§1.4逻辑符号与对偶法则 11 例题1.4.1数集A有界，即是 3M>0,x∈A,使得x≤M 它的否定，即数集A无界，就是 HM>0,3x∈A,使得z>M 例题1.4.2数列{an}收敛于a,按定义为 Ve>0,3N,Vn>N,使得lan-al<e. 它的否定，即数列{an}不收敛于a,就是 3eo>0,HN,3n>N,使得|an-a≥e0. 在这里的第一句是存在一个特定的数E,按照习惯，将它记为eo是有好处的 例题1.4.3数列{an}收敛，按定义为 3a,He>0,3N,Hn>N,使得lan-a<e. 它的否定，即数列{an}发散，就是 Ha,3e0>0,HN,3n>N,使得lan-al≥eo. 最后，以注解的形式对本节的内容作几点补充 注1前面已经讲到，符号“”用中文表达时有多种方式.同样在英文中它可 以表达为“for any'”“fora"“for every'”“for each”等.著名数学家Halmos(哈尔莫 斯)在《如何写数学》一文（见20]的142页）中提出，在数学写作中决不要用“for any”,而应当用“for every'”或“for each”.我们觉得这是很有见地的建议.因为“任 意”或“任何”的意思太不清楚，到底是指一个还是指所有的？笔者曾经检查了一些 数学著作和论文，发现Halmos的意见已为很多作者所采纳.因此，我们建议初学者 在看到时也以理解为“对每一个”或“对每一个给定的”为好 注2符号V和3在数理逻辑中分别称为全称量词和存在量词.对偶法则是 数理逻辑中的一个规则（的重复使用）.它实际上来自日常生活中的逻辑思维，只是 经过上述改造后在数学中更便于使用而已.有了这个工具之后，不论(1.5)有多长， 都可以轻而易举地将它的否定说法的正面叙述立即写出来，“脑筋都不要动”.这比 起重复从(1.3)到(1.4)的思维过程要方便得多了.如果读者对数理逻辑有兴趣，这 里可以推荐获得“普利策文学奖”的一本著名的科普读物[23).读者在其中不仅会找 到逻辑，还会遇到许多意想不到的内容，包括美术和音乐， 练习题以正面方式写出下列命题或叙述的否定（有几题可在以后再做）： (1)数集A有上界； (2)数集A的最小值是b: (3)f是区间(a,b)上的单调增加函数； (4)f是区间(a,b)上的单调函数； (5)AC B; (6)A-B≠☑； (7)数列{xn}是无穷小量； (8)数列{xn}是正无穷大量
第二章数列极限 极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容中.本章只限于介绍 数列极限的基础部分，其他内容将在以后有关章节中介绍 本章的前三节为数列极限的最基本的内容.在S2.1中含有收敛数列的定义和 用适当放大法验证一些给定的数列收敛于已知极限.在§2.2中围绕数列收敛和发 散的讨论举了一些基本的例题.由于单调数列在本章占有中心地位，关于单调数 列的讨论单独列为s2.3.在s2.4和s2.5,分别对Cauchy命题、Stolz(施托尔茨)定 理、自然对数的底e和Euler(欧拉)常数y作专题讨论，并给出有关命题的完整证 明.在$2.6重点介绍关于迭代生成数列的几何方法.82.7为学习要点和两组参考 题.在$2.8中收入了关于数列极限的四次习题课教案，供教师参考 数列极限的基础是实数系的基本定理，其中除单调有界数列的收敛定理外均 放在下一章中.数列的上极限和下极限、压缩映射原理等也在下一章中介绍 S2.1数列极限的基本概念 2.1.1 基本定义 1.数列{an}收敛于a(即以a为极限)的定义是：对于每一个给定的e>0 存在正整数N,使得对满足条件n>N的每个正整数n,成立不等式 an-a<E. (1)上述定义用逻辑符号H和3可简写为：e>0,3N∈N,Vn>N, 成立an-a<e. (2)数列{an}收敛于a的记号为lim an=a,也可简记为an→a. (3)数列{an}以a为极限的几何意义：对a的每个邻域，在{an}中最多 只有有限项落在这个邻域之外，其余项（可能是所有项）均在该邻域内 (4)数列可以看成是以正整数集凡为定义域的函数.数列的极限是自变 量趋于无穷大时因变量值的一种趋势 (5)在极限定义中的N与e有关，因此有时记为N(e).N可以不是正整 数，但一般的习惯往往取N∈V 2.称极限为0的数列为无穷小量，记为o(1) 3.不收敛（即没有极限）的数列为发散数列.无穷大量是一类发散数列.称数 列{an}为无穷大量，如果对每一个给定的正数G,存在正整数N,使得当 n>N时，成立lanl>G,记为lim an=o,也可简记为an→oo. 这个定义用逻辑符号可简写为：VG>0,3N∈N,Hn>N,成立anl>G
S2.1数列极限的基本概念 13 正无穷大量和负无穷大量是带有确定符号的无穷大量，即从某项开始后为 正数或负数的无穷大量，分别记为+o和-o 若一个数列是无穷大量，则称该数列为无穷大数列.这时可以称该（发散） 数列有广义极限（或非正常极限），与收敛数列相区别.在数列{an}收敛或 有广义极限时，认为记号lim an均有意义. 4.记号0，O和~在极限理论中是很有用的①，它们的全面论述见本书第四章 函数极限的§4.4，这里只列出以下用法： (1)记号o(1)表示无穷小量.例如1=o(1),就是1im1=0. (2)记号O(1)表示有界量.例如sinn=O(1),就是说{sinn}是有界数 列. ③)记号in in的定义是：g会=1 5.设{an}是一个数列，又设n1<n2<…<nk<nk+1<…是严格单调增 加的正整数列，就可以得到另一个数列 an1,an2,·,ank,··y 称为数列{an}的一个子列，记为{an.这就是说取数列{an}的第n1项 作为子列的第一项，取{an}的第n2项作为子列的第二项，·.根据定义， 正整数列{nk}一定是严格单调增加的正无穷大量.不等式k≥k对一切 k∈N成立.例如3=2是不可能的 2.1.2思考题 为了掌握数列收敛的定义，对以下一些问题作思考和讨论是有益的 1.数列收敛有很多等价定义.例如： (1)数列{an}收敛于a←→Ve>0,3NeN,n≥N,成立|an-al<e; (2)数列{an}收敛于a←→Hm∈N,3N∈N,n>N,成立|an-a< 1/m (3)数列{an}收敛于a→He>0,3N∈N,n>N,成立lan-al<Ke, 其中K是一个与e和n无关的正常数， 试证明以上定义与上一小节列出的定义的等价性 2.问：在数列收敛的定义中，N是否是ε的函数？ 确占香：若on}收敛，则有m(an+1-0m)=0和m n-→o 4.设收敛数列{an}的每一项都是整数，问：该数列有什么特殊性质？ ①从上下文容易将这里的大O记号与S1.2中的邻域记号Os(a)或O(a)区分开来
14 第二章数列极限 5.问：收敛数列是否一定是单调数列？无穷小量是否一定是单调数列？ 6.问：一个很小很小的量，例如取1为单位长度时，几个纳米大小的量是否是无 穷小量？ 7.问：正无穷大数列是否一定单调增加？无界数列是否一定是无穷大量？ 8.问：如果数列{an}收敛于a,那么绝对值lan一a是否随着n的增加而单调减 少趋于0？ 9.判断正确与否：非负数列的极限是非负数，正数列的极限是正数. 2.1.3适当放大法 在学习数列收敛的定义时，一开始遇到的问题就是，对于给定的数列{an}和 数a,如何按照定义证明（验证）数列{an}收敛于a,或是其反面.我们这里主要关 心前面一种情况，因为许多基本的数列极限都可以用验证的方法得到.这就是要对 每一个给定的正数，证明存在一个正整数N,使得它满足下列要求： 当n>N时，不等式lan-a<e成立. (2.1) 如果将不等式|an-a<e中的n看成未知量，对于一些简单的情况有可能直接解 出这个不等式.最简单的例子就是数列{}和a=0.这时对于给定的e>0,不 等式an-d<e就是员<e.它等价于<n.因此若取N=[】,则当n>N 时，就成立 n≥N+1= [+1> 从而得到工<e.这里利用了整数部分所满足的基本不等式[≤x<[团+1. 但是能否将这个方法用于一般的{am}和a,从而对给定的e>0求出符合要 求(2.1)的正整数N?初学者也许会感到奇怪的是，对上述问题的回答是否定的 除了一些最简单的例子以外，对一般的问题来说，不可能采用解不等式的方法从 |an-a<e求出符合要求(2.1)的N. 事实上，如果要将关于{}和ā=0的上述做法加以推广，那就要对给定的 {an}和数a去寻找p(e),它是e的一个表达式，满足下列等价关系： |an-al<e→n>p(e). (2.2) 容易看出，如果有了(2.2)，则当p(e)≥1时，取N=[p(e)】即可，否则取N= max{1,[p(e},总可以满足要求(2.1).还可以看出，这样求出的N就是对于给定 的e>0满足要求(2.1)的最小的正整数
S2.1数列极限的基本概念 15 但是从数学的角度来看，这里有两个不能回避的问题：(1)符合等价关系(2.2) 的p()存在吗？(2)如果存在的话，有办法计算它吗？ 不幸的是，关于这两个问题的回答都是否定的.首先，满足(2.2)的p()可能 根本不存在.这就是说，满足不等式|an-a<e的所有n的全体并不能用形式为 n>p(e)的不等式来刻画， 其次，即使存在这样的p(),要想求出它往往是很困难的，或者是根本做不到 的.只要试几个比刚才的数列{分}稍稍复杂一点的例子就可以看出这一点， 既然如此，出路何在？实际上从数列收敛的定义可以发现，对于（每个）给定的 e>0,只需求出满足要求(2.1)的“一个”N就够了，完全没有必要去求出满足要求 (21)的所有N或其中最小的N.这就是“适当放大法”的出发点 所谓“适当放大法”，就是先找n的一个函数f(n),使得an-a≤f(n)成立，这 就是“放大”.然后再对于每个e>0,证明存在N,使得当n>N时成立f(n)<e. 由此可以看出，如果将f(1),f(2),·,f(n),…看成一个新的数列{f(m)},则这个 数列一定收敛于0，也就是说数列{f(n)}必须是无穷小量.初学者用适当放大法 时容易犯的一个错误就是{f(n)}不满足基本要求f()=o(1),也就是说放大过了 头。 当然，这个方法的成功还取决于{f()}为无穷小量的证明必须很容易.实际 上我们总是取尽可能简单的f()以满足这个要求.所以适当放大也就是简化，要 使f(n)比|an-a简单得多，从而很容易验证f(n)=o(1).在具体问题中，最后所 取的f(n)往往很简单，可以从f(n)<e直接解出n,确定N. 再换一个角度，可以从两个不等式，即lan-al≤f(n)和f(n)<e,来观察这 个方法.其中的第一个不等式是“放大”，要求所取的f()使这个不等式对于所有 的n都成立，或至少当n充分大时成立.第二个不等式的意思则完全不同.它是在 取定f(n)后，问是否对每一个给定的e>0存在N,使得当n>N时，这个不等式 能够成立.这个方法的成功与否在于：所选取的f()既要满足第一个不等式，又要 使第二个不等式在上述意义下容易处理.将两个不等式联系起来，如果当>N 时有f(n)<e成立，则由于lan-a≤f(n),就得到lan-al<e. 2.1.4 例题 下面是用适当放大法的两个基本例题 例题2.1.1证明数列 {} 收敛于0 证利用2”=(1+1)”=1十 N +……十 在n>6时有