∈0，N,定义 B(x) aj(x) x∈UF 0≤jsN 且 6x)兰0，x∈Rn\U火F:1≤j≤W 则有月∈C(R"),supp月C (x)≥0，x∈R” 以及 ∑x)=1,xe五 2 即，{}0≤sN是一个从属于D的开覆盖{20≤sN的整体划分， {1≤sN是一个从属于2的开覆盖{h1≤≤N的整体划分 a 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∀j ∈ 0, N, 定义 βj(x) △ = αj(x) PN k=0 αk(x) , x ∈ [ 0≤j≤N F¯ j 且 βj(x) △ = 0, ∀x ∈ R n \ [ { F¯ j : 1 ≤ j ≤ N}. 则有 βj ∈ C∞ c (R n ), supp βj ⊂ Ωj , βj(x) ≥ 0, ∀x ∈ R n 以及 X N j=1 βj(x) = 1, ∀x ∈ Ω. 即, {βj}0≤j≤N 是一个从属于 Ω 的开覆盖 {Ωj}0≤j≤N 的整体划分， {βj}1≤j≤N 是一个从属于 ∂Ω 的开覆盖 {Ωj}1≤j≤N 的整体划分. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
设u∈WmP().则有 N u=∑u X∈2 j=0 且每个逐点积Bu在WmP(n2)中支集为2 定义Wm,P()→WmP(2)×Π1WmP(n2)的函数为： u→(B0u,B1u,.·,BNU).该函数是线性单射. 由于supp3iu∈2，j∈1，N,且Bu∈WmP(2n2),则 (uo9∈WmP(Qt),支集为Q. 因此可定义线性单射 A:WmP()→WmP(@)×[Wm,P(Qt)】W, u→(B0u,(Bu）op1,…,(BNU)N) 近一步，可以证明△u上的乘积范数与Wm,P(2)中u的范数等 价，从而A是WmP()到指定乘积的闭子空间中的一个连续线性 单射. 2aa 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 设 u ∈ Wm,p (Ω). 则有 u = X N j=0 βju x ∈ Ω 且每个逐点积 βju 在 Wm,p (Ω ∩ Ωj) 中支集为 Ωj . 定义 Wm,p (Ω) → Wm,p (Ω) × QN j=1 Wm,p (Ω ∩ Ωj) 的函数为： u 7→ (β0u, β1u, . . . , βNu). 该函数是线性单射. 由于 suppβju ∈ Ωj , j ∈ 1, N，且 βju ∈ Wm,p (Ω ∩ Ωj), 则 (βju) ◦ φj ∈ Wm,p (Q+)，支集为 Q. 因此可定义线性单射 Λ : Wm,p (Ω) −→ Wm,p (Ω) × Wm,p (Q +) N , u 7−→ β0u,(β1u) ◦ φ1, · · · ,(βNu) ◦ φN . 近一步，可以证明 Λu 上的乘积范数与 Wm,p (Ω) 中 u 的范数等 价, 从而 Λ 是 Wm,p (Ω) 到指定乘积的闭子空间中的一个连续线性 单射. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
利用坐标卡技术可以局部化边界上函数的讨论， Cm(∂2)定义为(o9j∈Cm(Qo),j∈1，N的函数 f:2→R之集合.流形2有测度“ds”,定义2积分为 dy为Q0CRn-1上通常的(Lebesgue)测度.因此，可通过 lll2(an,=(n12ds)1/2给出C(82)=C(a2)上的一个范数， 且完备化集为Hilbert空间L2(∂G). 则 λ：L2(a2)→ [L2(Qo)]N f→ (Bfop1,,(Bwf月oPN), 且入和入1逆都是连续的. 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 利用坐标卡技术可以局部化边界上函数的讨论. C m(∂Ω) 定义为 (βj f) ◦ φj ∈ C m(Q0), j ∈ 1, N 的函数 f : ∂Ω → R 之集合. 流形 ∂Ω 有测度 “ds” ，定义 ∂Ω 积分为 Z ∂Ω f ds = X N j=1 Z ∂Ω∩Ωj (βj f) ds = X N j=1 Z Qj (βj f) ◦ φj(y ′ )J(φj) dy′ , dy′ 为 Q0 ⊂ R n−1 上通常的 (Lebesgue) 测度. 因此, 可通过 ||f||L 2(∂Ω) = (R ∂Ω |f| 2 ds) 1/2 给出 C(∂Ω) = C 0 (∂Ω) 上的一个范数, 且完备化集为 Hilbert 空间 L 2 (∂G). 则 λ : L 2 (∂Ω) −→ L 2 (Q0) N f 7−→ (β1f) ◦ φ1, . . . ,(βNf) ◦ φN , 且 λ 和 λ −1 逆都是连续的. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
定理2.1 设2CRn,边界光滑.则对p∈[1，∞)，WmP(2)是关于 WmP(2)范数的C"(①的完备化 证明。 记WmP()为C∞（①的关于WmP(2)范数的完备化.仅需 证明WmP(2)=Wm,P(2) 容易知道WmP(2)是一个具与WmP(2)上范数定义相同的 Banach空间，且WmP(2)CWm,P(2).因此，我们仅需要证明 WmP()CWm,P(2).证明被分为4步. 4口4+4左，4生+2分Q0 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理 2.1 设 Ω ⊂ R n , 边界光滑. 则对 p ∈ [1, ∞), Wm,p (Ω) 是关于 Wm,p (Ω) 范数的 C m(Ω) 的完备化. 证明. 记 Wm,p (Ω) 为 C∞(Ω) 的关于 Wm,p (Ω) 范数的完备化. 仅需 证明 Wm,p (Ω) = Wm,p (Ω). 容易知道 Wm,p (Ω) 是一个具与 Wm,p (Ω) 上范数定义相同的 Banach 空间，且 Wm,p (Ω) ⊂ Wm,p (Ω). 因此, 我们仅需要证明 Wm,p (Ω) ⊂ Wm,p (Ω). 证明被分为 4 步. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
Step1.先考虑当2=R?的情形.我们仅需证明每一 u∈WmP(Rn)可被从C(Rn)逼近. 设e>0,对X=(X,Xn),X∈Rn-1,xn>-e,定义 ue(X)=u(X,Xn+e).则有当e→0时ue→u在WmP(Rn)中. 设0∈C(R)单调，X≤-e时(x)=0x>0时(X)=1.则函 数ue定义为当Xn>-e时等于(Xn)ue(X),当Xn≤-e时等于 0,属于WmP(R)且显然在R?上ue=ue.则应用引理2.1可 得一个在WmP(R”)中收敛于ue的序列{pk21CCe(R”).限 制{PkRn}21属于C∞(RT)且在Wm,P(R?)中收敛于ue. 实芳芳 第三章Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Step 1. 先考虑当 Ω = R n + 的情形. 我们仅需证明每一 u ∈ Wm,p (R n +) 可被从 C∞(Rn +) 逼近. 设 ε > 0，对 x = (x ′ , xn), x ′ ∈ R n−1 ,xn > −ε，定义 uε(x) = u(x ′ , xn + ε). 则有当 ε → 0 时 uε → u 在 Wm,p (R n +) 中. 设 θ ∈ C∞(R) 单调，x ≤ −ε 时 θ(x) = 0 x > 0 时 θ(x) = 1. 则函 数 θuε 定义为当 xn > −ε 时等于 θ(xn)uε(x)，当 xn ≤ −ε 时等于 0 ，属于 Wm,p (R n ) 且显然在 R n + 上 θuε = uε. 则应用引理 2.1 可 得一个在 Wm,p (R n ) 中收敛于 θuε 的序列 {φk}∞ k=1 ⊂ C∞ c (R n ). 限 制 {φk|Rn + }∞ k=1 属于 C∞(Rn +) 且在 Wm,p (R n +) 中收敛于 θuε. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间