《高等数学》课程教学资源（习题选解）第一章 函数、极限与连续

义域为 [2nm,(2n+1)π]，n=1,2,3… (3)0≤x+a≤1，即-a≤x≤1-a,所以f(x+a)(a>0)的定义域为[-a,l-a. (4)0≤x+a≤1且0≤x-a≤1，即-a≤xI-a且a≤x≤1+a,所以 0>0是类05 习题1-2 1.设limx=a,证明：lim=ad. n 证因为x-a≤kn-a,所以廿s>0,由limx=a知3N,当n>N时，有 7-→00 xn-la≤x,-d<s成立，由定义知limx=lal. 月7》00 2.根据数列极限的￡一N定义证明 (1)1im(2+-)=2: (2) 1 n m=0 (3)1im”+=1: nn-1 ④m份+4. n-yoo n 正(1)由于2+马)-2=上，所以E>0,取N>,当n>N时，有 n n 2+wge+-2 四归-7ca>as>0v~得 当n>N时，有 <￡成立。由定义知m疗=0： 1 Vn2+4 V+4-n= 4 <4 4 (4)要使 <6,只要n> n n(n2+4+n)n 即可：所以VE>0,取N>4,当n>N时，有 m2+4 n 小<44 <￡成立，由定 nN

义域为 [2 ,(2 1) ] n n    ， n 1,2,3 （3） 0 1    x a ，即     a x a 1 ，所以 f (x  a)(a  0) 的定义域为 [a,1 a] ． （ 4 ） 0 1    x a 且 0 1  x a ， 即     a x a 1 且 a x a    1 ，所以 f (x  a)  f (x  a)(a  0) 的定义域为：若 2 1 0  a  ， 则为 [a,1 a] ；若 2 1 a  ，则为空集 ． 习 题 1－2 1．设 lim n n x a   ，证明： lim n n x a   ． 证 因为 n n x a x a    ，所以    0 ，由 lim n n x a   知 N ，当 n N 时，有 n n x a x a      成立，由定义知 lim n n x a   ． 2．根据数列极限的   N 定义证明 （1） ) 2 1 lim(2   n n ； （2） 2 1 lim 0 n n  ； （3） 1 lim 1 n 1 n  n    ； （4） 2 4 lim 1 n n  n   ． 证 （ 1 ） 由 于 1 1 (2 ) 2 n n    ，所以    0 ， 取 1 N   ， 当 n N 时，有 1 1 1 (2 ) 2 n n N      成立，由定义知 ) 2 1 lim(2   n n ； （2） 要使 2 2 1 1 0 n n     ，只要 1 n   即可．所以    0 ，取 1 N   ， 当 n N 时，有 2 2 2 1 1 1 0 n n N      成立，由定义知 2 1 lim 0 n n  ； （4）要使 2 2 2 4 4 4 4 1 ( 4 ) n n n n n n n n n            ，只要 4 n   即可．所以    0 ，取 4 N   ，当 n N 时，有 2 4 4 4 1 n n n N       成立，由定

义知lim n2+4 =1. n一→网 n 3.设x1=0.9,x2=0.99,…,xn=0999…9,问limx=？求出N,使n>N m个 时，xn与其极限之差的绝对值小于0.0001. 证 700 x-= 10n <0.0001, 1010<10=0.0001 要N>4,当n>N,有k,-=<< 4.设数列{xn}有界，又limy=0,证明：limx=0. 证因为数列{xn}有界，故3M>0,使得对一切xn,有x≤M,又Iimn=0,故 6>0,VN,当n>N时小水后于是，当n>N时，郁e小水kM克=8 M 由定义知 limxy=0. 5.对于数列{xn},若x2k-1→a(化→∞)，x2k→a(k→0)，证明： xm→a(n→oo) 证因为x2k-1→a(k→0)，x2k→a(k→)，所以V￡>0,3K>0,使得 当k>K时，有x2k-1-a<E,x2k-a<E成立，令N=2K,则当n>N时， 有xn-a<6,由定义知xn→a(n→0) 习题1-3 1.根据函数极限的定义证明 (1)lim(3x-1)=5: (2)li x2-x-2 x→-1x+1 (3) ,1+x31 lim 3x2=3 (4)lim sinx=0

义知 2 4 lim 1 n n  n   ． 3．设   个 ， ， ， n n x 0.9 x 0.99 x 0.999 9 1  2   ，问 lim  ?  n n x 求出 N ，使 n  N 时， n x 与其极限之差的绝对值小于 0.0001． 证 1 0.999 9 1 n n x     1 10n ，显然 lim 1 n n x   ． 要 使 1 n x   1 0.0001 10n  ， 只要 N  4 ，当 n  N ，就有 1 n x   4 1 1 1 0.0001 10 10 10 n N    4．设数列 { }n x 有界，又 lim 0 n n y   ，证明： lim 0 n n n x y   ． 证 因为数列 { }n x 有界，故   M 0 ，使得对一切 n x ，有 n x M ，又 lim 0 n n y   ，故     0, , N 当 n N 时，有 n y M   ，于是，当 n N 时，有 n n n n x y x y M M      ， 由定义知 lim 0 n n n x y   ． 5 ．对于数列 { }n x ， 若 2 1 k x a   ( ) k   ， 2k x a  ( ) k   ，证明： n x a  ( ) n   证 因为 2 1 k x a   ( ) k   ， 2k x a  ( ) k   ，所以    0 ，   K 0 ，使得 当 k K 时，有 2 1 k x a     ， 2k x a    成立，令 N K  2 ，则当 n N 时， 有 n x a    ，由定义知 n x a  ( ) n   ． 习 题 1－3 1．根据函数极限的定义证明 （1） lim(3 1) 5 2    x x ； （2） 2 1 2 lim 3 x 1 x x  x      ． （3） 3 1 3 1 lim 3 3    x x x ； （4） sin lim 0 x x  x  ．

证(1) 《3x-1)-5列3那-2斗，e>0要3-2水<8，只要-2<5即可 于是数6=号则当0<水-2水k心时就3x-1)-=3非-2水36=8，定义知 lim(3x-1)=5. ..Ve-0. 只要x+1<E即可.于是取6=6，则当0<x+1<6时， 广2+415=议胶义 x2-x- x+1 2=-3 (3)要使 1+x111+x3-x1 3r- <6,只要 1 e.所.6>0.取X> E当小X时有 1 33产<6成立，由定义知1m +x3_1 ”3x33 )要使元-0≤万<6，只要x>之即可.所以，￡>0， 11 取X>已，则当x>X时有 <￡成立，由定义知 sinx lim =0. 3x-1,x≥3，讨论x→3时f()的左、右极限. X, x<3 2.设f(x)= 解：limf(x)=limx=3,limf(x)=lim(3x-l)=8. x5 3 打33 3.当→0时.y=!→1，问X度为值。才能使时>X时，-<001？ x2+3

证（1） (3 1) 5 3 2 x x     ，   0 要使 3 2 x    ，只要 2 3 x    即可． 于是取 3    ，则当 0 2    x  时，就有 (3 1) 5 3 2 3 x x         ，由定义知 lim(3 1) 5 2    x x ． （2） 2 2 ( 1)( 2) 3 3 1 1 1 x x x x x x x            ，   0 ，要使 2 2 3 1 x x x       ， 只要 x   1  即可．于是取    ，则当 0 1    x  时， 2 2 3 1 1 x x x x           成立，由定义知 2 1 2 lim 3 x 1 x x  x      ． （3）要使 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 3 x x x x x x         ，只要 3 1 3 x   即可．所以，    0 ，取 3 1 3 X   ，当 x X  时，有 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 x x X x       成立，由定义知 3 1 3 1 lim 3 3    x x x ． （4）要使 sin 1 0 x x x     ，只要 2 1 x   即可．所以，    0 ， 取 2 1 X   ，则当 x X  时，有 sin 1 1 0 x x x X      成立，由定义知 sin lim 0 x x  x  ． 2．设        3 1 3 3 ( ) x x x x f x ， ， ，讨论 x  3 时 f (x) 的左、右极限． 解： 3 3 lim ( ) lim 3 x x f x x       ， 3 3 lim ( ) lim(3 1) 8 x x f x x        ． 3．当 x  时， 1 3 1 2 2     x x y ，问 X 应为何值，才能使 x  X 时， y 1  0.01 ？

-40o1暖20呵 故取X>20,当x>X时，有y-1<0.01. 4.证明函数f(x)=x当x→0时极限为零 证：因为f(x)-0=x-0=x-0,所以，e>0,取δ=6，当0<x-0<6时， 有fx)-0l=x-0l<6=6,由定义知limf(x)=0 5.证明：若X→十0及x→00时，函数∫(x)的极限都存在且都等于A,则 limf x扌A. 证：因为x→十0及x→一00时，函数f(x)的极限都存在且都等于A,所以，V￡>0， X,>0,当x>X1时，有f(x)-A<6:又3X2>0,当x<-X2时，有 lf(x)-A<e.取X=max{X,X2},当x>X时，就有f(x)-A<E成立， 由定义知，limf(x)=A. Y-o 6.设imf(x)=A存在，证明：存在正数M及X,使得当x>X时，有f(x)<M. 证：由于Iim∫x)=A,所以对于6=1，X>0,当>X时，有Vx)-A小<1，于 是当x>X时，有f(x=/f(x)-A+A≤f(x)-A+A<1+4, 取M=1+A,则当x>X时，有f(x)<M. 习题1-4 1.两个无穷小量的商是否一定是无穷小量？举例说明之。 解：两个无穷小量的商不一定是无穷小量.例如：当x→O时，x,SinX,1一COSx均是无 穷小，但lim sinx=1.lim x→0X -0 1-c0S=0,即当x→0时，sinx与x的商不是无穷小 X 1-C0Sx与X的商是无穷小

解：要使 2 2 2 2 2 2 1 3 4 4 4 1 1 1 0.01 3 3 3 x x y x x x x               ，只要 x  20 即可． 故取 X  20 ，当 x  X 时，有 y 1  0.01． 4．证明函数 f x x ( )  当 x  0 时极限为零． 证：因为 f x x x ( ) 0 0 0      ，所以，    0 ，取    ，当 0 0    x  时， 有 f x x ( ) 0 0        ，由定义知 0 lim ( ) 0 x f x   5 ．证明：若 x   及 x   时，函数 f x( ) 的极限都存在且都等于 A ， 则 lim ( ) x f x A   ． 证：因为 x   及 x   时，函数 f x( ) 的极限都存在且都等于 A ，所以，    0 ， 1   X 0 ， 当 1 x X  时，有 f x A ( )    ； 又 2   X 0 ， 当 2 x X   时 ， 有 f x A ( )    ．取 X X X  max ,  1 2 ，当 x X  时，就有 f x A ( )    成立， 由定义知， lim ( ) x f x A   ． 6．设 lim ( ) x f x A   存在，证明：存在正数 M 及 X ，使得当 x X  时，有 f x M ( )  ． 证：由于 lim ( ) x f x A   ，所以对于  1，   X 0 ，当 x X  时，有 f x A ( ) 1   ，于 是当 x X  时，有 f x f x A A f x A A A ( ) ( ) ( ) 1         ， 取 M A  1 ， 则当 x X  时，有 f x M ( )  ． 习 题 1－4 1．两个无穷小量的商是否一定是无穷小量？举例说明之。 解：两个无穷小量的商不一定是无穷小量．例如：当 x  0 时， x ，sin x ，1 cos  x 均是无 穷小，但 0 sin lim 1 x x  x  ， 0 1 cos lim 0 x x  x   ，即当 x  0 时， sin x 与 x 的商不是无穷小， 1 cos  x 与 x 的商是无穷小．