为邻对等四边形理由如下: CE=CD,∴∠CDE=∠CED ∵∠BCD=2∠ABC, ∠ABC=∠D ∴∠ACE=∠BCD AC=BC 在△ACE和△BCD中,ACE=∠BCD, CE=CD, ∴△ACE≌△BCD(SAS) ∴BD=AE,四边形ABED为邻对等四边形 ∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED ∴△ABC∽△DE Ab 6 DE DE ∴DE BC 5 CE 4将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0<a<360°),得到矩形AEFG 备用图 (1)如图,当点E在BD上时求证:FD=CD (2)当a为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由 解:(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD, ∴∠AEB=∠ABE ∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF
∴∠EDA=∠DEF DE=ED,∴△AED≌△FDE(SAS), ∴DF=AE, ∵AE=AB=CD,∴CD=DF. (2)当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论: ①当点G在AD右侧时,如答图1,取BC的中点H,连接GH交AD于M, ∵GC=GB,∴GH⊥BC,∴四边形ABHM是矩形, ∴AM=BH=AD=AG, GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA, △ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°, ∴旋转角a=60°; B E 图 图2 ②当点G在AD左侧时,如答图2,同理可得△ADG是等边三角形,∴∠DAG 旋转角a=360°-60°=300° 综上,a为60°或3009时,GC=GB 5如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合)
点F在BC边上(不与点B,C重合) 第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G 第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H; 依此操作下去 (1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为等边三角形,求此时线 段EF的长; (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ①请判断四边形EFGH的形状为正方形,此时AE与BF的数量关系是AE=BF; ②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x 的函数关系式及面积y的取值范围 图 图2 备用图 解:(1)如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,则△DEF为等边三角形 AD=CD, 在Rt△ADE和Rt△CDF中, DE=DF ∴R△ADE≌Rt△CDF(HL∴AE=CF 设AE=CF=x,则BE=BF=4—x ∴△BEF为等腰直角三角形 ∴EF=2BF=2(4-x) ∴DE=DF=EF=2(4-x) 在Rt△ADE中,由勾股定理得AE2+AD2=DE2,即x2+42=[2(4-x)2
解得x1=8-43,x2=8+43(舍去) ∴EF=2(4-x)=46-42 △DEF的形状为等边三角形,EF的长为46-42 图1 第5题答图 (2)①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE=BF理由如下: 依题意画出图形,如答图所示,连接EG,FH,作HN⊥BC于N,GM⊥AB于 由旋转性质可知,EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形, 由△EGM≌△FHN,可知EG=FH, ∴四边形EFGH的形状为正方形,∴∠HEF=909 ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3 ∴∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4 在△AEH和△BFE中,H=EF ∴△AEH≌△BFE(ASA),∴AE=BF ②利用①中结论,易证△AEH,△BFE,△CGF,△DHG均为全等三角形, BF=CG=DH=AE=x AH=BE=CF=DG=4-x
∵y=S正方形ABCD-4S△AEH=4×4-4×x(4-x)=2x2-8x+16,∴y=2x2-8x+ 16(0<X<4) ∴y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8, 当x=2时,y取得最小值8;当x=0或4时,y=16 ∵y的取值范围为8sy<16 6提出问题 如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点P是线段AD边上的一动点(不 与端点A,D重合),连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于点E,在点P的运动 过程中,图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律? 特殊求解 当点E为AB的中点,且AP>AE时,求证:PE=PC 深入探究 当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求整个运动过程中 BE的取值范围 D C 备用图 解:特殊求解 ∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90° ∵∠D=90°,∴∠DPC+∠DCP=90° ∴∠APE=∠DCP