第七章离散系统7.4离散系统的数学模型为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、脉冲响应函数及频率特性等：而离散系统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代控制理论》中讲授7.4.1线性常系数差分方程设输入序列为r(n)［r(nT)的简记]，输出序列为c(n),且记作c(n)=F[r(n)].若上式为线性关系，则称为线性
7.4 离散系统的数学模型 为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连 续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、 信号流图、脉冲响应函数及频率特性等；而离散系 统只有 三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代 控制理论》中讲授。 7.4.1 线性常系数差分方程 设输入序列为r(n) r(nT)的简记],输出序列为c(n), 且记作c(n) F[r(n)]。若上式为线性关系,则称为线性
第七章离散系统差分方程（续）离散系统，否则为非线性离散系统。输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统。它可以用线性定常差分方程来描述。1.差分设连续函数为y(t)，其采样函数为 y(k),其一阶前向差分为Ay(k)= y(k +1)- y(k)其二阶前向差分：CURREN" y(k) = A[Ay(k)/ = A[y(k + 1) - y(k)]=△y(k+1)-△y(k) = y(k+2)-2y(k+1)+ y(k)
设连续函数为 y(t) ，其采样函数为 y(k)， 其一阶前向差分为 y(k) y(k 1) y(k) 其二阶前向差分： ( 1) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k y k y k y k y k y k y k y k y k
第七章离散系统差分方程（续）其一阶后向差分：Vy(k)=y(k)-y(k-l)其二阶后向差分：V2 y(k) = V[y(k) - y(k - 1)l= Vy(k) - Vy(k -1)= y(k) - 2y(k-1) + y(k-2)2.差分方程一般地，n时刻的 c(n)不仅与r(n)有关，且与n时刻以前的 r(n-1)、r(n- 2)...有关，还与CTEc(n-1)c(n-2)....有关
其一阶后向差分： y(k) y(k) y(k 1) 其二阶后向差分： ( ) 2 ( 1) ( 2) ( ) [ ( ) ( 1)] ( ) ( 1) 2 y k y k y k y k y k y k y k y k 2. 差分方程 一般地,n时刻的 c(n) 不仅与 r(n) 有关，且与n时 刻以前的 r(n 1)、r(n 2)、 有关，还与 c(n 1)、c(n 2)、有关
第七章离散系统差分方程（续）为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统的输入输出关系：c(k +n)+aic(k +n -1)+...+an-ic(k +l)+anc(k)= bor(k+m)+b,r(k +m-1)+...+bm-ir(k +1)+ bmr(k)也可用n阶后向差分方程描述：c(k)+a,c(k -l)+ ... + an-ic(k - n+ 1)+ a,c(k - n)=b,r(k)+b,r(k-1)+...+bm--r(k-m+1)+ bmr(k-m)
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k m b r k m b r k b r k c k n a c k n a c k a c k m m n n ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k b r k b r k m b r k m c k a c k a c k n a c k n m m n n 也可用n阶后向差分方程描述： 为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统 的输入输出关系：
第七章离散系统3.差分方程的求解1）送代法：由前向n阶差分方程可得输出序列的递推关系：mc(k+n)=-2Za,c(k+n-i)+bbr(k+m-j)j-0福i=1m1寻 c(k)=-Za,c(k-i)+b,r(k-j)由后向n阶得j=0i-1当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系可以逐步求出系统在给定输入序列作用下的输出序列（用计算机最为方便）
m j j n i i c k n a c k n i b r k m j 1 0 ( ) ( ) ( ) 由后向n阶得 m j j n i i c k a c k i b r k j 1 0 ( ) ( ) ( ) 当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系， 可以逐步求出系统在给定输入序列作用下的输出 序列（用计算机最为方便） 。 由前向n阶差分方程可得输出序列的递推关系：