长春大学：《高等数学》课程教学资源（授课教案）线性代数教案（任课教师：许莹）

长春大学旅游学院课程教案用纸容教学设计教案内以三阶行列式000aii0a3.为例，总结各00a22a44a21.a43..=aua22(-1)+ID=项性质...=ai1a22a33..annan2auam3anian4ann...3-121-513例7DT=求A, +A/2 +Ar3 +A14s2011-53-31性质6着重讲111解，因为使用110-5解Au+A/2+A13+A14=4率极高313-12-4-1 -3第二节n阶行列式的性质[aa2aina21azna22...将n阶行列式D：....aalan2an...的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式au2.a12a22..an2DT =aina2n...am称DT为行列式D的转置行列式.显然D也是DT的转置行列式，于是也称D与DT互为转置行列式.性质1行列式转置后其值不变，即D=DT由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立、性质2互换行列式的任意两行（列），行列式变号，互换i,j两行（列）记为r台r(c,台c,)推论若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式为零性质3行列式某一行（列)中各元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列注意：克莱姆第6页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 an an ann a a a D . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 = nn n n nn a a a a a a a a a a = a a − =  =  + 11 22 33 3 4 43 44 33 1 1 11 22 . . . . . . 0 0 . 0 ( 1) T 11 12 13 14 11 12 13 14 3 1 1 2 5 1 3 4 . A A A A , 2 0 1 1 1 5 3 3 1 1 1 1 1 1 0 5 A A A A 4 1 3 1 3 2 4 1 3 D − − − = + + + − − − − + + + = = − − − − 例7 求 解 第二节 n 阶行列式的性质 将 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = 的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式 n n nn n n T a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 12 22 2 11 21 1 = 称 T D 为行列式 D 的转置行列式.显然 D 也是 T D 的转置行列式，于是也称 D 与 T D 互为转置行列式. 性质 1 行列式转置后其值不变，即 T D = D . 由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立. 性质 2 互换行列式的任意两行（列），行列式变号， 互换 i, j 两行（列）记为 ( ) i j i j r  r c  c . 推论 若行列式中有两行(列)元素完全相同，则行列式为零. 性质 3 行列式某一行(列)中各元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k 乘以此行列 以 三 阶 行 列 式 为例， 总 结 各 项 性 质 性 质 6 着 重讲 解 , 因为使用 率极高 注 意 ： 克 莱 姆

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容法则的使用的式.第i行（列)乘以数k，记为kr(kc)范围推论行列式中某行（列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面性质4行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零性质5若行列式某一行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式可表示为两个行列式的.例如第；行的各元素都是两数之和，性质6把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数k加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。（用数k乘第i行（列）加到第j行（列）上，记作k+r(c,+c)性质7行列式D等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即D=anA,+a,A,++amA,(i=1,2,,n)或D=a,A, +a2,A, +.+amAm,(j=1,2,,n)这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下推论行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积或之和等于零：即anA,+ai2A2+.+amA=0(i±)(i+i).+anA.=0auA,+ai31-1223-4-51300例1 计算D=-1=18例2计算D==120021/36021-533ai-10ai2ain1013a22a2m...例3计算D=例4计算行列式D：0o210100-53amm...ba...aa注意：区分行ba..例5计算n阶行列式D=列式与矩阵。矩阵是一个矩baaa形表，行列式是一个具体数111I值aa2asas例6计算行列式D=aa,a?aa3a.3a3a第7页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 式.第 i 行(列)乘以数 k ，记为 ( ) i i kr kc 推论 行列式中某行(列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面. 性质 4 行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零. 性质 5 若行列式某一行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式可表示为两 个行列式的.例如第 i 行的各元素都是两数之和， 性质 6 把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数 k 加到另一行 （列）对应的元素上去，行列式不变.（用数 k 乘第 i 行（列）加到第 j 行（列）上， 记作 ) i j i j kr + r（c + c 性质 7 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之 和，即 ( 1,2, , ) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin i =  n 或 ( 1,2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j +  + anjAnj j =  n 这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下 推论 行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积 之和等于零 . 即 0 (i j) ai1Aj1 + ai2Aj2 ++ ai nAj n =  或 0 (i j) a1i A1 j + a2i A2 j +  + aniAnj =  例 1 计算 3 0 6 1 0 0 2 3 4 − − D = =18 例 2 计算 1 5 3 2 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − D = =120 例 3 计算 11 12 1 22 2 . 0 . . . . . 0 0 . n n nn a a a a a D a = 例 4 计算行列式 3 1 1 0 5 1 3 1 2 0 0 1 0 5 3 1 D − − = − 例 5 计算 n 阶行列式 . . . . . . . . b a a a a b a a D a a a b = 例 6 计算行列式 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 3 3 3 3 1 2 3 4 1 1 1 1 a a a a D a a a a a a a a = 法则的 使 用 的 范 围 注 意 ： 区 分 行 列 式 与 矩 阵 。 矩 阵 是 一 个 矩 形 表 , 行列式 是一个 具 体 数 值

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容[211]例7已知行列式D=1元1=0，求几的值.得=1或=-21元1第三节克莱姆法则含有n个未知量n个方程的线性方程组am,+a2x,+..+an=ba2imj+a22x2+...+a2nxn=b2(1)anx+anx,+...+amx,=b定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即aiana12.a21a22azn*D=￥0aman2a.则方程组（1）有唯一解D,D,D,相等矩阵：必(2)X =X2 =X.DDD须是同型矩阵才有可能其中D,(j=1,2…,n)是用b,b,b,代替D中第j列所得到的n阶行列式，[2x -x, +2x, =1例1用克莱姆法则求线性方程组3x,+4x2-x,=0的解[X+2x2-3x=4D_38_19D2=-40-_5D=_ 46=-23，x, =D24"12x3'24D-2412D只有同型矩阵aux+a2x2+...+anx,=0才可以相加，a2ix,+a2x2+...+a2nx,=0并且对应元素线性方程组(4)要相加amx+am2x,+...+ax,=0叫做齐次线性方程组.显然，X=xz==x，=0是方程组（4）的解，称这个解为齐次线性方程组（4）的零解：显然，齐次线性方程组（4）一定有零解.如果方程组（4）的一个解中x，x2…，x，不全为零，则称该解为齐次线性方程组（4）的非零解.数乘矩阵：数乘以矩阵的每一个第8页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 例 7 已知行列式 0 1 1 1 1 1 1 = =    D ，求  的值. 得  =1 或  = −2. 第三节 克莱姆法则 含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组        + ++ =     + ++ = + ++ = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即 0 . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 =  n n nn n n a a a a a a a a a D 则方程组（1）有唯一解 D D x 1 1 = ， D D x 2 2 = ，.， D D x n n = （2） 其中 D ( j 1,2, ,n) j =  是用 b b bn , ,  1 2 代替 D 中第 j 列所得到的 n 阶行列式， 例 1 用克莱姆法则求线性方程组      + − = + − = − + = 2 3 4 3 4 0 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的解 12 19 24 1 38 1 = = = D D x ， 3 5 24 2 40 2 = = − = − D D x ， 12 23 24 3 46 3 = = − = − D D x 线性方程组        + ++ =     + ++ = + ++ = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （4） 叫做齐次线性方程组.显然， x1 = x2 =  = xn = 0 是方程组（4）的解，称这个解为 齐次线性方程组（4）的零解；显然，齐次线性方程组（4）一定有零解.如果方程组 （4）的一个解中 n x，x ，，x 1 2 不全为零，则称该解为齐次线性方程组（4）的非零 解. 相 等 矩 阵 ： 必 须 是 同 型 矩 阵 才有可能 只 有 同 型 矩 阵 才可以 相 加 , 并 且 对 应 元 素 要 相 加 数乘矩阵：数乘 以矩阵的每一个

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容元素；x+x+x+=5数乘行列式：数x +2x2-x+4x4 =-2例2用克莱姆法则求线性方程组3乘以某行(列)的2x -x, -3x, -5x4 =-2元素3x +X2+2x+11x=0X+x2+2x,=0例3为何值时，齐次线性方程组x+x一x=0）有非零解2x+2x,+3x=0第二章矩阵重点：左（列)等于右1、了解矩阵的定义。2、明白什么是单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵，并且了解（行）它们的性质。3、了解矩阵的线性运算、乘法、转置，并且掌握它们的运算规律。4、明白方阵的幂同方阵的行列式。5、了解逆矩阵的定义，明白逆矩阵的性质，还有矩阵可逆的充分必要条件。6、理解伴随矩阵的定义，会通过伴随矩阵求出逆矩阵。7、了解矩阵的初等变换，明白初等矩阵的定义。8、了解矩阵的秩的定义，会用初等变换求矩阵的秩，会用初等变换求逆矩阵。难点：注意：1、矩阵的乘法AB+BAAB=0不能推出2、逆矩阵A=0或B=03、矩阵可逆的充分必要条件特例：AB=BA4、矩阵的秩5、用初等变换求矩阵的秩以及逆矩阵的方法。AC=BC,不能推出A+B6、矩阵运算性质的综合运用。矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性方程组的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的秩及其求法.第一节矩阵的概念一、矩阵的定义定义由mxn个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,,n)排列m行n列的矩形表一般地:A+Ar第9页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 例 2 用克莱姆法则求线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 4 2 2 3 5 2 3 2 11 0 x x x x x x x x x x x x x x x x  + + + =   + − + = −  − − − = −    + + + = 例 3  为何值时，齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 0 2 2 3 0 x x x x x x x x x   + + =   + − =   + + = 有非零解 第二章 矩阵 重点： 1、了解矩阵的定义。 2、明白什么是单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵，并且了解 它们的性质。 3、了解矩阵的线性运算、乘法、转置，并且掌握它们的运算规律。 4、明白方阵的幂同方阵的行列式。 5、了解逆矩阵的定义，明白逆矩阵的性质，还有矩阵可逆的充分必要条件。 6、理解伴随矩阵的定义，会通过伴随矩阵求出逆矩阵。 7、了解矩阵的初等变换，明白初等矩阵的定义。 8、了解矩阵的秩的定义，会用初等变换求矩阵的秩，会用初等变换求逆矩阵。 难点: 1、 矩阵的乘法 2、 逆矩阵 3、 矩阵可逆的充分必要条件 4、 矩阵的秩 5、 用初等变换求矩阵的秩以及逆矩阵的方法。 6、矩阵运算性质的综合运用。 矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性方程组 的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的秩及其求法. 第一节 矩阵的概念 一、矩阵的定义 定义 由 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, , n) ij =  =  排列 m 行 n 列的矩形表 元素； 数乘行列式：数 乘以某行(列)的 元素 左 ( 列 )等 于 右 (行 ) 注意： A B  B A A B= O 不 能 推出 A=O 或 B=O 特 例 : A B = BA AC=BC, 不 能 推 出 A  B 一般地 : T A  A

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容对称矩阵：aai2anA=ATa21a22...a2nA=(amlam2...a叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵.其中a,叫做矩阵A的第i行第j列元素.为了方便（1）式也简记为A=（a）m或Amxn，用字母A、B、C等表示.二、常见的特殊矩阵所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为0m或0.aua2在定义中当n=1时，A=(au）mx=叫做列矩阵.aml当m=1时，A=(a,)x=(au1an）叫做行矩阵.ai2.当m=n时，A=(ag）nn叫做n阶方阵(a00(au...a12ar00a21a22a22a2n..*.形如A=或B=0aan2aan.的n阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵.主对角线以外的元素都为零的n阶方阵，0(a000a22...A=叫做n阶对角形矩阵.00ann...主对角线上元素都是1的n阶对角形矩阵注意：100001当[A+0时，E =叫做n阶单位矩阵(00A-才存在1若两个矩阵A,B行数相等，列数也相等，则称矩阵A与B是同型矩阵.对同型矩第10页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页               = m m mn n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.其中 aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.为了方 便（1）式也简记为 A = aij mn ( ) 或 Amn ，用字母 A、B、C 等表示. 二、常见的特殊矩阵 所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为 0mn 或 0. 在定义中 当 n =1 时，               =  = 1 21 11 1 ( ) m ij m a a a A a  ，叫做列矩阵. 当 m =1 时， ( ) ( ) A = aij 1n = a11 a12  a1n 叫做行矩阵. 当 m = n 时， A = aij nn ( ) 叫做 n 阶方阵. 形如               = an an ann a a a A . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 或               = nn n n a a a a a a B 0 . . . . . 0 . . 22 2 11 12 1  的 n 阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵. 主对角线以外的元素都为零的 n 阶方阵，               = ann a a A 0 0 . . . . . 0 . 0 0 . 0 22 11 ，叫做 n 阶对角形矩阵. 主对角线上元素都是 1 的 n 阶对角形矩阵               = 0 0 . 1 . . . . 0 1 . 0 1 0 . 0 E ，叫做 n 阶单位矩阵. 若两个矩阵 A,B 行数相等，列数也相等，则称矩阵 A 与 B 是同型矩阵.对同型矩 对称矩阵: T A = A 注意： 当 A  0 时 ， −1 A 才存在