进着，也就是说，从特殊到普遍。 让我们稍微比较仔细地审查一下这种情况。 为了证明等式 a十2=2十a, 只要把法则 a+1=1a (1) 运用两次就足够了，而且可以写出 a+2=8+1+1=1+a十1=1十1十a=2+a。(2) 无论如何，用纯粹分析的方法从等式(1)如此演绎出来的等 式(2)决不仅仅是(1式的特例：它是完全不同的某种东西。 因此，我们甚至不能说：在数学推理的真正分析的和演绎的 部分，我们是在该词的通常意义上从普遍到特殊。 与等式(1)的两个数相比，等式(2)的两个数只不过是更为复 杂的组合而已，分析仅仅用来把进入这些组合中的元素分开并研 究它们的关系。 因此，数学家是“通过构造”而工作的，他们“构造”越来越复 杂的组合。他们通过分析这些组合、这些集合体，可以说返回到 它们的初始元素，他们赛觉到这些元素的关系，并从它们推导出 集合体本身的关系。 这是纯粹分析的步臻，但是它无论如何不是从普遍到特殊的 步骤，因为很明显，不能把集合体视为比它们的元素更特殊。 人们正当地赋予这种“构造”程序以重大的藏义，一些入还力 图从中发现精密科学进步的必要条件和充分条件。 无疑地，这样做是必要的；但并不是充分的。 要使一种构造物有用而不白费心血，而且可以作为人们希望 攀登的阶梯，那么它首先必须具有一种统一性，这种统一性能使我 18
们从中看到某种东西，而不只是看到它的元素本身的并置。 或者，更确切地讲，考虑构造物，而不是考虑它的元素本身， 必定有某些好处。 这种好处能够是什么呢？ 例如，为什么对总是可以分解为三角形的多边形推理，而不 对基本的三角形推理呢？ 这是因为属于任何边数的多边形的特性可以羽于任何箱定的 多边形。 相反地，通过直接研究基本三角形的关系发现这些特性，结 果就要耗费大量的精力。知道了普遍定埋便节省了这些精力。 因此，一个构造物要变得有趣，只有当它能够与其他类似的 构造物并列，从而形成同一个种的类。 如果四边形不只是两个三角形的并置，这是因为它属于多边 形的一种。 而且，人们必定能够证明这个种的特性，而不必迫使去对每 一个类去相继建立它们。 欲达此目的，我们必须攀登一个或多个阶梯，从特殊上开到 普遍。 “通过构造”的分析程序没有迫使我们下降，而是让我们留在 同一水平线上。 我们只有件功数学归纳法才能攀登，唯有它能够告诉我们某 种东西。没有在某些方面与物理学归纳法不同的、但却同样有效 的数学归纳法的帮助，则构造便无力去创造科学。 最后要注意，只有同样的运算能够无穷地重复，这种归纳 祛才是可能的。这就是为什么国际象棋的理论从来也不能变成科 学，因为同一织必赛的不同走法彼此并不相以。 19
第二章 数学量和经验 如果人们想知道数学家对连续统作何理解，就不应询问几何 学。几何学家总是企图或多或少地想象他所研究的图形，但是他 的表示在他看来仅仅是一种工具；在制定儿何学时，他要利用空 间，正如他用粉笔画图一样；对非本质的东西不应当赋予过多的 意义，其重要性并不比粉笔的白色更多一些。 纯粹的解析家并不害怕这一危险。他使数学科学脱离所有无 关的元素，而且能够回答我们的问题：“严格地说来，数学家就其 进行推理的这个连续统是什么呢？”许多对他们的学科进行沉思的 解析家已经作出了回答，例如，塔纳里(Tannery)先生在他的 《单变数函数论导论》一书中就这样作了。 让我们从整数的标度开始；在两个连续步骤之间插人一个或 多个中间步骤，然后在这些新步骤中再插人其他步骤，如此类推， 以至无穷。这些步骤将是所谓的分数、有理数或可通约数。但是， 这还不够；无论如何，在这些已经是无穷个数的项之间，还必须 插入称之为无理数或不可通约数的其他数。 在更进一步之前，我们要注意一下。如此设想的连续统，只 不过是按某种顺序排列起来的无穷个虽则为真、但却相互外在的 数的个体之集合物。这不是通常的概念，其中假定，在连续统的 元素之间，存在着使它们成为一个整体的密切的结合物，在那里， 点不是在线之先，而是线在点之先。从“连续统是多样性的统一” 这一受人称颂的公式中，只保留着多样性，统一性却消失了。解析 20
家在象他们所作的那样定义连续统时，他们仍然是正确的，因为 只要他们称赞他们的严格性，他们总是以此公式推理的。这足以 告诉我们，真正的数学连续统是与物理学家的连续统和形而上学 家的连续统大相径庭的东西。 也许可以说，满足于这个定义的数学家受到词的愚弄，为了解 释这些中间步骤如何被插入，为了证明这样作是可能的，就必须精 确地讲出这些中间步骤的每一个是什么。但是，那就错」；在他们 的推理①中所运用的这些步骤的唯一特性是在如此如此的步骤之 前或之后排列的特性；因此，也唯有这一特性应当出现在定义中。 这样看来，中间项应该如何插入不需要我们涉及；另一方面， 没有一个人会怀疑这种操作的可能性，除非他忘记了，在几何学 家的语言中，可能的仅仅意味着无矛盾。 不管怎样，我们的定义还不完善，我将在这段冗长的题外话 之后再谈及它。 不可通约数的定义柏林学派的数学家，尤共是克罗内克 (Kronccker),不用整数之外的任何材料，致力于格造分数和无理 数的这一连续标度。照此看来，数兴连续统大概是精祢的纯粹创 造，经验并米参与其中。 有理数概念对他们来说似乎没有困难，他们主要力求定义不 可通约数。可是，在这里介绍他们的定义之前，我必须作一个声 明，以保证不引起那些不熟悉几何学家习惯的读者的惊奇。 数学家研究的不是物体，而是物体之间的大系：因此，只要 关系不变，这些物体被其他物休代换对他]来说是无关紧要的。 在他们看来，内容是不要的，他」感兴趣的只是形式。 ①以及包括在特殊割定小的推理，这些约定用来定义珈法，我将在后而谈到它们。 21
不想到这~点，就无法理解戴德金(Dedekind)仅把-一种符号 命名为不可通约数，也就是说，这种数完金不同于应当是可度量 的、并且几乎是可触知的量的普通观念。 现在，让我们看看戴德金的定义是什么： 可通约数能够以无穷方式分为两类，服从这个条件的第一类 中的任何数都大于第二类中的任何数， 也可能会出现这种情况：在第一类数中，有一个数小于所有其 他数；例如，如果我们把所有大于2的数和2本身排在第一类， 把所有小于2的数排在第二类，那么很清楚，2将是第一类所有 数中最小的。数含可以选来作为这种分类的符号。 相反地，也可能会出现下述情况：在第二类数中，有一个数大 于所有其他数；例如，如果把所有大于2的数排在第一类，把所 有小于2的数和2本身排入第二类，情祝就是这样。在这里，数 2再次可以选作分类的符号， 但是，同样完全可以发生下述情况：在第一类中既不存在小 于所有其他数的数，在第二类中也不存在大于所有其他数的数。 例如，假定我们把其平方大于2的所有可通约数放入第一类，把 其平方小于2的所有可通约数放入第二类。这里没有其平方拾恰 是2的数。显然，在第一类中没有小于所有其他数的数，因为不 管一个数的平方多么接近2，我们总是能够我到一个可通约数， 其平方更接近于2。 按照戴德金的观点，不可通约数 w√2 无非是可通约数分类的这一特殊式样的符号，于是，对于每一种 分类式样，对应着一个可通约数或不可通约数作为它的符号。 可是，满足这一点也许未免过于轻视这些符号的来源了；依 22