16 第二章数列极限 2n> 因此可以放大如下： 6 n56! 2元< n46! nm-10m-2)m-3)(m-4m-5<(m-55· 然后在n>10时，将上式最右端表达式中的分母(n-5)5用较小的(n/2)5代替， 进一步放大为 2<n4625 n <105 n5 可以看出，为了使最后一个表达式小于e,只要取N=max{10,[105/e} ▣ 注初学者要注意，如果将分子n5换为n100,或者n的任意次多项式，结论仍 成立.又如果将分母2n换为3”或10m,结论也成立.因此就可以知道，在以n为自 变量时，多项式与基数大于1的指数函数之比是无穷小量.从学习数学分析一开始 就需要注意各种不同函数之间的极限关系 在例题2.1.1中的主要工具是二项式展开.在下一个例题中则用到一个基本不 等式，即在第一章§1.3中的算术平均值-几何平均值不等式（即命题1.3.3）.以下 的方法也都可用于证明基本题1imVY6=1(b>0)(证明从略). 例题2.1.2证明数列{元的极限是1. 证1在n≥2时，我们有 1≤阮=(nV元-1…)六<2v而+n-2 <1+2 n-2个1 因此得到估计 0≤沉-1< 对于给定的e>0,取N=max{2,[4/e2]}即可. 口 证2本题也可以用类似于例题2.1.1的方法来证明.由于V元≥1，只要关心 不等式元-1<e.令yn=元-1，则yn≥0成立，且当n>1时有 n=a+hr≥02 从这个不等式解出yn,就找到了在n>1时的“适当放大”： 2 元-1=ym≤Vn-1' 因此取N=[2/e2]+1即可. ▣ 注请读者注意，以上两个基本例题还有很多解法（即一题多解）.例如用后面 的单调有界数列的收敛定理或Stolz定理都可以解决这两个问题
S2.2收敛数列的基本性质 17 2.1.5 练习题 1.按极限定义证明： (1)lim- 3n2 =3; n→0on2-4 (2)lim sinn=0; n→o0 1 (3)lim(1+n)n=1; (4)1im an n-oo nan=0(a>0). 2.设an≥0，n∈N,数列{an}收敛于a,证明lim√an=√a. n-oo 3.若lim an=a,证明lim lan=la.反之如何？ 4.下面一组题在本章的许多极限计算中有用（并与第五章的连续性概念有关）： (l)设p(x)是x的多项式.若lim an=a,证明limp(an)=p(a): n→d (2)设b>0,lim an=a,证明lim ban=b; m●0 (3)设b>0,{an}为正数列，lim an=a,a>0,证明lim logb an=logb a; →● (4)设b为实数，{an}为正数列，lim an=a,a>0,证明lima品=a; ● 2→●0 (⑤)设lim an=a,证明lim sinan=sina. m (例如上面提到过的题：若b>0,则imb元=1.它是第(2)题的特例) 、m→o∞ 5.设a>1,证明lim logan =0. n→o (可以利用已知极限lim元=1.) n-too S2.2收敛数列的基本性质 关于收敛数列有下列基本性质和定理： 1.收敛数列的极限是唯一的； 2.收敛数列一定有界； 3.收敛数列的比较定理，包括保号性定理； 4.收敛数列满足一定的四则运算规则； 5.收敛数列的每一个子列一定收敛于同一极限. 对以上内容不仅要会用，还应学习它们的证明，因为其中的方法在数学分析中 都是基本的，学会了这些方法才能说真正懂得了数列收敛的定义和实质， 这里还应指出，在数列敛散性的讨论中我们经常利用的一个基本事实，这就是 数列的收敛或发散与该数列的（任意）有限多项无关.实际上，从定义即可看出，一
18 第二章数列极限 个数列{an}是否收敛，在收敛时它的极限是什么，当然和数列的第一项a1无关， 将这一个简单事实推而广之，就得到一个很有用的结论，即数列是否收敛（以及在 收敛时的极限是什么)和数列中的有限多项无关.例如，对一个给定的数列，改变它 的前100项，或将它们统统去掉，或在它们之前再增加若干项，这样我们就得到了 新的数列.从极限的定义可知，所有这些新的数列的敛散性与原来的数列完全相 同.若原数列收敛，则所有新数列不但收敛，而且还有相同的极限 对于这一事实的用法举几个例子.实际上，在前面讲适当放大法时已经提到， 不等式|an-a<f(m)并不一定要对所有正整数成立，只要对足够大的n成立就 可以了，在两个例题中我们都是这样做的.又如在今后的许多定理中，其中的条件 均可以修改为在充分大时成立即可.以下面将多次使用的单调有界数列的收敛 定理为例，一个给定的数列虽然并非单调，但从某项以后单调，就可以使用这个定 理 2.2.1 思考题 1.设{an}收敛而{bn}发散，问：数列{an+bn}和{anbn}的敛散性如何？ 2.设{an}和{bn}都发散，问：数列{an+bn}和{anbn}的敛散性如何？ 3.设an≤bn≤cn,n∈N,已知1im(cn-an)=0,问：数列{bn}是否收敛？ 4.找出下列运算中的错误： lim( n+1+…+ 1 1 =0. n→0o =n十1+…+2 5.设已知{an}收敛于a,又对每个n有b<an<c,问：是否成立b<a<c? 6.设已知{an}收敛于a,又有b≤a≤c,问：是否存在N,使得当n>N时成立 b≤an≤c? 7.设已知lim an=0,问：是否有lim(a1a2…an)=0?又问：反之如何？ 2.2.2 例题 下一个例题的结论很不平常，它是收敛数列的一个特点，它的证明方法与收敛 数列的有界性定理的证明方法几乎相同.（请思考：为什么说这个结论不平常？） 例题2.2.1若数列{an}收敛，则在此数列中一定有最大数或最小数，但不一 定同时有最大数和最小数： 证1设此数列的极限为a.若此数列的每一项等于a,则不必再说.否则，设 数列的某一项am≠a.若有am>a,则可取e=am一a.从收敛数列的定义知道
S2.2收敛数列的基本性质 19 存在N,使得当n>N时，lan-a<e.由于有am-a=e,显然m≤N.从图2.1 可见，在[am,十oo)中至少含有{an}中的一项am,但至多含有该数列中的N项. am=ate 图2.1 令M=max{a1,a2,…,aw},则在n>N时，有 an<ate=a+(am-a)=am<M, 可见M是数列{an}的最大数.同样可证在am<a时，数列{an}有最小数 很容易举出不同时存在最大数和最小数的收敛数列的例子.例如数列 {} 收敛于0，它有最大数，但没有最小数 证2若{an}不是常值数列，则可从数列中取出不等的两项，设为as<at,然 后用反证法如下.设数列中既无最小数又无最大数，则存在无穷多项小于ag,又存 在无穷多项大于at.因此，所有大于as或小于at的实数都不可能是数列{an}的 极限.于是{an}没有极限，与其收敛性矛盾 ▣ 下面一个例题有很多解法.这里举出两种不同解法. 例题22.2若照十日=0，证明职=a 中● 证1由题设可见a≠0.由条件可知，e>0,3N,当n>N时，成立 In-a <e. In+al 由此可估计出lzn-al<elzn+a=el(xn-a)+2al≤e(zn-a+2a).若限制 e<1,则可得出lxn-a<2eal/(1-e).又若限制e<1/2,则又可得到 26lal <4lale. lEn-al<1-6 由于上式右边是e乘固定常数，可见成立lim in=a. 证2作代换 Vn In-a In +a' 则从a卡0可以看出对每个n都有yn卡1，因此就可以将xn用yn表示出来： 1+Un xn=a·1-yn 然后根据lim yn=0和极限运算法则就得到lim Tn=a. 口 m→0d n-00 注1与适当放大法的例题不同，那里只是从数列收敛的定义出发，但在这两 个证明中我们已经用到了收敛数列的许多基本知识，初学者要看到这个变化
20 第二章数列极限 注2在证2中用了变量代换法.这值得注意.实际上，若要证明lim 2n=a, ● 就可以令yn=xn-a,然后去证明lim Un=0.这就是变量代换的最简单例子. 7● 应当指出，即使是如此平凡的代换，对于考虑问题也是有帮助的 如何证明数列收敛和计算收敛数列的极限是这一章中的主要问题.一般说来， 除了少数情况外，对于给定的一个数列{a},即使它是收敛的，我们也不知道它的 极限是什么.这时在数列收敛定义中的a不是一个已知量，不可能用来验证数列 {an}收敛.因此当然需要新的工具. 在研究数列收敛方面有两个工具是很基本的，这就是 。夹逼定理（也称为两面夹定理等）： 。单调有界数列的收敛定理 其中单调有界数列的收敛定理在理论上和应用上都非常重要，是本章的重点学习 内容，我们将在下面§2.3中专门讨论 夹逼定理是求极限的有力工具.其中包含的思想是，对难以直接处理的数列表 达式，寻找两个较为简单的数列从两边夹住.如果这两个数列收敛于同一极限，则 问题就解决了.能否找到这样两个数列是成功应用夹逼定理的关键 下面是一个有代表性的例子，且有许多推广（参见例题10.2.5）： 例题2.2.3设a>0,b>0,求极限lim(am+bm)n, 解不妨先假定a≤b.这时就有两面夹的不等式： b=(bm)n<(an+bn)n<(26m)n, 也就是b<(an+bn)n≤V2b.利用lim2=1和夹逼定理，可见极限为b.对 m→●0 a>b可作类似讨论.最后的答案是max{a,b}. ☐ 例题2.24求数列{an}的极限，其中am=1!+21十+m,n∈N, n! 解将分子（设n>2)中的前n-2项适当放大，就有估计 1!+2!+·+n!≤(m-2)(n-2)！+(m-1)！+n!<2(m-1)！+n:, 因此知道在n>2时，有 1<11+21+…+m<2+1, n 令n→o即可知极限为1. ☐