52通过线性化实现稳定 ●接上 则闭环系统为 f(x,Kx) 显然,原点是闭环系统的平衡点,方程x=f(x,Kx)在原点x=0 的线性化方程为 (x,-Kx)+(x,-Kx)(-k)1=(A-BK)x 由于A-BK具有负实部,则原点是闭环系统的渐近稳定平衡点。 设Q为任意正定对称矩阵,解关于P的 Lyapunov方程 P(A-BK)(A-BK) P=-O 则二次函数v(x)=x2Px是闭环系统原点的某领域内的 Lyapunov 函数,可以用(x)=xPx估计吸引区。 会废那诺大
6 5.2 通过线性化实现稳定 接上：
●例三考虑单摆方程日= asin e-b0+cT 解析 a=g/l>0,b=k/m20,c=/m2>0,0为摆线与纵轴之间的爽角,T 是作用与单摆的力矩,把力矩作为控袆辀入,乔俶设希置在θ=δ 处单摆稳定。为使摆在θ=δ处保持平癲,力矩义须有一个稳态 分量满足0=-asin+cr 毽择状态变量x1=6-0,x2=日摆制变量取为u=T-,状蹇方 程为 x1=x2 a[sin(x,+8)-sin8-bx, +cu 其中f(0,0)=0。牾系统在原点线嗟化,可得 A B -acos(,+d)-b -acos8-b
7 例三 考虑单摆方程 = − − + a b cT sin 2 a g l b k m c ml = = = / 0, / 0, 1/ 0, 解析： 为摆线与纵轴之间的夹角，T 是作用与单摆的力矩，把力矩作为控制输入，并假设希望在 处单摆稳定。为使摆在 处保持平衡，力矩必须有一个稳态 分量 满足 选择状态变量 ，控制变量取为 ，状态方 程为 其中 。将系统在原点线性化，可得 = T ss = 0 sin ss = − + a cT 1 2 x x = − = , ss u T T = − 1 2 2 1 2 [sin( ) sin ] x x x a x bx cu = = − + − − + f (0,0) 0 = 1 1 0 0 1 0 1 0 ; cos( ) cos x A B a x b a b c = = = = − + − − −
续解: 因秩[,AB=2所以矩阵对(A,B)是可控的。取K=[k2k],则 短阵 0 A-BK acoss-ck, -b-ck 特征多项式为 A+(6+ck,)2+acos+ch=0 当 k > d 饣、b时,特征方程具有负实部特征根 C 力矩为 T- asin S Kx k1(-d)-k2b 会废痹诺大娑
8 续解： 因秩 ，所以矩阵对 是可控的。取 ，则 矩阵 ： 特征多项式为 当 时，特征方程具有负实部特征根。 力矩为 1 2 0 1 cos A BK a ck b ck − = − − − − 2 2 1 + + + + = ( ) cos 0 b ck a ck 1 2 cos , a b k k c c − − 1 2 sin sin ( ) a a T Kx k k c c = − = − − − A AB , 2 = ( , ) A B K k k = 1 2 ,
53积分控制 。积分控制方法能保证在参扰动不至亍破坏用环 系统的稳定性下,可对所有参数扰动下实现澌近 调节 考虑系统 x=f(x,u,o) y=h(x,o) X0 其中x∈R"是状态变量,l∈R是控制输入,y∈R是受控输 幽,Jm∈R"是测得的鞠幽,∈R是由未知定参数以及扰 动组成的向量,函数f,h和h在定义域D,xD,xD2CR" XRPXR 上对(x,u)连续可撒
9 5.3 积分控制 积分控制方法能保证在参数扰动不至于破坏闭环 系统的稳定性下，可对所有参数扰动下实现渐近 调节。 考虑系统 其中 是状态变量， 是控制输入， 是受控输 出， 是测得的输出， 是由未知恒定参数以及扰 动组成的向量，函数 和 在定义域 上对 连续可微，( , , ) ( , ) ( , ) m m x f x u y h x y h x = = = n x R p u R p y R m m y R l R f h, m h n p l D D D R R R x u ( , ) x u