同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（3-4）初等矩阵

矩的初等变换与传性方程组 第四节初等矩阵 初等矩阵的概念 >二、初等矩阵的应用 小结思考题 帮助四

、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛 庄定义,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 1.对调两行或两列; 2以数k≠0乘某行或某列; 王3以数k乘某行(列)加到另行(列)上去

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l、对调两行或两列 对调E中第,两行,即(分T,得初等方阵 ←第i行 1 E(,)= ←第j行 上页

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵Em()左乘A=(an)m,得 11 12 n ←第i行 En()A=:: an←第j行 2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i行与第j行对调G分 上页

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地, 以n阶初等矩阵En(i,右乘矩阵A, 11 In AE.(i 21 2 2 n (i,j)= 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第列与第j列对调(e分c 上页

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：