习题解答 1证:设G-{al,a2,an}指定G中任一元 任意a∈G,Pi aai,则Pi是G上 的一个置换,即以G为目标集。 P=(aa.a:2),G的右正则表示 ai-(a)=Pi。堤是单射:aa,则PPj al a2 f(aiaj=( an al(aiaj a2(aiaj).. an(aiaj al a2 an al a2 an alizai…ai(aaai(aa)a….(ana)a )=faif(aj) 证毕
习题解答 • 1.证：设G={a1,a2,…,an},指定G中任一元 ai, 任意aj∈G，Pi：aj → ajai ，则Pi是G上 的一个置换，即以G为目标集。 Pi=( )， G的右正则表示f： ai→( )=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj f(aiaj) = ( ) =( )( )=f(ai)f(aj) 证毕。 题 a1 a2 … an a1ai a2ai … anai ai aai a1 a2 … an a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) a1 a2 … an a1ai a2ai … anai a1 a2 … an (a1ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj
2证:设G|g,则a,a2,a3,aap中必有相 同元。=a,1k<l-g+1 1-kg对于给定的a,存在最小的正 整数r,a=e.于是H-{a,a,a(=e)}是G的 子群,若H圻G,则存在a不属于H,显然 H∩Hal=qH+Ha=2r 若 H+Ha=G,则2rg,rg 否贝 存在a2不属于H+Ha Han(H+hal=(p 于是 H+Hal+Ha2+. +Hak=G r(k+1)=g rlg 证毕 题
• 2.证：设|G|=g,则a,a ,a ,…,a ,a 中必有相 同元。a = a , 1≤k＜l≤g+1 a =e. 1≤l-k≤g 对于给定的a，存在最小的正 整数r,a =e .于是 H={a ,a ,…,a (=e)}是G的 子群，若H≠G,则存在a1不属于H, 显然， H∩Ha1=φ,|H+Ha1|=2r 若 H+Ha1=G,则2r=g,r|g 否则 存在a2不属于H+Ha1, Ha2∩(H+Ha1)=φ 于是 H+Ha1+Ha2+…+Hak=G, r(k+1)=g,r|g. 证毕。 题 2 3 g g+1 k l l-k r 2 r . . . . . . .