路直接由 A 到 C 追投递员，问在 C 点此人能否与投递员相遇？ 提示：投递员到达 C 点的时间为 t1＝ 4＋8 24 ＝ 1 2 (小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由 探究 2 可知 t2＝ 4 7 16 7 ＝ 1 4 (小时)＝15 分钟；由于 30>15＋10，所以此人在 C 点能与投递员相遇．