可积的充分条件: 定理1函数f(x)在[a,b上连续=f(x)在[a,b可积 例.利用定义计算定积分[x2d 解:将0.1n等分,分点为x=n (i=0,1,…,n) y-y 取 则f()Ax1=2△ O 机动目录上页下页返回结束
o 1 x y n i 定理1.函数 f (x)在[a,b]上连续 f (x)在 [a,b]可积. 例1. 利用定义计算定积分 d . 1 0 2 x x 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 n i i x (i 0,1,,n) i n x 1 , n i 取i (i 1,2,,n) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 y x i i i i f x x 2 则 ( ) 3 2 n i
∑f(51)Ax=3∑ n(n+1)(2n+1) n6 (1+-)(2+ y Tx2dx=lim y 2->0 im(1+)2+ n→>00 O x 3 0③8 注目录上页下页返回结束
o 1 x y n i i i n i f x ( ) 1 n i i n 1 2 3 1 ( 1)(2 1) 6 1 1 3 n n n n ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n i n i i x x x 1 2 0 1 0 2 d lim n lim 3 1 ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n 2 y x 注 目录 上页 下页 返回 结束
[注]利用(n+13=n3+3n2+3m+1,得 (n+1)-n3=3m Bn (n-1)33n-1)+3(n-1)+1 23-13=3.12+31+1 两端分别相加,得 h+1)3 1=3(2+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n 即n3+3n2+37=3∑2+3m2)+n ∑12=6n(n+1(2n+1) i=1
( 1) 3 3 1, 3 3 2 n n n n 得 ( 1) 3 3 1 3 3 2 n n n n ( 1) 3( 1) 3( 1) 1 3 3 2 n n n n 2 1 3 1 3 1 1 3 3 2 两端分别相加, 得 ( 1) 1 3 n 3(1 2 n) n 即 n 3n 3n 3 2 n i i 1 2 3 3 2 n(n1) n n i i 1 2 6 1 n(n 1)(2n 1) 3(1 2 ) 2 2 2 n
例2。用定积分表示下列极限 1P+2p+…+n ()lim∑1+ n>h;=1 n→00 P+1 解: Im 1+== lir △x n→>n=1 1n→>00 n n √1+xdx nn 1P+2P+…+n 2)lim =lim △ n→>00 P n→>00 nn xp d 机动目录上页下页返回结束
1 1 2 (2) lim p p p p n n n n n i p n 1 lim 1 n i x x p d 1 0 i i x n i n n i n 1 1 1 (1) lim 1 1 2 (2) lim p p p p n n n 解: n i n n i n 1 1 1 (1) lim n n i n i n 1 lim 1 1 i i x 1 x dx 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 1 n i1 n i
说明:设f(x)∈Cab]则[f(x)dx在,根据定积 分定义可得如下近似计算方法 将[a,b分成n等份Ar= x1=a+i·Ax(i=0,1-,…,n) 记f(x1)=y1(=0,1,…,m) o d bx ada f(x)dx≈yAx+y1Ax+…+yn=1△x =bn(y+y1+…+yn=1)(左矩形公式 f(x)dx≈yAx+y2Ax+…+ynAx =bna(n+y2+…+yn)(右矩形公式 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x)C[a,b], 则 ( )d 存在, b a f x x 根据定积 分定义可得如下近似计算方法: x a i x (i 0,1, ,n) i , n b a x f (x ) y (i 0,1, ,n) 记 i i b a 1. f (x)dx y x y x y x 0 1 n1 ( ) 0 1 1 n n b a y y y 将 [a , b] 分成 n 等份: o a b x y i x i1 x (左矩形公式) ( ) n 1 2 n b a y y y (右矩形公式) b a 2. f (x)dx y x y x y x 1 2 n