无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明之中，它就不 会是新的；推理只能惜用直接的直觉给我们以直接自明的莫理： 心恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分故理由去询 问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？ 翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的种击： 在每一页上，作者都要阐述他推广一些已知的命题的意图。数学 方法是从特殊到一般吗，假若如此，为何又能够把它称为演深的 呢？ 最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断 通过分析导出，那么博大精深的精神一服就能察觉它的所有真理； 不仅如此，我们甚至可以预期，人们总有一天会发明出一种妃够 简单的语言来描述它们，使它们对于通常的智力来说也皂自明 的。 如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就 有一种创造能力，从而不同于三段论。 该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个 相等的数的同一一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使这 一法则时找不出其中的奥秘。 所有这些推理方式，不管它们是否可化归为真正的三段论， 它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力 的。 I 这里要讨论的是老问题，莱布尼兹(Leibnitz)企图证明2加 2得4，让我们看-一下他的证明吧。 我将假定数1已被定义，又假定运算x+1意调把单位1加· 8
已知数x上：。 这些定义不管是什么，它们都没有进人推理过程。 然后我通过华式 (1)11=2；(2)2十1=3；(3ì3十1=4 二之数，3和4、 州同样的力式，我通过下述关系定义运算x十2： i1)x十2=(x十1)十1。 于预先假定了这一切，于是我们有 2十1+1口3十1（定义2）， 3十1=4 (定义3)， .2十2=(2十1)十1（定义4)， 此可得 2十2=4 证毕。 不能否认，这个推理是纯粹分折的。可是若问任何一个数学 家：“这不是真正的证明”，他将会对你说：“这是核验。”我们仅 限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我」没有 认识到仟么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析 的，汇因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，正因为结论不过 是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是筐有成效的， 因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。 等式2十2=4是如此易受核验，只因为它是特殊的。数学 中的每一个特殊的陈述总是能够以这种相同的方式核验。但是， 如果数学能够化归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例 如，棋手并没有仁赢棋中创立科学。没有普遍性便没行科学。 人们甚至可以说，精密科学的真正厨的就在于使我们医脱这 些直接的核验。 9
亚 因此，让我们着看几何学家是如何工作的，并且力图把握他 的工作程序。 这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任 何证明，这是不够的。 我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的 ,本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复 杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找 依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。 选择还是必要的：在数论的比较高深的部分，原始数学命题 已经经受了如此深刻的提炼，以致于它们变得难以分析了。 因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的解 释，但是拾拾是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经 典论文的作者表现得最不精确、最不严格。我们不必把这作为一 种罪过归咎于他们：他们服从了必然性；初学者没有受到真正的 数学严格性的练；他们在其中只能看到无用的、使人厌须的细 碎；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间，他们 必定会迅速地、但却是按部就班地通过，而科学奠基人却是缓慢 地越过这条道路的。 为了习惯于这种充分的严格性一它似乎应该自然而然地施 加在一切健全的精神之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？ 这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。 但是，我们不去处理它：它不是我们的目的，我们必须重新 证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理 留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家的满意 10
的形式给予他们。 加法的定义。我假定已经定义了运算x十1，即把数1加到 已知数x上。 这个定义不管是什么，都没有进入我的后继的推理之中。 我们现在要定义运算x十a,就是把数a加到已知数x上 假定我们定义了运算 8十(a一1)， 则运算x十a将用等式 x十a=〔x十(a-1》J十1 (1) 来定义。 只有我们脚道《十(a一1)是什么，然后我]才能知道x十a是 什么，正如我假定过的，从我们知道x十1是什么开始，我们就能 相继地借锄递归定义运算x十2,1十3等等。 这个定义值得注意一下它具有一种特殊的性质，这种性质 已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式(1)包含着无穷个不 陶的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。 加法的特性结合性。我说 a卡(b十c)=(a十b)十e。 事实上，该定理对c=1而言为真，于是可写出 a÷(b+1)=(a+b)+1, 该除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的(1)式。 假定该定理对c=Y而言为真，我说它对c=Y十1亦为真。 事实ㄥ，设 (a十b)十Y=a十(b十y), 11
由此可得 C(a+b)+2]+1=〔a+(b十2)十1y 或者根据定义(1) (a+b)+(y+1)=a+(b十Yh1)=a+Cb+(Y十1， 这表明，通过连串的纯粹分折的演绎，该定理对Y十1为真。 由于对c=1为真，从而我们相继看到，它对c=2,c=3 等也是如此。 交换性。1°我说 a十1=1十a。 该定理显然对a=1来说为真，我]能够用纯粹分析的推理 来验证，若它对a÷Y为真，则它对a=Y+1也为真，现在，该定 理对a口1为真，因而它对a=2,a=8等亦为真，这可用下述 说法来描述：所陈述的命题通过递归而证明。 2°我说 a+b=b十a。 该定理刚才针对h一1已被证明；可以用分析来验证，若它 对b=B为真，则它对b=B+1亦为真。 因此，该命题通过递归而成立。 乘法的定义我们将用下述等式来定义乘法： a×1=a, a×be〔a×(b-1)十&。 (2) 象等式(1)一样，等式(2)包含着无穷个定义，只要定义了 a×1,就能使我们相继定义a×2,a×3等等。 12