对k∈NU{0},0≤a≤1，对f∈C(2),如果 Ilfil(兰∑Ia产flc.ag lal<k 为有限值，则称f∈C,a(2)CC(2) 命题1.4 Ck,a(2)是包含C+1(2)的Banach空间，且包含于C(2). 可构造出m阶连续微分算子L,连续映C+m,a(2)到 Ca(2). 设k,I∈NU{0},0≤a,B≤1.如果f∈Ca(), g∈C,B(2),k+a≤1+B,由定义知fg∈C@(2),且该乘法算子 从Ca(2)×C,B(2)到Cka(2)连续. 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对 k ∈ N ∪ {0} , 0 ≤ α ≤ 1，对 f ∈ C k (Ω), 如果 ||f||Ck,α(Ω) △ = X |α|≤k ||∂ α f||C0,α(Ω) 为有限值，则称 f ∈ C k,α(Ω) ⊂ C k (Ω). 命题 1.4 C k,α(Ω) 是包含 C k+1(Ω) 的 Banach 空间，且包含于 C k (Ω). 可构造出 m 阶连续微分算子 L ，连续映 C k+m,α(Ω) 到 C k,α(Ω). 设 k, l ∈ N ∪ {0}, 0 ≤ α, β ≤ 1. 如果 f ∈ C k,α(Ω)， g ∈ C l,β(Ω), k + α ≤ l + β, 由定义知 fg ∈ C k,α(Ω), 且该乘法算子 从 C k,α(Ω) × C l,β(Ω) 到 C k,α(Ω) 连续. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
命题1.5 设L是具C(①)系数的m阶变系数微分算子.对任意k≥0及 0≤a≤1，L映Cm+k,a(2)到Ca(2) 4口4+4左，4生+2分Q0 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 命题 1.5 设 L 是具 C∞(Ω) 系数的 m 阶变系数微分算子. 对任意 k ≥ 0 及 0 ≤ α ≤ 1，L 映 C m+k,α(Ω) 到 C k,α(Ω). 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
设C0(2)是Ca(①)中紧支函数的闭包.该空间比Cka(2) 小 如，C(0,1)中的函数必定在端点{0,1}收敛于0，但 C0a(0,1)中的函数没有这一性质. 练习1.1 证明对任意k≥0及0≤a≤1，C8(R”)是C.0(R”)的稠子集 (Hint:用一个C函数通近C,a紧支函数，与一个逼近于恒等算 子光滑紧支函数卷积) 4口4+4左，4生+主分QC 实芳芳 第三幸Sobolev空
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 设 C k,α 0 (Ω) 是 C k,α(Ω) 中紧支函数的闭包. 该空间比 C k,α(Ω) 小. 如，C 0,α 0 ((0, 1)) 中的函数必定在端点 {0, 1} 收敛于 0, 但 C 0,α((0, 1)) 中的函数没有这一性质. 练习 1.1 证明对任意 k ≥ 0 及 0 ≤ α ≤ 1，C∞ c (R n ) 是 C k,α 0 (R n ) 的稠子集. (Hint: 用一个 C∞ c 函数逼近 C k,α 紧支函数, 与一个逼近于恒等算 子光滑紧支函数卷积.) 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
Holder空间在椭圆PDE中非常有用.下面给出一个典型例 子 设0<a<1,设f∈C0,a(R3)支集为B(0,1).设u是 Pos$ion方程-△u=f的唯一有界解，可表示为 u()dy. 4T JR3 lx-yl 则u∈C2,a(R3),且满足Schauder估计 llullc2.(3)<Callfllco.(3) 其中Ca仅依赖于a. 注1.1 Schauder估计当a=0时不成立. 这也是有必要引入Holder空间而不是更直观的C空间的原因。 实芳芳 第三幸Sobolev空
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hölder 空间在椭圆 PDE 中非常有用. 下面给出一个典型例 子: 设 0 < α < 1, 设 f ∈ C 0,α(R 3 ) 支集为 B(0, 1). 设 u 是 Possion 方程 −∆u = f 的唯一有界解, 可表示为 u(x) △ = 1 4π Z R3 f(y) |x − y| dy. 则 u ∈ C 2,α(R 3 ), 且满足 Schauder 估计 ||u||C2,α(R3) ≤ Cα||f||C0,α(R3) 其中 Cα 仅依赖于 α. 注 1.1 Schauder 估计当 α = 0 时不成立. 这也是有必要引入 Hölder 空间而不是更直观的 C k 空间的原因。 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
命题1.6 设0≤a<B≤1.任意有界函数序列{fn}e1CC,9()支集都 在2的同一个紧子集中，则该序列有一个收敛于C,(2)的子 列. 命题1.6可由Arzela-Ascoli定理直接得到 4口4+4左，4生+2分QC 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 命题 1.6 设 0 ≤ α < β ≤ 1. 任意有界函数序列 {fn}∞ n=1 ⊂ C 0,β(Ω) 支集都 在 Ω 的同一个紧子集中，则该序列有一个收敛于 C 0,α(Ω) 的子 列. 命题 1.6 可由 Arzelá-Ascoli 定理直接得到. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间