§2.2收敛数列的基本性质 21 2.2.3 判定数列发散的方法 这里的基本方法有 1.无界数列一定发散 2.从数列收敛的定义出发，用对偶法则就可得到（参考§1.4） {an}发散←→Ha,3eo>0,VN,3n>N,使得|an-al≥e0. 3.有一个发散子列的数列一定发散， 4.如果发现有两个子列不可能收敛于相同极限，则这个数列一定发散， 5.Cauchy收敛准则也是判定数列发散的充分必要条件（见下一章s3.4) 在下面的例题中不但证明所给定的数列无界，而且证明它是正无穷大量 例题2.2.5根据无穷大量的定义证明im n3+n-7=+∞. nco n+3 证要对每个给定的G>0,证明有N,当n>N时，有(n3+n-7)/(n+3)> G.不妨令n>3,这样分母就可用2n代替而使分式变小.由于这时分子中的 n3-7>2n3,又弃去分子中的n,这样就可以估计出 n3+n-7 n+3 7 2=2>n 为使最后一式大于G,只要取N=max{3,[4G}即可. ▣ 注这里所用的方法与前面的“适当放大法”完全一样，但或许应称为“适当缩 小法”了.容易看出，本题的关键在于分子的最高次数高于分母的最高次数.只要保 持这一特点，在简化时就可以慷慨地缩小，最后得到N的简单表达式， 接下来的例题是数学分析中的一个重要结果，这里将给出3个证明，并在几个 注解中作进一步的补充 例题22.6设S=1+号+号++7n∈N,证明数列{S}发散 数列{S}发散是不容易猜出来的.如果读者（用计算器或计算机）试算一下这 个数列的前若干项，就会发现这个数列增长得很慢.从第一项S1=1开始，到S83 才第一次大于5，到S12367才刚超过10.今后在2.5.3小节中学了有关Euler常数 的知识后我们就能够准确估计Sm的近似值.这里的精彩故事见数学通俗读物[12] 的第八章 历史上的证明最早是Oresme(奥雷姆，约1323一1382)在1360年左右发表的 (见[29]).后来Bernoulli兄弟，Jacob Bernoulli(1655一1705)和Johnann Bernoulli (1667一1748)，在1689年左右又给出了两个证明
22 第二章数列极限 证1较为常见的证明就是Oresme的方法，其实质是利用不等式 1 1 (2.3) 这样就可以得到 52=1+5=52+号+>5+2(4)=2 =54+言+言+7+日>5+4()>1+=25， 不难用数学归纳法证明（请读者完成）：对每一个，成立不等式 52≥1+受 可见数列{Smn}无上界，因此发散. 证2这是Jacob Bernoulli的证明（引自[29）.他发现对任意的正整数n,有 十+n2++六>n=1-品 1 n2 因此得到不等式 品+n十++>1 (2.4) 由于n是任意的，这样就知道 =1+++>2 55=+号++方>3， 1 依此类推，可见数列{Sn}不可能收敛 ▣ 证3用反证法.若{Sn}收敛，记S=lim Sn.分拆S2n=An+Bn,其中 A=1+号+号+…+2n B=++合++动 1 由于Bn=S,因此mBn=受S.但由此又可以计算出 i。An=ia(Sn-Bn)=2S. 比较An和Bn,对每个n都有An-Bn>,因此{An}和{Bn}收敛于同一个极 限值是不可能的. ▣
S2.2收敛数列的基本性质 23 注由于{Sn}是严格单调增加数列.在前两个证明的基础上不难证明{S} 是正无穷大量.此外，例题2.2.6还有许多其他解法.在例题2.3.4中将会证明数列 {++} 收敛，而且极限大于0.由于这个数列的通项就是S2m-S, 如果数列{Sn}收敛，则1im(S2n-Sn)=0.这与例题2.3.4的结论矛盾，可看成 是本题的第4个证明.在例题3.4.2中用Cauchy收敛准则又对本题给出新证明. 下一个例题将介绍如何用构造两个子列的方法来证明数列发散 例题2.2.7证明数列{sinn}发散. 证1（几何方法）从正弦曲线y=six的图像（如图2.2）可以设法构造出两个 子列.虽然我们并不知道它们是否收敛，但却有把握知道它们（如果收敛的话）决不 可能收敛于同一极限.现在观察y=six在一个周期上的几何图像： y=sin x (2k+1)π (2k+2)π 2kit 2 图2.2 先看图2.2中介于2kπ和(2k+1)π之间的（加黑的）区间[2kπ+（π/4），2k元+ (3π/4)小.由于函数sinx在这个区间上的取值不小于sin(π/4)=V2/2,同时区间长 度又大于1，因此在该区间中一定存在一个正整数，记为.对每个飞都这样做，就 得到一个子列{sinn}.如果它收敛的话，其极限一定不小于√2/2， 类似地可以在图2.2上的区间[(2k+1)元，(2k+2)π]中选出正整数%，得到第 二个子列{sinn幻.它如果收敛的话，极限一定不会大于0. 因为收敛数列的每个子列都收敛于同一极限，而现在所构造出的两个子列即 使都收敛，也不可能收敛于同一极限，从而就推知{sinn}是发散数列. ▣ 利用正弦函数的特殊性，本题也可证明如下， 证2用反证法.设存在lim sinn=a,则就有sin(n+1)-sin(n-1)→ 0.由于sin(n+1)-sin(n-1)=2sin1cosn,因此得到cosn→0.再利用 cos(n+1)-cos(n-1)=-2 sinn sin1→0，又得到sinn→0.这样就有 lim sinn=lim cosn =0. 这与恒等式sin2n+cos2n=1相矛盾， 注本例题的解法还有很多，见下一章的例题3.4.3
24 第二章数列极限 下一例题的方法与上面完全不同.在§2.6将对这类“迭代”数列作专题讨论， 例题2.28设三号，n+1三号士，nEN,证明：若c>1,则{n}发 散 证用反证法.若数列{xn}收敛，记其极限为A.在递推公式 n+1=号+ 两边令n→o,就得到 A三+婴 这表明极限值A应当满足二次方程A2一2A+c=0.但由于这个二次方程的判别 式△=4-4c<0,因此无实根.这表明A不存在，因此数列{xn}发散， 口 注1显然，{xn}在c>0时严格单调增加，因此在c>1时是正无穷大量， 注2这个例题是[14的第一卷的第35小节中例6的一部分.在那里对参数 c的其他情况作了详细研究.但其中对于c<-3时未作深入讨论就说数列{x}发 散，这是不正确的.在[24的8一14页对此题作了完整的讨论，其中证明存在可列 个参数值c<-3使得{xn}收敛.由于此题的迭代方程在c≤1时通过线性变换 x=(1+√1-℃(1-2y)即可成为本章第二组参考题19（以及2.6.3小节中的题3） 中的logistic(逻辑斯谛)映射（抛物线映射）的迭代系统，因此本书正文中不再讨论 c≤1的情况. 下一个例题的内容和证明都很简单，但实际上是无穷级数收敛的一个必要条 件.这在无穷级数理论中是一个基本内容 例题2.2.9设有两个数列{Sn}和{an},且有关系如下： Sn=a1+a2+·+an,n∈L: 若{Sn}收敛，则{an}为无穷小量.反之，若{an}不是无穷小量，则{Sn}发散. 证从n≥2起有an=Sn-Sn-1,又当{Sn}收敛时，{Sn-1}n≥2也一定收 敛，而且收敛于同一极限，在上式两边取n→oo,就得到lim an=0. ▣ n-oo 注对于给定的数列{an},将记号 ∑an=a1+a2+…+an+ n= 称为以an为通项的无穷级数.从{an}出发，就可以如例题2.2.9中的关系式那样 定义数列{Sn},称为该无穷级数的部分和数列.如果{Sn}收敛，并有 lim Sn=S, 71→0
S2.2收敛数列的基本性质 25 则定义该无穷级数收敛，且称S为该无穷级数的和，记为 00 an=a1+a2+…+an+·=S. n=1 否则就说该无穷级数发散 无穷级数理论具有极其丰富的内容，是本书下册的中心内容之一，但由以上的 简单介绍也已经可以看出，无穷级数与数列有密切的联系.实际上前面的例题2.2.6 的内容就是证明以1/m为通项的无穷级数发散（于正无穷大）.这个级数一般称为 调和级数. 用无穷级数的语言来说，例题2.2.9的内容是：无穷级数收敛的必要条件是它 的通项（所成的数列）收敛于0.当然，这并非是充分条件，用例题2.2.6就可以说明 这一点 2.2.4 练习题 1.证明：{an}收敛的充分必要条件是{a2k}和{a2k-1}收敛于同一极限 2.以下是可以应用夹逼定理的几个题： (1)给定p个正数a1,a2,…,ap,求1im/a好+a贴+…+a昭： (2)设xn= 1 √n2+1vn2+2 Vm+疗，n∈N,求imn n-oo ③)设am=（+++)，neN,求an (4)设{an}为正数列，并且已知它收敛于a>0,证明lim√an=1. 切。 3.求下列极限 (1)lim(1+x)(1+x2)…(1+x2"),其中z<1; ②m（1-2)(1-2)…(1-是) 网（-中2)0-1+2+3)(-1中2+)月 (4)lim 123+234+…+ n(n+1)(n+2)]月 (5) k=1 k+)…(k+(其中v为正整数). (最后两个题是[2十23+…+ 1 n(n+1) 的推广)