二、 隐函数存在性条件分析要讨论的问题是：当函数F(x,）满足怎样一些条件时，由方程(1)能确定隐函数J=f(x),并使该隐函数具有续、可微等良好性质？(a)把上述y=f(x)看作曲面z=F(x,J)与坐标平面z=0的交线，故至少要求该交集非空，即日 P(xo,yo), 满足 F(xo, yo) = 0, yo = f(xo).(b)为使y= f(x)在xo连续，故要求F(x,y)在点P。连续是合理的.后页返回前页
前页 后页 返回 二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 y = f (x) , 并使 要讨论的问题是：当函数 F(x, y) 满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y = f (x) 看作曲面 z = F(x, y) 与坐标 平面 z = 0 的交线，故至少要求该交集非空，即 ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0, ( ). 0 0 0 x0 ，满足 F x y = y = f P0 连续是合理的． y = f (x) x0 (b) 为使 在 连续，故要求 F(x, y) 在点
(c) 为使 y=f(x)在x可导，即曲线y= f(x)在点 P存在切线，而此切线是曲面z=F(x,y)在点P。的切平面与z=0 的交线，故应要求F(x,J)在点 P, 可微，且 (Fx(xo,yo),F,(xo,yo))±(0, 0).(d)在以上条件下，通过复合求导数,由(1)得到F(x, f(x) x=x= F,(xo,Jo)+F,(xo, yo)F(xo) =0,dxFr(xo,yo)= f'(x)=F,(xo,yo)由此可见，F,(xo,yo)±0 是一个重要条件后页返回前页
前页 后页 返回 由此可见， Fy (x0 , y0 ) 0 是一个重要条件． 0 0 0 0 0 0 d ( , ( )) ( , ) ( , ) ( ) 0, d F x f x F x y F x y f x x x x y x = = + = 点 P0 存在切线，而此切线是曲面 z = F(x, y) 在点 P0 的切平面与 z = 0 的交线，故应要求 F(x, y) 在 y = f (x) 0 (c) 为使 在 x 可导，即曲线 y = f (x) 在 P0 ( ( , ), ( , )) (0, 0). 点 可微，且 Fx x0 y0 Fy x0 y0 (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) x y F x y f x . F x y = −
三、隐函数定理定理18.1（隐函数存在惟一性定理）设方程（1）中的函数F(x,y)满足以下四个条件：(i) 在以 P(xo,Jo)为内点的某区域 DcR2上连续;(ii)F(xo,yo)=0（初始条件);(ii) 在 D 内存在连续的偏导数 F,(x,y);(iv) F,(xo,yo) ± 0.则有如下结论成立：后页返回前页
前页 后页 返回 三、隐函数定理 定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 F(x, y) 满足以下四个条件： ( , ) 0 0 0 P x y 2 (i) 在以 为内点的某区域 D R 上连续； (ii) F(x0 , y0 ) = 0 ( 初始条件 )； D F (x, y) (iii) 在 内存在连续的偏导数 y ； 0 0 ( , ) 0. (iv) F x y y 则有如下结论成立：
1°存在某邻域U(P)c D，在U(P)内由方程(1)惟一地确定了一个隐函数y= f(x), xe(xo-α,xo+α),它满足：f(xo)=yo,且当x(xo-α,Xo+α）时，使得(x, f(x)eU(P), F(x, f()= 0;2°f(x)在(xo-α,xo+α)上连续.证首先证明隐函数的存在与惟一性。证明过程归结起来有以下四个步骤（见图18一1)：后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 y f x x x x = − + ( ), ( , ), ( , ( )) ( ), ( , ( )) 0; x f x U P0 F x f x 2 f (x) 在 上连续． ( , ) x0 − x0 + 惟一地确定了一个隐函数 它满足： 0 0 f x y ( ) = ( , ) , 且当 x x0 − x0 + 时, 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图18－1 )： U(P0 ) D ( ) 1 存在某邻域 ，在 U P0 内由方程 (1)
yy+yBJo +βyoyo一yo-βYo-βx0-βxoxo+βxOO o-β x, Xo+β x(b)正、负上下分(a)一点正，一片正yL+++++++yo+βJo+βU(P)yoyoy=f(x)yo-βJo-βx0Y0xo-α*0xo+αxotaxo-α(c)同号两边伸(d)利用介值性图18-1返回前页后页
前页 后页 返回 (c) 同号两边伸 • ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + 0 y − 0 y + • • (d) 利用介值性 ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + 0 U P( ) 0 y − 0 y + y f x = ( ) • • • (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ • • _• _ _ + _ 0 x y O 0 x − 0 x + 0 x 0 y + 0 y − 0 y (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 0 x0− x 0 x + y0 • 0 y − 0 y + y O 图 18－1