1.2应用举例第3课时) 学习目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合 训练强化相应的能力 3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习 、设计问题,创设情境 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边 和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面 上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问 、信息交流,揭示规律 在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决, 大家身边有什么例子吗? 、运用规律,解决问题 南 【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B, 然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出 发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到 0. 01n mile) 问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?
1.2 应用举例(第 3 课时) 学习目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合 训练强化相应的能力. 3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习 一、设计问题,创设情境 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边 和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面 上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问 题. 二、信息交流,揭示规律 在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决, 大家身边有什么例子吗? 三、运用规律,解决问题 【例 1】如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75°的方向航行 67.5n mile 后到达海岛 B, 然后从 B 出发,沿北偏东 32°的方向航行 54.0n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1°,距离精确到 0.01n mile) 问题 1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东 75°的方向”这指的是什么?
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75° 的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去 问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船? 问题2:你能否根据题意画出方位图? 问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢? 四、变式训练,深化提高 【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船的 南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向, 继续向南航行,有无触礁的危险?
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的 C处有一艘走私船,正沿南偏东75° 的方向以 10 海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/时的速度沿着直线方向追去, 问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船? 问题 2:你能否根据题意画出方位图? 问题 3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢? 四、变式训练,深化提高 【例 3】如图,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,船正向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的 南偏东 30°,航行 30 海里到 C 处,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45°,如果此船不改变航向, 继续向南航行,有无触礁的危险?
练习:如图,有两条相交成60°角的直线XX,YY,交点是0,甲、乙分别在0X,OY上,起初 甲在离0点3千米的A点,乙在离0点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,甲 沿XX方向,乙沿YY方向步行 (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短? 五、限时训练 东 1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为() A.南偏西 B.北偏西 C.北偏东 D.南偏东
练习:如图,有两条相交成 60°角的直线 XX',YY',交点是 O,甲、乙分别在 OX,OY 上,起初 甲在离 O 点 3 千米的 A 点,乙在离 O 点 1 千米的 B 点,后来两人同时以每小时 4 千米的速度,甲 沿 XX'方向,乙沿 Y'Y 方向步行. (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短? 五、限时训练 1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( ) A.南偏西 B.北偏西 C.北偏东 D.南偏东
B 2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在 原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船 朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos0 3.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在 点A的南偏东方向距点A500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现 快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求 出快艇的最小速度 六、反思小结,观点提炼 解三角形应用题的一般步骤 参 答 三、运用规律,解决问题 【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理 AC=≈113.15( n mile), 根据正弦定理,, sin∠CAB=≈0.3255
2.如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在 原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船 朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cosθ= . 3.一辆汽车从 A 点出发,沿一条笔直的海岸公路以 100km/h 向东匀速行驶,汽车开动时,在 点 A 的南偏东方向距点 A 500km 的 B 处的海上有一快艇,此时,快艇所在 B 处距海岸 300km.现 快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB 所成的角,并求 出快艇的最小速度. 六、反思小结,观点提炼 解三角形应用题的一般步骤: 参考答案 三、运用规律,解决问题 【例 1】解:在△ABC 中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理, AC=≈113.15(n mile), 根据正弦定理,, sin∠CAB=≈0.3255
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0° 答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile 问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内 角和定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和 AB边的夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程 【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则 CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得 (14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简得32x2-30x-27=0,即x=或x=-(舍去). 所以BC=10x=15,AB=14x=21 又因为sin∠BAC=, 所以∠BAC=38°13,或∠BAC=141°47(钝角不合题意,舍去) 所以38°13+45°=83°13 答:巡逻艇应沿北偏东83°13的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船 问题2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题, 这是建立数学模型的一个重要方面 问题3:同例2中解得BC=15,AB=21, 在△ABC中,由余弦定理,得 cos∠CAB=≈0.7857, 所以∠CAB≈38°133,38°13+45°=83°13 所以巡逻艇应沿北偏东83°13’的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船 四、变式训练,深化提高 【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°, ∠ACB=180°-45°=135°, 则A=15° 由正弦定理知,即 所以AC=60cos15°=15+15 所以A到BC所在直线的距离为
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°. 答:此船应该沿北偏东 56.0°的方向航行,需要航行 113.15n mile. 问题 1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内 角和定理求出 AC 边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角∠CAB,就可以知道 AC 的方向和路程. 【例 2 】解:如图,设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船,则 CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得 (14x)2 =92 +(10x)2 -2×9×10xcos120°,化简得 32x2 -30x-27=0,即 x=或 x=-(舍去). 所以 BC=10x=15,AB=14x=21. 又因为 sin∠BAC=, 所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去). 所以 38°13'+45°=83°13'. 答:巡逻艇应沿北偏东 83°13'的方向追赶,经过 1.5 小时追赶上该走私船. 问题 2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题, 这是建立数学模型的一个重要方面. 问题 3:同例 2 中解得 BC=15,AB=21, 在△ABC 中,由余弦定理,得 cos∠CAB=≈0.7857, 所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'. 所以巡逻艇应沿北偏东 83°13'的方向追赶,经过 1.5 小时追赶上该走私船. 四、变式训练,深化提高 【例 3】解:在△ABC 中,BC=30,B=30°, ∠ACB=180°-45°=135°, 则 A=15°. 由正弦定理知,即. 所以 AC==60cos15°=15+15. 所以 A 到 BC 所在直线的距离为