二、性质： 1、f(x)=q(x)g(x)+r(x)→(f(x),8(x)=(g(x),r(x) 注：不要求q(x),r(x)是(x)除以8(x)的商和余式。 2、F[x)]的任意两个多项式f(x与8(x)一定有最 大公因式。除一个零次因子外，f(x与3(x)的 最大公因式是唯一的，这就是说，若d(x是 f(x与g(x)的一个最大公因式，那么数域F的 任何一个不为零的数c与d(x)的乘积cd(x),而 且只有这样的乘积是f(x与3(x)的最大公因式
二、性质： 1、 注：不要求 是 除以 的商和余式。 2、 的任意两个多项式 与 一定有最 大公因式。除一个零次因子外， 与 的 最大公因式是唯一的，这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的 任何一个不为零的数c与 的乘积 ，而 且只有这样的乘积是 与 的最大公因式。 f (x) = q(x)g(x) + r(x) ( f (x), g(x)) = (g(x),r(x)) q(x),r(x) f (x) g(x) d(x) cd(x) F[x] f (x) g(x) f (x) g(x) d(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
注：如果F是一个包含数域F的数域，从 数域F过渡到F时，(x与(x)的最大公因 式没有改变。 3、(f(x),g(x)》=1台3u(x),v(x),st.(x)f(x)+(x)g(x)=1 4、若f(x8(x)h(x),(f(x),g(x)=1→f(x)h(x) 例1、设f(x)=x-2x3-4x2+4x-3,g(x)=2x3-5x2-4x+3 求(f(x),8(x),并求 u(x),v(x),s.t.(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)
注：如果 是一个包含数域 的数域，从 数域 过渡到 时， 与 的最大公因 式没有改变。 3、 4、若 例1、设 求 ，并求 u(x),v(x),s.t.( f (x), g(x)) = u(x) f (x) + v(x)g(x) F F F F f (x) g(x) ( f (x), g(x)) =1 u(x),v(x),s.t.u(x) f (x) + v(x)g(x) =1 f (x) g(x)h(x),( f (x), g(x)) =1 f (x) h(x) ( ) 2 4 4 3, ( ) 2 5 4 3 4 3 2 3 2 f x = x − x − x + x − g x = x − x − x + ( f (x), g(x))
思考题： (f(x),g(x)=1,(f(x),h(x)=1→(f(x),g(x)h(x)=1 课堂练习： 1、设 求 0=xt3￥-x2-4x-3,g)=3r+10x+2x-3’ 并求 (fx,gx》' u(x),v(x),s.t.(f(x),8(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 2、i 设f(x)≠0，g(x)≠0 则 f(x) 8(x) (f(x).g(x))(f(x).g(x)) 3、h(x)是首项系数为1的多项式，则 (f(x)h(x),8(x)h(x)=(f(x),8(x)h(x)
思考题： 课堂练习： 1、设 ， 求 ，并求 2、设 ， 则 。 3、 是首项系数为1的多项式，则 ( f (x), g(x)) =1,( f (x),h(x)) =1 ( f (x), g(x)h(x)) =1 ( ) 3 4 3, ( ) 3 10 2 3 4 3 2 3 2 f x = x + x − x − x − g x = x + x + x − ( f (x), g(x)) u(x),v(x),s.t.( f (x), g(x)) = u(x) f (x) + v(x)g(x) f (x) 0, g(x) 0 h(x) 1 ( ( ), ( )) ( ) , ( ( ), ( )) ( ) = f x g x g x f x g x f x ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f (x), g(x))h(x)
一元多项式的因式分解定理 本讲的教学目的和要求多项式的分解是多项式理论的核心， 在某种意义上说，前面讨论的一些概念和性质是为本讲做准 备的。在中学代数里我们学过一些具体的方法，把一个多项 式分解为不能再分解的因式的乘积。但那里并没有深入地讨 论这个问题。那里所谓不能再分，常常只是指我们自己看不 出怎样再分下去的意思，并没有严格论证它们确实不能在分。 本讲的目的就是要能从理论上真正弄清“不能再分”的实质 以及与其有关的性质。 本讲的教学重点和难点本讲的重点在于对因式分解定理的 理解和证明过程的把握。难点是在掌握了因式分解定理后能 迅速地给出多项式的典型分解式并利用它解决求最大公因式 及最小公倍式的问题
一元多项式的因式分解定理 本讲的教学目的和要求 多项式的分解是多项式理论的核心， 在某种意义上说，前面讨论的一些概念和性质是为本讲做准 备的。在中学代数里我们学过一些具体的方法，把一个多项 式分解为不能再分解的因式的乘积。但那里并没有深入地讨 论这个问题。那里所谓不能再分，常常只是指我们自己看不 出怎样再分下去的意思，并没有严格论证它们确实不能在分。 本讲的目的就是要能从理论上真正弄清“不能再分”的实质 以及与其有关的性质。 本讲的教学重点和难点 本讲的重点在于对因式分解定理的 理解和证明过程的把握。难点是在掌握了因式分解定理后能 迅速地给出多项式的典型分解式并利用它解决求最大公因式 及最小公倍式的问题
一、不可约多项式 定义1、设x)是数域上的次数≥1的多项式， 且它不能表成两个在P上的次数比它低的多 项式的乘积，则称(x)为P上的不可约多项式， 简称不可约多项式。否则，称为可约多项式。 二、k重因式 定义2、设(x)是不可约多项式，p(x)f(x),但 不整除p(x),则称p(x)是∫(x)的k重因式。特 别地，当k=1时，称(x)是f(x)的k单因式， 当k>1时，称(x是(x的k重因式
一、不可约多项式 定义1、设 是数域上的次数≥1的多项式， 且它不能表成两个在P上的次数比它低的多 项式的乘积，则称 为P上的不可约多项式， 简称不可约多项式。否则，称为可约多项式。 二、k重因式 定义2、设 是不可约多项式， ,但 不整除 ，则称 是 的k重因式。特 别地，当k=1时， 称 是 的k单因式， 当k>1时， 称 是 的k重因式。 f (x) p (x) f (x) k ( ) 1 p x k+ p(x) p(x) p(x) p(x) f (x) p(x) p(x) f (x)