乘法的特性分配性。我说 (a十b)Xe=(aXc)十(bXe), 我们用分析验诅，该等式对c=1祈言为真多其次，若该定理 对c亡Y为真，则它对c兰Y十1亦为真。 因此，该命题通过递归而证明。 交换性1。我说 aX1=1×a 该定理对a=1厢言是显而易见的。 我们用分析验证，若该定理对a=2为真，则它对a=2十1 亦为真。 2°我说 aXb=eXa。 该定理对于=1而言刚刚证明过了。我们可以用分析险进， 若它对五=B为真，则它对b三B十1亦为真。 V 我在这里不再进行这和一·连串单调的推班。但是，正是这中 单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步部要再次遇的得字 显示出来。 这种程序就是递归证明。我们首先对n=1规定一个定理， 然后我们证期，若该定理对一1为真，则对n也为其，从得出 结论：它对所有的整数都为真。 我们刚才看到，如何可以用递归法来证明加法法则和乘法法 则，也就是代数计算法则：这种计算是变换的工具，它有助丁形 成更多的各种不同的组合，远非简单的三段论所能相比；但是， 13
它依然是纯粹分析的工具，不能告诉我们任何新东西。如果数学 没有其他工具，它就会因之即刻阻障自已的发展：但是，它重新 求助于同一程序，即求助于递归推理，从而它能够继续前进。 如果我们密切注视一下，我们在每一步都会再次遇到这种推 理方式，它或者是以我们刚才给予它的简单形式出现的，或者是 以或多或少修正了的形式出现的。 于是，我们在这里有了典型的数学推理，我们必须更为仔细 地审查它。 递归推理的主要特征是，它包括着无穷个三殷论，可以说它 浓缩在单一的公式中。 为了更清楚地看到这一点，我想依次说明这些三段论，如果 你容许我形容一下的话，它们就好象“瀑布”一样直泻下来。 这些当然都是假设的三段论。 定理是对数1为真。 现在，若它对1为真，则它对2亦为真。 故它对2为真。 现在，若它对2为真：则它对3亦为真。 故它对3为真，如此等等。 我们看到，每一个三段论的结论都是下一个三段论的小前 提。 而且，我们的所有三段论的大前提都能简化为单一的公式。 若定理对n一1为真，则它对n亦为真。 其次，我们看到，在递归推理中，我们仅限于陈述第一个三 殷论的小前提和把所有大前提作为特例包括进来的普遍方式。 14
从而，这一连刊永无依止的三段论®就简化为几行。 正如我上而已经解释的，现在很容易理解一个定的每一个 特殊结产为何都能够丽纯称分析的程序来核验。 如果浅]不去证明我们的架对于所有数为真，俩我们贝 希望证明它对6这个数为真，那么建立我们级联的头五个三段论 在我们来就足够了：如界我」想针对数10证明该定，那只需 要9个三段论；致越人，需要的三段论也就越多；然而，不管这 个数多么大，我们总能达到目的，从而分析核验是可能的。 可是，无论我们走得多么远，我们也无法上升到对于一切数 都适用的善遍定理，而唯有普遍的定理，才是科学的H标。欲达 此日的，需要无穷个三段论；这就必须跨越只局限于形式逻辑方 法的分析家的忍耐力永远也无法填满的深渊。 起初我曾问过，人们为仆么不想象出一个神通广大的精神， 一一限就洞祭到整个数学真理。 现在很容易回答了；秩手能够预料四、五步棋，不管他多么 非凡，他也只能准备有限步棋；假使他把他的本领用于算术，他 也不能凭借单一的直接直光祠察算术的普遍真理；为了获得最些 微的定理，他也不得不借助于递时推理，因为这是能使我们从有 穷通向无穷的工其。 这个工其总是有用的，因为它容诈我们跨越我们]所希超的那 么多的阶梯，它使我有省去冗长的、使人厌狮的和单通的核验， 而这种核验会很快地变得不能实施。但是，只要我们以普遍的定 理为目的，它就变得必不可少了，而分析的核验虽侧可以使我靠丁 不断地接近这一目的，却永远无法使我们达到它。 在算术领域，我们可以认为我们闩已距领积分相当遥远，然 而，正如我们]刚刚看到的，数学无穷的观念已经起着举足经重的 15
作用，没有它便没有科学，因为没有它就不会有普遍的东西。 I 递归推理所依据的判断能够处于其他形式之下，例如，我们 可以说，在不同整数的无穷个集合中，总存在着一个比所有其他 数都小的数。 我们能够很容易地从一个陈述推到另一个陈述，由此便产生 了已经证明过递归推理的合法性的幻觉。 但是，我们总会受到阻得，我们总会达到不可证明的公理， 而这个公理实际上只不过是有待证明的、翻译成另一种语言的命 题罢了。 因此，我们无法摆脱这样一个结论递归推理的法则不能简 化为矛盾律。 对我们来说，这个法则也不能从经验而来；经验能够告诉我 们，该法则对头十个数或头一百个数为真；例如，它不能到达无 穷系列的数，而只能到达这个系列的一部分，不管该部分或长或 短，但总是有限的。 现在，假若只是那样一个问题，则矛盾律也就足够了，它总会 容许我们展开象我们所希望的那么多的三段论：只有在把无穷个 三段论包括在单一的公式中时，只有在无穷面前时，矛盾律才会 失效，也就是在那里，经验变得软弱无力。这个法则是分析证明 和经验难以得到的，它是先验综合判断的真正典范。另一方面， 我们也不能认为它象几何学的某些公设那样是一种约定。 可是，这种判断为什么以不可遏止之势迫使我们服从呢？那 是因为，它只是证实了精神的威力，我们的精神知道，它本身能 够想象得出，只要这种行为一次是可能的，同样的行为就可以重 16
复无穷次。精神对这种威力有一种直接的直觉，而经验只不过是 为利用它提供机会，从而能够意识到它。 但是，有人会问，如果未加工的经验不能证明递归推理的合 法性，那么借助于归纳的实验也是这样吗？我们陆续看到，一个 定哩对1,2,8等数为真；我们说，这个规律是明显的，它象 每-个以为数很多、但却是有限的观察为基础的物理学定律一样， 有着相同的根据。 必须承认，在这里存在着与通常的归纳程序酷似之处。不过， 也有本质的差别。用于物理科学中的归纳总是不可靠的，因为它 建立在宇宙具有普遍秩序的信仲上，而这种秩序却是在我们之外 的。相反地，数学归纳法即递归证调却必然强加于我们，因为它 只是证实了精神本身的特性。 I 正如我前面已经说过的，数学家总是力图推广他们所得到的 命题，不必另找例子，我刚才已经证明了等式： a千1-1十a, 后来利用它建立等式 中央杜会土义学脱 a十b=b十a, 图书鏑 该等式显然更为普遍。 ★藏书，★ 因此，象其他科学一样，数学也能够。 在开始这项研究时，这似乎是一个我们不可理解的事实，但 是由于我们弄清了递归证明和普通归纳的类似性，这个事实在我 们看来就不耳神秘了。 毫无凝阿，数学中的递归推和物理学中的归纳推理建立任 不同的基础上，但是它们的步湖是相同的，它们在同一方向上前 17