矩终的初等变换与线性方程组 第三节线性方程组的解 > 线性方程组有解的判定条件 >二、线性方程组的解法 小结思考题 帮助四
生一、线性方程组有解的判定条件 问题:如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解 定理1n元齐次线性方程组Amxx=0有非零解 的充分必要条件是系数矩阵的秩R(4)<n. 证必要性.设方程组Ax=0有非零解 上设R()=n则在4中应有一个m阶非零子式D,从而 D所对应的n个方程只有零解(根据克拉默定理
( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
这与原方程组有非零解相矛盾, 上:R(4)=n不能成立.即R(4)<n 王充分性,设R()=r<n 王则A的行阶梯形矩阵只含个非零行, 庄从而知其有n-r个自由未知量 任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0 上即可得方程组的一个非零解 上页
这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
庄定理2n元非齐次线性方程组Mmx=b有解 平的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(4)的秩 证必要性.设方程组Ax=b有解, 设R(小xR 则行阶梯形矩阵中最后二个非零行对脑矛盾 这与方程组有解相矛盾因此R(A)=R(B) 上页
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
充分性.设R(4)=R(B 设R(4)=R(B)=r(≤n 庄则E的行阶梯形矩阵中含个非零行 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 王非自由未知量 工工工 其余n-r个作为自由未知量, 并令n一r个自由未知量全取0, 牛即可得方程组的一个解 证毕 上页
并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r