26 第二章数列极限 4.设sn=a+3a2+·+(2n-1)a”,a<1,求{sn}的极限. (试计算sn-asn) 5.设正数列{xn}收敛，极限大于0，证明：这个数列有正下界，但在数列中不一定 有最小数 6.证明：若有lim an=+o,则在数列{an}中一定有最小数 ●X 7.证明：无界数列至少有一个子列是确定符号的无穷大量， 8.证明数列{tann}发散， 9.设数列{Sn}的定义为 Sn=1+克++…+，neN. 证明{Sn}在以下两种情况均发散：(1)p≤0，(2)0<p<1. $2.3单调数列 关于单调数列的基本结论很简单，只不过是 (1)单调有界数列一定收敛； (2)单调无界数列一定是有确定符号的无穷大量。 然而这两个基本结论在数列的研究中起着很重要的作用.它们不仅是本节各个例 题中的主要工具，而且也是学习§2.5和S2.6的基础 与$2.1一开始的收敛数列的定义相比较，可以看出对单调数列来说，我们可以 从数列本身判定其收敛或发散，而不需要对极限的存在或不存在作假定.这是一个 很大的进步.由于对单调有界数列只肯定了它的极限存在，而没有给出极限本身， 因此这是在数学中的存在性定理的一个典型例子.从下面的例题可以看出，极限的 存在性有时能帮助我们将极限计算出来 如何对一般的数列从其本身来判定它收敛还是发散？这就是下一章63.4中的 Cauchy收敛准则要回答的问题 2.3.1 例题 收敛数列当然不一定是单调数列，但是有很多常用的数列确实是单调的，或者 从某一项开始是单调的.例如以下几个常见数列的收敛性都可以从单调性出发得 到证明（虽然不一定是最佳的证明方法），并求出它们的极限： {@a>0,{m,{}k>0,a>1),{},{}
S2.3单调数列 27 为了知道一个数列是否单调，一个自然的方法就是去比较数列中相继两项的 大小.这可以通过分析相继两项之比或差来达到目的.以下几个例子都是如此，其 中还介绍在知道极限存在后如何计算极限 下面的前两个例题是上一节的例题2.1.1和2.1.2的新解，但在问题的提法上 有不同，不再是验证已给定数列是否以某个数为其极限了， 例题2.3.1用单调有界数列的收敛定理，证明 n° 2n 收敛，并求其极限 证 记数列的通项为am= n5 n,n∈N,则可以看出前后两项之比为 =(+品) an 分析上式右边的第二个因子，从细(1+)°=1，可见存在N,当n>N时， 满足不等式(1+)°<2.因此，当n>N时，就有 an+1=an·(1+) an. (2.5) 由此可见，至少从n>N起数列{an}严格单调减少.又由于{an}是正数列，以0 为下界，因此就可以用单调有界数列的收敛定理，知道存在极限a=lim an·利用 极限的存在性，在(2.5)左边的等式两边令n→o,就有 a=a→a=0 0 注希望初学者比较这个方法与例题2.1.1中的方法.这里在问题的提法、采 取的思路和所需要的工具等方面都完全不同： 例题2.3.2研究数列{是否单调，并求出该数列的极限。 证记an=V元，n∈N.计算数列的前几项，得a1=1,a2=√2，以及 a3=3≈1.44，a4=a2≈1.41，a5=5≈1.38，a6=6≈1.35，…，可见这个数 列有可能从第三项起严格单调减少.比较前后两项，由于有 an+1=ntn+I<an=W元←→ (1+)”<n 只要证明当充分大时右边的不等式成立，就可以证实我们的猜测正确.利用平均 值不等式，可以得到 (+)”=(a)+)”<(++@) n+2 n+2
28 第二章数列极限 可见只要n>4就可以使上式右边的表达式严格小于1.因此数列{元至少从第 5项起是严格单调减少数列.又由于这个数列以1为下界，因此从单调有界数列的 收敛定理知道，存在极限 lim元=a≥1. m→● 以下只要证明a>1是不可能的.用反证法.若有a=1+h,h>0,则当n充分大 时应当成立元>1+h,从而得到 n>1+h)n>n-2. 2 但这是不可能的.因此得出结论：im元=1. ▣ 对数列研究前后两项之比可以提升为一种方法，并建立如下结果 例题2.3.3设对于{an},有lim an+1 =c<1,则{an}是无穷小量. n-oo an 证取e=(1-c)/2,有N,当n>N时，成立 an+1 an <c+12=19<1, 2 因此在n>N时{an}是严格单调减少数列.由于它以0为下界，因此收敛.记它 的极限为a.在不等式 lnti (2.6) 两边令n→o∞，就得到0≤a≤a(1+c)/2.因为0<(1+c)/2<1,这只能导致 a=0.从{an}收敛于0可知{an}也收敛于0. ▣ 注这个例题中由于有很强的条件，不用单调有界数列的收敛定理也能证 出来.例如，在得到不等式(2.6)后，引入记号c1=(1+c)/2,然后证明存在常 数M>0,使不等式lan<Mc在n>N时成立，由于c1∈(0,1)，可知有 iman=0.因此，对一般的数列研究其后项与前项之比也可能有用处. m-too 例题2.34设an=n十十…十元n∈N,证明数列{a}收敛 证比较数列的前后两项之差，就可发现 an+1-amn=2n+1+2m+2-n+1>22n+2-n+1=0, 可见数列单调增加.由于an<n平<1，可取1作为上界，因此数列收敛. 注以后将会求出本题中的数列极限是l1n2(见例题2.5.4,11.4.1) 下一个例子并不难，但是其中的方法很基本，同时它的结论自1976年后在计 算数学中变得很有用（见例题后的注解）
S2.3单调数列 29 例题2.3.5给定两个正数a和b,且有0<b<a.令a0=a,b0=b,并按照 递推公式 am=am-1tbn-⊥L,bn=Van-1bn-i,n∈N, 定义数列{an}和{bn}.证明这两个数列收敛于同一个极限。 证利用0<bo<a0和平均值不等式，可以得到b0<b1<a1<ao.用数学 归纳法可以证明对每个n均成立 bo<b1<·<bn<an<·<a1<ao 因此数列{an}和{bn}都是单调有界的，记极限为A和B,则均为正数.在两个迭 代式中任取一个，令n∞，就得到A=B, ▣ 注一般称上述极限为数a和b的算术几何平均值，记为AG(a,b).利用积分 换元计算可以得到AGa,b)的解析表达式（见[14第二卷的315小节)： AGn=壳共中8=V原是P dx 算术几何平均值和上述解析表达式是大数学家Gauss(高斯)在14岁(1791年)时 发现的，在他的早期研究工作中起了重要的作用.但这个结果长期以来没有引起足 够重视，直到l976年才由Salamin(萨拉明)和Brent(布伦特)等人以此为基础发 展出一种算术几何平均值快速算法，成为目前在计算机上计算圆周率π和初等函 数的最有效方法之一.例如对于π来说，这种算法每计算一步可以使π的有效位数 增加一倍或更多（见例题8.7.2及其注之后的介绍）.关于π在历年来的许多奇妙发 现可以参看[1,601： 下一题就是前面的例题2.2.4，但方法与当时的夹逼方法完全不同 例题2.3.6求数列{an}的极限，其中am=11+21十+m,nN. n! 解研究相继两项之比an+1,有 an an+1 1！+2!+…+(n+1)！ 3+3+·+(n+1)川 an (n+1)1!+2!+…+n)-(n+1)+(n+1)2!+·+(n+1)！ 在n>2时分母的每一项大于等于分子的对应项，因此{an}在n>2后单调减少 由于0是下界，因此数列收敛.又可发现联系前后两项的另一个关系式为 an+1=1+_an n+1, 在两边令n→0o,即知极限为1
30 第二章数列极限 2.3.2 练习题 1.证明：若{xn}单调，则{引xn}至少从某项开始后单调.又问：反之如何？ 2.设{an}单调增加，{bn}单调减少，且有lim(an-bn)=0.证明：数列{an}和 n-oo {bn}都收敛，且极限相等 3.按照极限的定义证明：单调增加有上界的数列的极限不小于数列的任何一项，单 调减少有下界的数列的极限不大于数列的任何一项 4.设n=号·号牛，n∈N,求数列的极限 5.设am=9.号 别士号，nG,求数列a}的极限 6.在例题2.2.6的基础上证明：当p>1时，数列{Sn}收敛，其中 =1+++…+，neN 7.设0<20<受，xn=sinn-1,n∈N,证明：{rn}收敛，并求其极限. (参见§2.6和例题8.1.10.)】 8.设an (2m-1)172 (2m)I n∈N,证明：{an}收敛于0. (观察an= ()()[--别[ 9.设an= (2n)！ 12 (2n-1)I 2mn+1,n∈N4,证明：{an}收敛 (方法与上一题类似.在学了积分学后将于命题11.4.1中求出上述数列的极限为 受.这就是Wallis公式) 10.下列数列中，哪些是单调的： {+} (2){sinn}; (3){m. 11.证明：单调数列{an}收敛的充分必要条件是它有一个收敛子列. 12.对每个正整数n,用xn表示方程x+x2+·+xn=1在闭区间[0,1)中的根. 求lim In