38 中等数学 数学奥林匹克高中训练题(116) 第一试 5.函数y=[sin x tos x]+[snx+osx] 的值域为( )(【x]表示不超过实数x的 一选择题（每小题6分，共36分） 最大整数) 1.如图1，凸四边 (A){-2,-1,0,12 形ABCD的两对角线 (B){-2,-1,0,1} AC、BD将其分成四个 (C){-1,0,1) (D){-2,-1,1} 部分，每个部分的面积 6.已知S={1,2,…,216},A∈S.若集 分别为SS2、S、S 合A中任两个元素的和都不能被6整除，则 已知S,>1,S>1.则 图1 集合A中元素的个数最多为( S,+S.( (A)36 B)52(C074 (D)90 (A)=2(B)>2 (C<2(D)不一定 二填空题（每小题9分，共54分） 2.顺次联结双曲线y=20与圆x2+y 1.己知数列{an}的通项 =41的交点得到一个凸四边形则此四边形 的面积为( (A)18 则数列{an}的前n项的和Sn=」 (B)20 (C22 (D)30 3.己知锐角△4BC.给出下列判断： 2.已知f)=+4.22.2x+ ①张为sin2A、sin2B、sin2C的三线段 x∈0,1].给出下列结论 一定可构成一个三角形： ①(x)>0 ②(x)<0 ②张为cosAosB,osC的三线段 ③存在x0曰0,1)，使f(0)=0 定可构成一个三角形： ④存在x0白耳0,1】，使f(xo)<0 ③张为osA,cosB、snC的三线段一 其中，正确结论的序号为 定可构成一个三角形： 3.如图2，已知棱 ④张为tan 4 tan B tan C的三线段一定 长为1的正四面体 可构成一个三角形 ABCD,M为AC的中 其中，正确判断有()个 点，P在线段DM上 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 则AP+BP的最小值 4.己知空间四边形BCQ,AB=a,BC= b,CD=c,DA=d.则ACBD=( 4.已知x是一个 图 (A2(d+8+2+) 四位数，其各位数字之和为y.若4的值最 (B)-(a2+6+e+d) 小，则x= 5.如图3，给出16个点，其·· (C5(d+c2.6.d) 左和右相邻两点上和下相邻：：：： 两点的距离都等于1若以这。。。· (D)(b+d-a-) 些点作为三角形的顶点，那么， 图3 1994-2009 China academic Journal Electre Publishing House.all rights reserved. http://www.cnki.ne
数学奥林匹克高中训练题(116) 第 一 试 一、选择题(每小题 6 分 ,共 36 分) 图 1 1. 如图 1 ,凸四边 形 ABCD 的两对角线 AC、BD 将其分成四个 部分 ,每个部分的面积 分别为 S1 、S2 、S3 、S4 . 已知 S1 > 1 , S2 > 1. 则 S3 + S4 ( ) . (A) = 2 (B) > 2 (C) < 2 (D) 不一定 2. 顺次联结双曲线 xy = 20 与圆 x 2 + y 2 = 41 的交点得到一个凸四边形. 则此四边形 的面积为( ) . (A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 30 3. 已知锐角 △ABC. 给出下列判断 : ①长为 sin 2A 、sin 2B 、sin 2 C 的三线段 一定可构成一个三角形 ; ②长为 cos A 、cos B 、cos C 的三线段一 定可构成一个三角形 ; ③长为 cos A 、cos B 、sin C 的三线段一 定可构成一个三角形 ; ④长为 tan A 、tan B 、tan C 的三线段一定 可构成一个三角形. 其中 ,正确判断有( ) 个. (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 4. 已知空间四边形 ABCD ,AB = a , BC = b , CD = c , DA = d. 则AC·BD = ( ) . (A) 1 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (B) - 1 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (C) 1 2 ( a 2 + c 2 - b 2 - d 2 ) (D) 1 2 ( b 2 + d 2 - a 2 - c 2 ) 5.函数 y = [sin x·cos x ] + [sin x + cos x ] 的值域为 ( ) ([ x ]表示不超过实数 x 的 最大整数) . (A) { - 2 , - 1 ,0 ,1 ,2} (B) { - 2 , - 1 ,0 ,1} (C) { - 1 ,0 ,1} (D) { - 2 , - 1 ,1} 6.已知 S = {1 ,2 , …,216} , A Α S . 若集 合 A 中任两个元素的和都不能被 6 整除 ,则 集合 A 中元素的个数最多为( ) . (A) 36 (B) 52 (C) 74 (D) 90 二、填空题(每小题 9 分 ,共 54 分) 1. 已知数列{ an }的通项 an = ( n + 1) 4 + n 4 + 1 ( n + 1) 2 + n 2 + 1 . 则数列{ an }的前 n 项的和 Sn = . 2. 已知 f ( x) = - x 4 + 4x 3 - 2x 2 - 2x + 13 9 , x ∈[0 ,1 ]. 给出下列结论 : ①f ( x) > 0 ; ②f ( x) < 0 ; ③存在 x0 ∈[0 ,1) ,使 f ( x0 ) = 0 ; ④存在 x0 ∈[0 ,1 ] ,使 f ( x0 ) < 0. 其中 ,正确结论的序号为 . 图 2 3. 如图 2 ,已知棱 长为 1 的 正 四 面 体 ABCD , M 为 AC 的中 点 , P 在线段 DM 上. 则 AP + B P 的最小值 为 . 4. 已知 x 是一个 四位数 ,其各位数字之和为 y . 若 x y 的值最 小 ,则 x = . 图 3 5. 如图 3 ,给出 16 个点 ,其 左和右相邻两点、上和下相邻 两点的距离都等于 1. 若以这 些点作为三角形的顶点 ,那么 , 38 中 等 数 学
2009年第3期 39 一共可得到 个直角三角形 二、(50分)己知函数f(x)=·x3+3x 6.已知点A(2,2)、P(x,y),且xy满足 一个矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴的 0<x、y 正半轴上，另两个顶点C、D在y=f(x)的图 x+y2 像上.求此矩形绕x轴旋转一周而形成的几 上+之 何体的体积最大值 三、(50分)设，，“，a.为互不相等 则P4的取值范围是 的正整数，它们的最小公倍数为b.求证： 三、(20分)如图4，已知正方体ABCD ABCD的棱长 D 为1，⊙0，为正方形 参考答案 ABCD的内切圆 ⊙02为正 方形 第一试 ADD,A1的外接圆 -、1.B. P、0分别为⊙0 易知S,S=SS ⊙0，上的点.求Pg 故S+S2SS=2JSS>2 长度的取值范围 2.A 四、(20分)已知数列{a}的前n项和为 设A(0为)(0>0,0>0). S.且满足=25.(mN 由两曲线既关于原点对称又关于y一 对称知，另外的三个交点坐标为B(%, (1)求数列{a}的通项 C(-0,-%)、D(-%,-xo) (2)若b=a,求数列(b.}的最大 由此知四边形ABCD为矩形，其面积为 值项 ABAD (3)对于(2)中数列{b.},是否存在b. =2(x0-%)2·2(x0+%) b(n≠m)?若存在，求出所有相等的两项 -2后+后-20·后+后+20 若不存在，说明理由 =241.220·41+220=18 五(20分)已知椭圆c专+卡=1(a> 3.C sin 24+sin 2B-sin 2C b>0)的左焦点为F,过F的直线1交椭圆G =2sin(A +B)tos(4-B)-2sin C tos C 于A、B两点，P为左准线上任一点，直线 =2sin C[oos(A-B)+cos(4+B)] PA、PF、PB的方向向量分别为(I,)、 =4C0s A tos B sin C>0. (1,）、(1,) 同理，in2A+in2C-sn2B>0 (1)求证：1、rs成等差数列 sin 28+sin 2C-sin 24>0. (2)1、r、s能否成等比数列试述理由. 所以，①正确 第二试 对于②，极端考虑：∠A-90°，∠B一90° ∠C0°，此时，osA0,osB-0,0sC-1 一、(50分)⊙0是△4BC的内切圆，A、 不能满足cosA+c0sB>cosC.所以，②错误 B'、C依次是边BC、CA、AB上的切点，已知 cos 4+cos B-sin C △4B'C'的欧拉线1∥BC证明：1必过 △4BC的外心 -2os45s42.2sins 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne
一共可得到 个直角三角形. 6. 已知点 A (2 ,2) 、P( x , y) ,且 x、y 满足 0 < x 、y ≤2 , x + y ≥2 , 1 x + 1 y ≥2. 则| PA| 的取值范围是 . 三、(20 分) 如图 4 ,已知正方体 ABCD - 图 4 A1 B1 C1 D1 的 棱 长 为 1 , ⊙O1 为正方形 ABCD 的 内 切 圆 , ⊙O2 为 正 方 形 ADD1 A1 的外接圆 , P、Q 分别为 ⊙O1 、 ⊙O2 上的点. 求 PQ 长度的取值范围. 四、(20 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 a2 = 2 , Sn = n (1 + an ) 2 ( n ∈N+ ) . (1) 求数列{ an }的通项. (2) 若 bn = a 1 a n + 1 n ,求数列{ bn } 的最大 值项. (3) 对于(2) 中数列{ bn } ,是否存在 bn = bm ( n ≠m) ? 若存在 ,求出所有相等的两项 ; 若不存在 ,说明理由. 五、(20 分) 已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0) 的左焦点为 F ,过 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点 , P 为左准线上任一点 ,直线 PA 、PF、PB 的 方 向 向 量 分 别 为 ( 1 , t ) 、 (1 , r) 、(1 ,s) . (1) 求证 : t 、r、s 成等差数列 ; (2) t 、r、s 能否成等比数列 ?试述理由. 第 二 试 一、(50 分) ⊙O 是 △ABC 的内切圆 ,A′、 B′、C′依次是边 BC、CA 、AB 上的切点 ,已知 △A′B′C′的欧拉线 l ∥BC. 证明 : l 必过 △ABC 的外心. 二、(50 分) 已知函数 f ( x) = - x 3 + 3 x , 一个矩形 ABCD 的两个顶点 A 、B 在 x 轴的 正半轴上 ,另两个顶点 C、D 在 y = f ( x) 的图 像上. 求此矩形绕 x 轴旋转一周而形成的几 何体的体积最大值. 三、(50 分) 设 a1 , a2 , …, an 为互不相等 的正整数 ,它们的最小公倍数为 bn . 求证 : bn ≥n 2 3 . 参 考 答 案 第 一 试 一、1.B. 易知 S1 S2 = S3 S4 . 故 S3 + S4 ≥2 S3 S4 = 2 S1 S2 > 2. 2. A. 设 A ( x0 , y0 ) ( x0 > 0 , y0 > 0) . 由两曲线既关于原点对称又关于 y = x 对称知 ,另外的三个交点坐标为 B ( y0 , x0 ) 、 C( - x0 , - y0 ) 、D ( - y0 , - x0 ) . 由此知四边形 ABCD 为矩形 ,其面积为 | AB| ·| AD| = 2 ( x0 - y0 ) 2· 2 ( x0 + y0 ) 2 = 2 x 2 0 + y 2 0 - 2 x0 y0· x 2 0 + y 2 0 + 2 x0 y0 = 2 41 - 2 ×20· 41 + 2 ×20 = 18. 3. C. sin 2A + sin 2B - sin 2 C = 2sin(A + B)·cos(A - B) - 2sin C·cos C = 2sin C[ cos( A - B) + cos( A + B) ] = 4cos A·cos B·sin C > 0. 同理 ,sin 2A + sin 2 C - sin 2B > 0 , sin 2B + sin 2 C - sin 2A > 0. 所以 , ①正确. 对于 ②,极端考虑 : ∠A →90°, ∠B →90°, ∠C →0°,此时 ,cos A →0 ,cos B →0 ,cos C →1 不能满足 cos A + cos B > cos C.所以 , ②错误. cos A + cos B - sin C = 2cos A + B 2 ·cos A - B 2 - 2sin C 2 ·cos C 2 2009 年第 3 期 39
40 中等数学 =2ans4.os 有S6中两个元素、S,中两个元素.要使A中 元素最多，可选S,与S,中全部元素，S与 -4sin sin i. S中各一个元素.故最多共有36+36+1+】 4 类似地，cosA+sinC.cosB>0, =74个元素. cos B+sin C-cos A>0 二.+3m 所以③正确 对于④，举反例：∠A=45°，∠B=60°，∠ 化简得a.=n2+n+1, =75°，此时，anA=1anB=5,anC=2+5 故S,=∑+k+) tan A +tan B <tan C. =ntn+山++山+n 4. 6 2 AC-RDARRCBC CD -BC+AB BC BCCDCD4B =于n(2+3n+5) =B之B62n之.立 2.① 之n之之成 00=+4-22-2x+号 之n之之金+2 =20-)+3x2.32+(x-12+号 =0+2++子2+手3 5.D [m2+[h=+别 ≥-功-3得号- 下面的讨论均视k∈Z =x2(1-x)+(x-1)2. ()当2≤x红+2时，y=1 前一个等号成立需x=子，而后一个等 (2)当2k+号<xm+时，J=1: 号成立需x=1 因此，等号不能同时成立 ()当2km+妥<x<2+时，y-2 所以f(x)>0. (4)当x=2+或2+罗时y=1: (⑤)当2+五<x<2k+号时，y=-2 记∠BDM=O.在△BDM中 BD-1.BM-MD- (⑥)当2k+号<x<2m+时，y=2: ()当2机+牙≤<2概+2弧时，=1 故as0=9m0= 3 如图5，将△BDM 综上，y∈{-2，-1,1} 绕DM旋转，使△BDM 6.C 在平面ACD内，此时 记S.={x∈Sx=6n+k,n∈N(k= B在B处联结AB 0,1,…5),且s=US BP.则所求的最小值 易知card(S)=36.则集合A中既不能 即为AB的长.易知 同时有S,与S或S2与S4中元素，也不能 ∠ADB'=0+30° C 1994-2009 China academic Journal Electronic Publishing House.all rights rese w.cnki.net
= 2sin C 2 cos A - B 2 - cos C 2 = 4sin C 2 ·sin π- 2B 4 ·sin π- 2A 4 > 0. 类似地 ,cos A + sin C - cos B > 0 , cos B + sin C - cos A > 0. 所以 , ③正确. 对于 ④,举反例: ∠A = 45°, ∠B = 60°, ∠C = 75°,此时 ,tan A = 1 ,tan B = 3 ,tan C = 2 + 3 , tan A + tan B < tan C. 4. D. AC·BD = ( AB + BC) ·( BC + CD) = BC 2 + AB·BC + BC·CD + CD·AB = BC 2 + ( AB + BC + CD) 2 - AB 2 - BC 2 - CD 2 2 = BC 2 + ( - DA) 2 - AB 2 - BC 2 - CD 2 2 = BC 2 + DA 2 - AB 2 - CD 2 2 = b 2 + d 2 - a 2 - c 2 2 . 5. D. y = 1 2 sin 2 x + 2sin x + π 4 . 下面的讨论均视 k ∈Z. (1) 当 2 kπ≤x ≤2 kπ+ π 2 时 , y = 1 ; (2) 当 2kπ+ π 2 < x ≤2kπ+ 3π 4 时 , y = - 1 ; (3) 当 2 kπ+ 3π 4 < x < 2 kπ+π时 , y = - 2 ; (4) 当 x = 2kπ+π或 2kπ+ 3π 2 时 , y = - 1 ; (5) 当 2 kπ+π< x < 2 kπ+ 3π 2 时 , y = - 2 ; (6) 当 2kπ+ 3π 2 < x < 2kπ+ 7π 4 时 , y = - 2 ; (7) 当 2kπ+ 7π 4 ≤x < 2kπ+ 2π时 , y = - 1. 综上 , y ∈{ - 2 , - 1 ,1}. 6. C. 记 Sk = { x ∈S | x = 6 n + k , n ∈N} ( k = 0 ,1 , …,5) ,且 S = ∪ 5 k = 0 Sk . 易知 card ( Sk ) = 36. 则集合 A 中既不能 同时有 S1 与 S5 或 S2 与 S4 中元素 ,也不能 有 S6 中两个元素、S3 中两个元素. 要使 A 中 元素最多 ,可选 S1 与 S2 中全部元素 , S0 与 S3 中各一个元素. 故最多共有 36 + 36 + 1 + 1 = 74 个元素. 二、1. n ( n 2 + 3 n + 5) 3 . 化简得 an = n 2 + n + 1. 故 Sn = ∑ n k = 1 ( k 2 + k + 1) = n ( n + 1) (2 n + 1) 6 + n ( n + 1) 2 + n = 1 3 n ( n 2 + 3 n + 5) . 2. ①. f ( x) = - x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 - 2 x + 13 9 = x 3 (1 - x) + 3 x 3 - 3 x 2 + ( x - 1) 2 + 4 9 = x 3 (1 - x) + ( x - 1) 2 + 3 2 x 3 + 3 2 x 3 + 4 9 - 3 x 2 ≥x 3 (1 - x) + ( x - 1) 2 + 3 3 3 2 x 3· 3 2 x 3· 4 9 - 3 x 2 = x 3 (1 - x) + ( x - 1) 2 ≥0. 前一个等号成立需 x = 2 3 ,而后一个等 号成立需 x = 1. 因此 ,等号不能同时成立. 所以 ,f ( x) > 0. 图 5 3. 1 + 6 3 . 记 ∠BDM =θ. 在 △BDM 中 , BD = 1 ,BM = MD = 3 2 . 故 cosθ= 3 3 ,sinθ= 6 3 . 如图 5 ,将 △BDM 绕 DM 旋转 ,使 △BDM 在平面 ACD 内 ,此时 B 在 B′处. 联结 AB′、 B′P. 则所求的最小值 即为 AB′的长. 易知 ∠ADB′=θ+ 30°. 40 中 等 数 学
2009年第3期 41 故AB2=AD+DB2.2 AD -DB s∠ADB 5.200. =12+12.200s(0+30) 如图6，以A为直角顶点的直角三角形 =2-2(cos 0 tos 30"-sin 0 sin 30") 有CC=9个 1*5 以B为直角顶点的直角三角形有 CC+CG+1=12个 从而，AB'= 以C为直角顶点的直角三角形有 CC+CC+2=17个. 4.1099. A 设x=aaaa4,其中，a1∈N,,a a∈N于是， =1000a+100a+10a+a y a+a+ as a -1+9X×1a+10+4 a1+a2+a3+a 要使最小则m=9,此时， 图6 立-1+9xa8 由对称性可知，一共可得到 a1+a2+a+9 9X4+12X8+17X4=200 =10+9X10a+0:g 个直角三角形 a+☑+a+9 要使最小，则=9，此时 =0+900 由于少>0化简+}习可得 在平面直角 若a-1则时-10m-9×g 坐标系xOy中，作 出约束条件下的 平面区域为如图7 要使一最小，则：=0，此时 所示的阴影部分」 109-1g 其中不包括M(2 0)、N(0,2)两点. 若>1要使最小，则=9，此时， 显然，PA取 -100+9×0-18 得最小值，P应在曲线C: a+27 =1000.9×98X0m 6 a1+27 下面求！A的最小值 要使立最小，则a=2,此时 1P2=(x2)+y-2) 29092 2 因为罗，19所以=109 2 1994-2009 China Academie Joural Eleetronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
故 AB′ 2 = AD 2 + DB′ 2 - 2AD·DB′cos ∠ADB′ = 1 2 + 1 2 - 2cos(θ+ 30°) = 2 - 2 (cosθ·cos 30°- sinθ·sin 30°) = 1 + 6 3 . 从而 ,AB′= 1 + 6 3 . 4. 1 099. 设 x = a1 a2 a3 a4 ,其中 , a1 ∈N+ , a2 、a3 、 a4 ∈N. 于是 , x y = 1 000 a1 + 100 a2 + 10 a3 + a4 a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 9 × 111 a1 + 11 a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 . 要使 x y 最小 ,则 a4 = 9 ,此时 , x y = 1 + 9 × 111 a1 + 11 a2 + a3 a1 + a2 + a3 + 9 = 10 + 9 × 110 a1 + 10 a2 - 9 a1 + a2 + a3 + 9 ; 要使 x y 最小 ,则 a3 = 9 ,此时 , x y = 10 + 9 × 110 a1 + 10 a2 - 9 a1 + a2 + 18 = 100 + 9 × 100 a1 - 189 a1 + a2 + 18 . 若 a1 = 1 ,则 x y = 100 - 9 × 89 a2 + 19 . 要使 x y 最小 ,则 a2 = 0 ,此时 , x = 1 099 , x y = 1 099 19 . 若 a2 > 1 ,要使 x y 最小 ,则 a2 = 9 ,此时 , x y = 100 + 9 × 100 a1 - 189 a1 + 27 = 1 000 - 9 × 9 ×3 ×107 a1 + 27 . 要使 x y 最小 ,则 a1 = 2 ,此时 , x = 2 999 , x y = 2 999 29 . 因为 2 999 29 > 1 099 19 ,所以 , x = 1 099. 5. 200. 如图 6 ,以 A 为直角顶点的直角三角形 有 C 1 3·C 1 3 = 9 个 ; 以 B 为直角顶点的直角三角形有 C 1 3·C 1 3 + C 1 2 + 1 = 12 个 ; 以 C 为直角顶点的直角三角形有 C 1 3·C 1 3 + C 1 2·C 1 3 + 2 = 17 个. 图 6 由对称性可知 ,一共可得到 9 ×4 + 12 ×8 + 17 ×4 = 200 个直角三角形. 6. 7 2 ,2 . 由于 x 、y > 0 ,化简 1 x + 1 y ≥2 可得 x - 1 2 y - 1 2 ≤1 4 . 图 7 在 平 面 直 角 坐标系 xOy 中 ,作 出约束条件下的 平面区域为如图 7 所示的阴影部分 , 其中不包括 M (2 , 0) 、N (0 ,2) 两点. 显然 ,| PA| 取 得最小值 , P 应在曲线 C : x - 1 2 y - 1 2 = 1 4 上. 下面求| PA| 的最小值. | PA| 2 = ( x - 2) 2 + ( y - 2) 2 = x - 1 2 - 3 2 2 + y - 1 2 - 3 2 2 = x - 1 2 2 + y - 1 2 2 - 3 x - 1 2 - 3 y - 1 2 + 9 2 2009 年第 3 期 41
42 中等数学 +4 =子+m0+hm中.has0s9, 心引 M=sin 0+sincos 0 tos =sin 0+./1+cos0. 当组仅封时 上式等号成 =sin0+2·1+cos20sin(中.a) ≤sin0+5·1+cos0 r- 2 联立方稻 ≤sina+、51+cos20 -|n9+5.+s0+5+时0 4 解 y=55 4 4 3 经检验知，这两组解符合题意 =6. ① 因此M-马 1 其中，a=arcoos 1+c05 0 又显然P在点M或N时」PA取得最 大值2.但M、N两点不在区域内，因此 当0=如当中行时式O筹号成立 1M的取值范围是 另一方面， 三、建立如 Msin 0../1+cos o 图8的空间直角 ≥.1sin0-51+cos20 坐标系. =.0sn月+51+oos2)≥.6 在O平面 上，⊙0，的方程为 当0=+acsn中=号时，上式等号 02 成立 因此子当与阳子+当即 图8 在x0平面上，⊙0的方程为 65m65 四0由s生-a知am=1 设2+s时+分m0 当n>1时， q古+9s中0，+5sn a--0片.-0+a 2 化简得(n-2)a.-(n-1)an.1+1=0 则Pg 以n+1代替n得 1994-2009 China Academic Journal Eleetronie Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne
= x - 1 2 + y - 1 2 2 - 3 x - 1 2 + y - 1 2 + 4 = x - 1 2 + y - 1 2 - 3 2 2 + 7 4 ≥7 4 . 当且仅当 x - 1 2 + y - 1 2 = 3 2 时 , 上式等号成立. 联立方程 x - 1 2 + y - 1 2 = 3 2 , x - 1 2 y - 1 2 = 1 4 . 解得 x = 5 + 5 4 , y = 5 - 5 4 或 x = 5 - 5 4 , y = 5 + 5 4 . 经检验知 ,这两组解符合题意. 因此 ,| PA| min = 7 2 . 又显然 P 在点 M 或 N 时 ,| PA| 取得最 大值 2. 但 M 、N 两点不在区域内 , 因此 , | PA| 的取值范围是 7 2 ,2 . 图 8 三、建 立 如 图 8 的空间直角 坐标系. 在 xOy 平面 上 , ⊙O1的方程为 x - 1 2 2 + y - 1 2 2 = 1 4 ; 在 xOz 平面上 , ⊙O2 的方程为 x - 1 2 2 + z - 1 2 2 = 1 2 . 设 P 1 2 + 1 2 cosθ, 1 2 + 1 2 sinθ,0 , Q 1 2 + 2 2 cos φ,0 , 1 2 + 2 2 sin φ . 则| PQ| 2 = 1 2 cos θ- 2 2 cos φ 2 + 1 2 + 1 2 sinθ 2 + 1 2 + 2 2 sin φ 2 = 5 4 + 1 2 (sinθ+ 2sin φ- 2cosθ·cos φ) , M = sinθ+ 2·sin φ- 2cosθ·cos φ = sinθ+ 2· 1 + cos 2θ· 1 1 + cos 2θ sin φ- cosθ 1 + cos 2θ cos φ = sinθ+ 2· 1 + cos 2θ·sin (φ- α) ≤sinθ+ 2· 1 + cos 2θ ≤| sinθ| + 2· 1 + cos 2θ =| sinθ| + 2 2 · 1 +cos 2θ+ 2 2 · 1 +cos 2θ ≤3 sin 2θ+ 2 2 · 1 + cos 2θ 2 ·2 3 = 6. ① 其中 ,α= arccos 1 1 + cos 2θ = arcsin cosθ 1 + cos 2θ . 当θ= arcsin 6 3 φ, = 2π 3 时 ,式 ①等号成立. 另一方面 , M ≥sinθ- 2· 1 + cos 2θ ≥- | sinθ| - 2· 1 + cos 2θ = - (| sinθ| + 2· 1 + cos 2θ) ≥- 6. 当θ=π+ arcsin 6 3 ,φ= 5π 3 时 ,上式等号 成立. 因此 , 5 4 - 6 2 ≤| PQ| 2 ≤5 4 + 6 2 ,即 3 - 2 2 ≤| PQ| ≤ 3 + 2 2 . 四、(1) 由 S1 = 1 + a1 2 = a1 ,知 a1 = 1. 当 n > 1 时 , an = Sn - Sn - 1 = n (1 + an ) 2 - ( n - 1) (1 + an - 1 ) 2 . 化简得( n - 2) an - ( n - 1) an - 1 + 1 = 0. 以 n + 1 代替 n 得 42 中 等 数 学