(a)“一点正,一片正"yJ+B由条件(iv)，不妨设yoJo-βF,(xo, Jo) >0.0o-β xo Xo+β x因为 F,(x,y)连续，所以根据(a)一点正,一片正保号性，3β>0，使得F,(x,y)>0, (x,y)eS,其中 S=[xo-β,xo+β]x[yo-β,yo+β]cD后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 0 其中 S x x y y D. = − + − + [ , ] [ , ] F (x, y) 0, (x, y) S, y 0 0 ( , ) 0. F x y y (a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设 F (x, y) 因为 y 连续，所以根据 保号性， 0 , 使得 (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 0 x0− x 0 x + y0 • 0 y − 0 y + y S O
(b)“正、负上下分”因 F,(x,y)>0, (x,y)e S, 故 Vxe[xo-β,Xo+βl,把 F(x,y)看作的函数，它在[yo-β,yo+β]上严格增，且连续(据条件(i))yt+++++Jo +β特别对于函数 F(xo,y)，由条yo件 F(xo,yo)=0 可知-β福O xo-β xo Xo+β xF(xo,yo +β) >0,(b)正、负上下分F(xo, yo -β)<0.后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 F x y ( , ) 0, + (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ • • _• _ _ + _ 0 x y O 0 x − 0 x + 0 x 0 y + 0 y − 0 y (b) “正、负上下分 ” F (x, y) 0, (x, y) S, y [ , ], 因 故 x x0 − x0 + F(x, y) y [ , ] 把 看作 的函数，它在 y0 − y0 + 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 0 特别对于函数 F x y ( , ), 由条 0 0 件 可知 F x y ( , ) 0 = 0 0 F x y ( , ) 0. −
(c)“同号两边伸”因为F(x,yo-β)，F(x,yo+β)关于x连续，故由(b)的结论，根据保号性,α(0<α≤β)，使得y++++F(x, yo+β)>0,yo+βyoF(x, yo-β)<0,yo-βxE(x-aα,x+α)01Xoxo-α~0xo+α(d)“利用介值性”(c）同号两边伸V(xo-α,xo+α)，因 F(,)关于 连续,且严格增，故由(c)的结论，依据介值性定理，存在惟后页返回前页
前页 后页 返回 因为 F(x, y0− ), F(x, y0 + ) 关于 x 连续，故由 (b) 的结论，根据保号性， (0 ), 使得 0 F x y ( , ) 0 , − (c) 同号两边伸 • ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + y0− 0 y + • • (c) “同号两边伸” (d) “利用介值性” ˆ ( , ) , x x0− x0 + 因 F(x ˆ , y) 关于 y 连续, 且严 格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟 0 F x y ( , ) 0 , + 0 0 x x x − + ( , ).