液压与气压传动第5版 式中，ap/s为沿流线方向的压力梯度。 设该微元体在定常流动下的加速度为α，由于定常流动时液体的流速“只是流线段长s 的函数，即u=f(s),故 26 du duds ou a= =u dt as dt as 由牛顿运动定律ΣF=ma,可得 pdA-p+ dsdA-pgdAdscos0=pdAdsu as 因为az/as=cos0,代人上式，化简后可得 1 ap dz =0 p ds 在定常流动时，p、z、“均只是流线段长s的函数，故可进一步将上式简化为 dp+gdz+udu=0 (1-17) 0 这就是重力场中，理想液体沿流线做定常流动时的运动方程，即欧拉运动方程。它表示 了单位质量液体的力平衡方程。 2.理想液体的伯努利方程 将式(1-17)沿流线积分，便可得到理想液体微小流束的伯努利方程 +g+2常数 (1-18a) 或对流线上任意两点且两边同除以g可得 Pu P2 uz pg +2g 2g pg (1-18b) 式(1-18)即为理想液体做定常流动的伯努利方程。其中式(1-18a)表明理想液体做定常 流动时，沿同一流线对运动微分方程的积分为常数，沿不同的流线积分则为另一常数。这就 是能量守恒规律在流体力学中的体现。式（1-18b)表明，理想液体做定常流动时，液流中 任意截面处液体的总水头由压力水头(P/pg)、位置水头(z)和速度水头（“2/2g)组成， 三者之间可互相转化，但总和为一定值。如图1-13所示，微小流束在1、2截面处的总水头 高度为H。其中ac、a'c'表示压力水头和位置水头，称为静水头。bc、b'c'表示速度水头。 如果流动是在同一水平面内，或者流场中坐标的变化与其他流动参数相比可以忽略不 计，于是式(1-18)可写成 P ui P2 u (1-19) P 2 p2 该式表明，沿流线压力越低，速度越高。 3.实际液体流束的伯努利方程 实际液体具有黏性，因此液体在流动时还需克服由于黏性所引起的摩擦阻力，这必然要 消耗能量，设因黏性而消耗的能量为'，则实际液体微小流束的伯努利方程为 t18+2。+8+2+h8 p 2 P (1-20)
第一章液压传动基础知识 4,实际液体总流的伯努利方程 前面已经求得实际液体微元流束的伯努利方程，现需求实际液体总流的伯努利方程。如 图1-14所示的一段管流，两端的通流截面积各为A,、A2,在此取出一微小流束，两端的通 流截面积各为dA1和dA2,其相应的压力、流速和高度分别为P1、山1、1和P2、山2、2。这 27 一微小流束的伯努利方程为式(1-20)，将式(1-20)的两端乘以相应的微小流量dg(dg= u1dA1=2dA2),然后各自对管流的通流截面积A1和A2进行积分，得 +=++人+ (1-21) 式(1-21)中左端及右端前两项积分分别表示单位时间内流过A,和A2的流量所具有的总能 量，而右端最后一项则表示管流内的液体从A1流到A2因黏性摩擦而损耗的能量。 d c 图113微小流束的水头线 图1-14伯努利方程推导简图 为使式(1-21)便于使用，首先将图1-14中截面积A1和A2处的流动限于平行流动（或 缓变流动)，这时液流的通流截面A,、A2可视作平面，在通流截面上除重力外无其他质量力， 因而通流截面上各点处的压力具有与静止液体相同的压力分布规律，即p/+g=常数。 另一方面，用平均流速v代替管流截面积A1或A2上各点处不等的流速，且令单位时 间内截面A处液流的实际动能和按平均流速计算出的动能之比为动能修正系数α，即 I f u2 udA u'dA a= (1-22) 而 w3dM=(e±au)dM=(m3±3wau+3au2±au3)dM 由于 [±3AudA=0利±AudM=0 所以
液压与气压传动第5版 a)da+3vud 因此式(1-22)可写成 28 3A+3u△u2dA 3△u2dA a= =1+ (1-23) DA 2A 由式(1-23)可知，α>1，α与液体流动状态即截面上流速分布有关。流速分布越不均匀， a值越大；流速分布较均匀时，a值接近于1（层流时a:=2,湍流时α≈1）。 此外，对液体在管流中流动时因黏性摩擦而产生的能量损耗，也用平均能量损耗的概念 来处理，即令 h'dq h 2 所以将上述关系代入式(1-21)并经整理可得 P x1听P2 一+21g+ +z2g+2+h.B 2 P (1-24) 式(1-24)就是仅受重力作用的实际液体在管流中做平行（或缓变）流动截面上的伯努利方 程。它的物理意义是单位质量液体的能量守恒。其中，g为单位质量液体从截面A1流到截 面A2过程中的能量损耗。在应用时必须注意：和p是指截面的同一点上的两个参数，至于A,、 A2上的点倒不一定都要取在同一条流线上，一般把这两个点都取在两截面的轴心处，不过是 为了方便而已。同时两个计算通流截面应取在缓变流动处，但两截面之间的流动不受此限制。 5.伯努利方程应用举例 例1-2如图1-15所示的水箱侧壁开有一小孔，水箱自由 1 液面11与小孔2-2处的压力分别为P,和P2,小孔中心到水 箱自由液面的距离为h,且h基本不变，若不计损失，求水 从小孔流出的速度。 解以小孔中心线为基准，根据伯努利方程应用的条件， 选取截面1-1和2-2列伯努利方程： 在截面1-1：1=hP,=P11≈0（设a1≈1) 图1-15侧壁孔出流速度 在截面2-2：2=0P2=P。2=？（设a2≈1)根据式 (1-24)有 P2, 2+z2g+2 代入各参数，即可写成 -+hg= p P 2 所以 2(P1-P】 v2= 2gh+
第一章液压传动基础知识 当P,=Pa时 "2=√2gh (1-25) 式(1-25)即为物理学中的托里切利公式。液体从开口容器的小孔流出的速度与自由落 29 体速度公式相同。 当(p,-P.)/p≥hg时，2gh项可以略去，此时 2 U2= （P,-P.)= -△ (1-26) 例13推导图1-16所示的文丘利流量计的流量公式。 解根据伯努利方程的应用条件， 选取1-1和2-2两个通流截面，设其面 P2 A 积、平均流速和压力分别为A、、P1 0 和A2、2、P2。如对通过此流量计的液 流采用理想液体的伯努利方程（因h1= h2,取a1=a2=1),则有 一十一=十 P 2 p 2 水银 根据液流的连续性方程 图1-16文丘利流量计 A1U1=A22 U形管内的静压力平衡方程（设液体和水银的密度分别为p和p) P +pgh=p,+p'gh 由以上三式经整理可得 A A 2g(p'-p) 9=242= (P1-P2） h=c/h (1-27) 即流量可直接由水银差压计读数换算得到。 例1-4计算液压泵吸油腔的真空度或液压泵允许的最 大吸油高度。 解如图1-17所示，设液压泵的吸油口比油箱液面高 h,取油箱液面1-1和液压泵进口处截面2-2列伯努利方程， 并取截面1-1为基准平面，则有 p1a1好P2,a2吃 -=-+hg+ P 2 P 式中，P,为油箱液面压力，由于一般油箱液面与大气接触， 故P1=P。；2为液压泵的吸油口速度，一般取吸油管流速； ”1为油箱液面流速，由于1<2，故可以将1忽略不计； 图1-17泵从油箱 P2为吸油口的绝对压力；hg为单位质量液体的能量损失。 吸油示意图
液压与气压传动第5版 据此，上式可简化为 P.P2 2吗 +hg+ PP 2 +hw8 30 液压泵吸油口的真空度为 a2写 P.-P:=pghtp 2 tpgh.=pghtp- 2+4p (1-28) 由式(1-28)可知，液压泵吸油口的真空度由三部分组成：①把油液提升到一定高度所 需的压力；②产生一定的流速所需的压力；③吸油管内的压力损失。液压泵吸油口真空度不 能太大，即泵吸油口处的绝对压力不能太低，否则就会产生气穴现象，导致液压泵噪声过 大，因而在实际使用中h一般应小于500mm,有时为使吸油条件得以改善，采用浸入式或 倒灌式安装，目的是使液压泵的吸油高度小于零。 四、动量方程 液体作用在固体壁面上的力，用动量定理来求解比较方便。动量定理指出：作用在物体 上的力的大小等于物体在力作用方向上的动量的变化率，即 ∑F=d(mp (1-29) dt 把动量定理应用到流动液体上时，须从流管中任意取出图1-18所示的被通流截面A-A 和B-B所限制的液体体积并称之为控制体积，A-A截面 和BB截面称为控制表面。此控制体积经d:时间后流 至新的位置A'A'、B'B',在此控制体积内的微小流束 中，取一流线段长为ds、截面积为dA、流速为u的微 元，则这一段微元的动量为 pdAdsu =pdqds 控制体内微小流速的动量为 dM=pdqgds=pdg(a,-s,） 图1-18液流动量方程推导简图 整个控制体积液体的动量为 M=[aM p(s2 -s1)dq (1-30) 式中，s1、52分别为A-A和B-B截面处的坐标。由动量定理可得 ΣF-(-)=o-出+p-4b =p(s2-s1) daod dt 在工程实际应用中，往往用平均流速v代替实际流速“，其误差用一动量修正系数B予以修 正，故上式可改写为 ΣP=ps-) +pqB2P2-pgβ11 (1-31) 式(1-31)即为流动液体的动量方程。方程左边∑F为作用于控制体积内液体上的所