例3、一个圆在一直线上无滑动滚动,求圆周上一点 P的轨迹 解:取直角坐标系,设 半径为a的圆在x轴上滚y 动,开始时点P恰在原 点,经过一段时间的滚 动,圆与直线的切点移 到A点,圆心的位置移 到C点,这时有 rOP=OA+AC+CP O 设0=∠(CP,CA,于是矢量CP对x轴所成的有向角为 ∠(CP=-(+) 2
例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点， 经过一段时间的滚 动， 圆与直线的切点移 到 A 点，圆心的位置移 到C点，这时有 r=OP=OA+AC+CP 设θ=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成的有向角为 ) 2 ( , ) ( i CP P O r a a x C θ y
CP=ia cos(--0)+jasin(- Gasin0)i+acos)j 又因为OA=AP=a0,所以OA=a0,AC 从而点P的矢量式参数方程为 r=a(0-sinO)i+a(l-cos0) 0<0<+∞) 其坐标式参数方程为 x=a(e-sin0 (∞<6-+∞) l(1-cos0) 这种曲线称为旋轮线或摆线 O
则 i j i j ( sin ) ( cos ) ) 2 ) sin( 2 cos( a a CP a a 又因为 |OA|=AP=aθ， ︵ 所以 OA=aθi, AC=aj 从而点P的矢量式参数方程为 r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜θ＜+） 其坐标式参数方程为 ( ) (1 cos ) ( sin ) y a x a 这种曲线称为旋轮线或摆线。 x O y
例5已知大圆的半径为a,小圆的半径为大圆半径的 四分之一,若大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚 动,动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线,求四尖 星形线的方程 解(略) x=acos3日 参数方程为 y=asin
例5 已知大圆的半径为a，小圆的半径为大圆半径的 四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线，求四尖 星形线的方程。 解（略） 参数方程为 3 3 sin cos y a x a
七曲线的参数方程 2 例6把椭圆的普通方程式x+y=化为参数方程。 b x=acos e 法 (-丌≤b-丌) y=bsin 0 法二设y=x+b,代入原方程得X+ (x+b)2 b 解得x=0,x= 2a bt btat 在第二式中取t=0,得X=0,所以舍去第一式,取 2a bt 从而 6(b-at b2+at y btat
七 曲线的参数方程 例6 把椭圆的普通方程式 1化为参数方程。 2 2 2 2 b y a x 法一 ( ) sin cos y b x a 法二 设y=tx+b,代入原方程得 1 ( ) 2 2 2 2 b tx b a x 解得 2 2 2 2 2 0, b a t a bt x x 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取 2 2 2 2 2 b a t a bt x 从而 2 2 2 2 2 2 ( ) b a t b b a t y
在法二中,若令U=t,则得椭圆的另一种表示式为 2a bu b+afu (b2-a2u2) (-∞0<u<+∞) 2 2.2 +a u 注:第二种解法中,设y=x+b,实际上是在椭圆上取 定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束,而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在,因此需 补上点(0,-b),或把它看成当t>∞时的交点
在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为 ( u ) b a u b(b a u ) y b a u 2a bu x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t→时的交点