第七章离散系统Z变换7.3线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。而对于线性离散系统，！则可以采用线性差分方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳态性能。Z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换
线性连续控制系统可采用线性微分方程来描 述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性 能。 而对于线性离散系统，则可以采用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳 态性能。 Z 变换是研究离散系统的主要数学工具，它 是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就是离散 信号的拉普拉斯变换。 7.3 Z变换 第七章 离散系统
第七章离散系统7.3.1 Z变换的定义已知连续信号ft)的拉普拉斯变换为：F(s) = LIf(t)]= J° f(t)e-stdt而连续信号ft)经过采样后的离散信号f*(t)为：f"(t)=Ef(nT)S(t-nT)n=0它的拉普拉斯变换为：00F"(s)=LF(t)=Zf(nT)e-msn=0CURREN可见：上式含有s的超越函数e-nTs，不便于计算，故引入一个新的复变量z
它的拉普拉斯变换为： = − = = 0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e 7.3.1 Z变换的定义 第七章 离散系统 已知连续信号f(t)的拉普拉斯变换为： − = = 0 F (s) L[ f (t) ] f (t)e d t s t 而连续信号f(t)经过采样后的离散信号f * (t)为： = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT t nT 可见：上式含有s的超越函数e -nTs ，不便于计算，故 引入一个新的复变量z
第七章离散系统Z变换英（续）令z=e"或s=云lnz(z是一个复变量)，则有:TF(z)= F"(s)1 =E f(nT)z-nmn=0如果上式所示的级数收敛，则定义F()为f*(t)的z变换，记作Zf*(t)I=F(z)。指出：F(z)是f*(t)的z变换，它只考虑了采样时刻的信号值f（nT）。但对于连续信号f)而言，由于在采样时刻f(t)的值就是f（nT)，所以也称F(z）是f(t)即的z变换，Ef(nT)z"nZLf(t))= ZLf(t)]=F(z) =n=0
Ts 令z = e z (z是一个复变量)，则有： T s ln 1 或 = 第七章 离散系统 Z变换（续） = − = = = 0 l n 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s F z F s f nT z 如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f * (t)的z 变 换，记作Z[f * (t)]=F(z)。 指出: F(z)是f * (t)的z 变换，它只考虑了采样时刻的 信号值 f (nT) 。但对于连续信号 f (t)而言，由于在 采样时刻 f (t) 的值就是 f (nT) ，所以也称 F(z)是f(t) 的z 变换， 即 * 0 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) n n Z f t Z f t F z f nT z − = = = =
第七章离散系统7.3.2Z变换的求法1．级数求和法：将离散级数f*(t)展开：80f*(t)=Zf(nT)8(t-nT)n=0= f(0)S(t)+ f(T)S(t -T)+ f(2T)S(t - 2T)+ ...+ f(nT)S(t-nT)+...则F*(s)= f(0)×1+ f(T)e-Ts + f(2T)e-2Ts + + f(nT)e-nts f(nT)e-nts +或F(z)= f(0)×1+ f(T)z- + f(2T)z-2 ++ f(nT)z-" +
7.3.2 Z变换的求法 1．级数求和法： 将离散级数 ( ) : f * t 展 开 第七章 离散系统 + + = + + + − − − n f n T z F z f f T z f T z ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 或 1 2 = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n f t f n T t n T + − + = + − + − + ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) f n T t n T f t f T t T f T t T + + = + + + − − − − nTs nTs Ts Ts f n T e f n T e F s f f T e f T e ( ) ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 则 * 2
第七章离散系统云（续）Z变换的求法F(z)= f(O)x1+ f(T)z'+ f(2T)z +...+ f(nT)z-" +..这是离散信号f*()的Z变换展开形式，只要知道(t)在各个采样时刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。例1：求单位阶跃1(t)的Z变换解：1(t)在任何采样点的值均为1，:1(nT)=1.: Z[1(t)I = z° + z-1 + z -2 + ...公比为z-"；若满足-}<1,则有：
这是离散信号f * (t) 的Z变换展开形式，只要知道f(t) 在各个采样时刻的数值，即可求得其Z变换。这种级 数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常 写成闭合形式。 Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 1 2 ( ) (0) 1 ( ) (2 ) ( ) n F z f f T z f T z f nT z − − − = + + + + + 解：1(t)在任何采样点的值均为1， Z[1(t) ] = z 0 + z −1 + z −2 + + z − n + −1 公比为 z ；若满足 1 1 − z ，则有： 1(n T ) = 1 例1：求单位阶跃1(t)的Z变换