三、性质 1、设(x)是不可约多项式，则cp(x)(p是p中 非零数)也是P上不可约多项式。 2、设(x)是不可约多项式，则对任一多项 式V(x)或(p(x),fx)=1或p(xf(x)。 3、设p(x)是不可约多项式，且p(xf(x)g(x), 则p(xf(x)或p(x)g(x) 4、因式分解存在唯一性定理，数域P上的每 一次数≥1的多项式都可以唯一地分解为 数域P上的一些不可约多项式的乘积（不计因 式次序)
三、性质 1、设 是不可约多项式，则 (p是p中 非零数)也是P上不可约多项式。 2、设 是不可约多项式，则对任一多项 式 ，或( ， )=1或 。 3、设 是不可约多项式，且 ， 则 或 。 4、因式分解存在唯一性定理，数域P上的每 一次数≥1的多项式 都可以唯一地分解为 数域P上的一些不可约多项式的乘积(不计因 式次序)。 p(x) cp(x) p(x) f (x) p(x) f (x) p (x) f (x) p(x) p (x) f (x) g(x) p (x) f (x) p (x) g(x)
5、设p(x)是f(x)的k重因式(k≥)则p(x)是'(x)的 K-1重因式。因而，p(x)是f(x)'(x),f-(x) 的公因式，不是f(x)的因式（记号0(x)表示f(x)的 次导式)。 6、设p(x)是f(x)的k重因式的充要条件是p(x)为f(x) 与f'(x)的公因式，也就是说，f(x)无重因式的充要 条件是(f(x),f'(x)=1 7、设的标准分解式为p(x).p(x(其中，p(x) =1,2,.,s)是两两不等的首项系数为1的 不可约多项式)，则 f(x) =ap,(x).p,(x) (f(x),f'(x) 它与(x有完全相同的不可约因式，且都是单因式
5、设 是 的k重因式 ，则 是 的 k-1重因式。因而， 是 ， ，.， 的公因式，不是 的因式(记号 表示 的 i次导式)。 6、设 是 的k重因式的充要条件是 为 与 的公因式，也就是说， 无重因式的充要 条件是 。 7、设 的标准分解式为 . （其中， i=1，2，.，s）是两两不等的首项系数为1的 不可约多项式），则 它与 有完全相同的不可约因式，且都是单因式。 p(x) f (x) （k 1） p(x) f (x) p(x) f (x) f (x) ( ) ( 1) f x k− ( ) ( ) f x k ( ) ( ) f x i f (x) p(x) f (x) p(x) f (x) f (x) f (x) ( f (x), f (x)) =1 f (x) ( ) 1 1 ap x k ( ) 1 p x ks p(x) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) 1 ap x p x f x f x f x = s
注：1.若性质2，性质3中的是可约多项式，则 结论不成立 2.性质2，性质3的逆命题也成立. 思考题： 如果不可约多项式p(x)能整除f(x)+g(x) 及f(x)g(x),那么一定能整除f(x)及8(x) 如果(x)是可约多项式，这个结论是否还成 立？
注:1. 若性质2, 性质3中的是可约多项式,则 结论不成立. 2. 性质2, 性质3的逆命题也成立. 思考题： 如果不可约多项式 能整除 及 ,那么一定能整除 及 如果 是可约多项式,这个结论是否还成 立? p(x) f (x) + g(x) f (x)g(x) f (x) p(x) g(x)
课堂练习： 1.在有理数域上分解下列多项式为不可约因 式的乘积： 1)3x2+1; (2)x3-2x2-2x+1. 2.证明，g2(x)f(x)当且仅当g(x)f(x)
课堂练习： 1.在有理数域上分解下列多项式为不可约因 式的乘积: 2.证明, 当且仅当 (1)3 1; 2 x + (2) 2 2 1. 3 2 x − x − x + ( ) ( ) 2 2 g x f x g(x) f (x)
多项式函数和多项式的根 本讲的教学目的和要求本讲的目的是了解：虽然没有一般 的方法求出一个多项式的典型分解式，但是我们有方法来判 断一个多项式的分解式中有没有重复出现的不可约因式及重 复的次数。本讲要求：理解并学会在有重复出现的不可约因 式的情沉下，把这一多项式的研究归结为没有重复出现的不 可约因式的多项式的研究。在掌握了多项式的根的概念后， 要求能真正理解每一个多项式都定义了一个确定的函数，不 同的多项式所定义的函数也不同的道理以及我们是怎样采取 函数的观点来建立多项式理论的。 本讲的教学重点和难点本讲在重因式方面，重点掌握：由 于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由原数域 过度到较大的数域时都无改变，所以可用分离重因式法把有 重因式的多项式的问题转化为若干个没有重因式的多项式问 题。在多项式的根的方面，要求能从理论上掌握以代数基本 定理为中心的一批概念和结论
多项式函数和多项式的根 本讲的教学目的和要求 本讲的目的是了解：虽然没有一般 的方法求出一个多项式的典型分解式，但是我们有方法来判 断一个多项式的分解式中有没有重复出现的不可约因式及重 复的次数。本讲要求：理解并学会在有重复出现的不可约因 式的情况下，把这一多项式的研究归结为没有重复出现的不 可约因式的多项式的研究。在掌握了多项式的根的概念后， 要求能真正理解每一个多项式都定义了一个确定的函数，不 同的多项式所定义的函数也不同的道理以及我们是怎样采取 函数的观点来建立多项式理论的。 本讲的教学重点和难点 本讲在重因式方面，重点掌握：由 于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由原数域 过度到较大的数域时都无改变，所以可用分离重因式法把有 重因式的多项式的问题转化为若干个没有重因式的多项式问 题。在多项式的根的方面，要求能从理论上掌握以代数基本 定理为中心的一批概念和结论