6 第一章引论 将圆括号中的第二项看成为an,就可以利用n时已成立的平均值不等式得到 @( 将以上不等式两边升高n次幂，就有 （j但)(+2 然后在两边约去公因子二∑4，再开m-1次根，就得到所要的不等式.合并 以上向前和向后两部分，可见平均值不等式对每个正整数成立 ▣ 注除以上证明外，平均值不等式还有许多其他证明.例题8.5.5即是用微分 学方法的证明.此外，广义的平均值不等式（命题8.5.1）也有多种证明.读者可从参 考资料中找到更多的材料.可能今后你自己也会发现一个新的证明 下面的不等式常称为三点不等式.实际上，它不仅在实数范围中成立，在复数 以及更为一般的空间（例如在高等代数中的线性空间或向量空间）中也成立，并因 此又被形象化地称为三角形不等式， 命题1.3.4（三点不等式）若a,b为实数，则成立不等式 la+bl≤lal+lbl, 其中等号成立的充分必要条件是α和b同号（将数0看为和任何数同号） 证写出不等式-al≤a≤a和-bl≤b≤bl,将它们相加，得到 -(al+lb)≤a+b≤(a+lbl), 即是a+bl≤lal+bl.其中等号成立的讨论可类似进行，请读者补充说明. □ 下面的不等式在线性空间中有漂亮的几何意义，它也称为Schwarz(施瓦茨)不 等式 命题1.3.5(Cauchy不等式)对实数a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn成立 证引进变量入，写出如下的非负二次三项式：
§1.3几个常用的初等不等式 7 如果a1,a2,·,an全为0，则可以发现Cauchy不等式已成立.否则，2项的系数 不会是0，因此它的判别式非正，这就导致 *j((② 两边开方，就得到所要求证的不等式 ▣ 注在Cauchy不等式中等号成立的充分必要条件是两个序列{a:}h1≤<n和 {b1≤<n成比例.其证明请读者完成。 以下是关于三角函数的一个初等不等式，在其中角度x用弧度作为单位. 命题1.3.6如果0<x<,则成立不等式sinx<x<tanx. 注由于这个不等式在数学分析教材中都有证明（例如[14），这里从略.大多 数教科书中采用几何方法，即利用三角形和扇形的面积关系来导出上述不等式.在 [41]上册第6566页中有新的证明，在一定的意义上更严格一些. 1.3.2 练习题 下面的题用于熟悉以上的初等不等式，进一步的材料见[30] 1.关于Bernoulli不等式的推广： (1)证明：当-2≤h≤-l时Bernoulli不等式(1+h)n≥1+nh仍成立； ②证明：当h≥0时成立不等式Q+h严≥nn,12,并推广之： 2 (3)证明：若a>-1(i=1,2,·,n)且同号，则成立不等式 1+a)≥1+∑a 1 2=1 2.阶乘！在数学分析以及其他课程中经常出现，以下是几个有关的不等式，它们 都可以从平均值不等式得到： (四）证明：当n>1时成立l<(士)” (2)利用(n)2=(m·1)[(n-1)·2…(1·n)证明：当n>1时成立 <(指)捫 (3)比较(1)和（②）中两个不等式的优劣，并说明原因； (④证明：对任意实数r成立(ny≤是（∑k)
第一章引论 (在第二章的参考题中还有关于n!的不等式.这方面的深入讨论见本书11.4.2 小节的Wallis(沃利斯)公式和Stirling(斯特林)公式.) 3.证明几何平均值-调和平均值不等式：若ak>0,k=1,2,…,n,则有 2 1 4.证明：当a,b,c为非负数时成立abc≤1 ab+bc+ca a+b+c 3 (这个结果还可以推广到个非负数的情况.) 5.证明下列不等式： (1)la-bl≥lal-lbl和la-b≥lal-lb: (3) a+bl a 1+1a+可≤1+a +1+61 (4)(a+6)m-am(a+b)m-a m. (特别要注意其中的(1)是应用三点不等式时的常见形式) 6.试按下列提示，给出Cauchy不等式的几个不同证明： (1)用数学归纳法： (2)用Lagrange(拉格朗日)恒等式 ∑©候2候-(lab°=号22 X@lP1-lala:e ③)用不等式1AB1≤42+B2 (4)构造复的辅助数列ck=a?-b候+2iakb,k=1,2,·,n,再利用
§1.4逻辑符号与对偶法则 9 7.用向前-向后数学归纳法证明：设0<≤号，i=1,2,…,m,则 (1-x ②- (这个不等式是由在美国数学界有重大影响的华裔数学家樊畿(Fan Ky)得到的， 关于它的许多研究和推广见[30) 8.设a,c,9,t均为非负数，a+c+g+t=1,证明a2+c2+g2+2≥子，且其中等 号成立的充分必要条件是a=c=g=t=子 (本题来自DNA序列分析.) §1.4逻辑符号与对偶法则 在数学中广泛使用从数理逻辑中借用来的两个逻辑符号，即V和3.这样就可 以将许多带有变元的数学命题或叙述(Statement)符号化，从而得到既简单又准确 的表达方式.更为重要的是，在学习了本节所介绍的对偶法则后，可以很容易将否 定的命题或叙述用正面的方式（即肯定的方式）表达出来，这在数学分析和其他许 多课程的学习中是很基本的一种方法， 首先要了解这两个逻辑符号的确切意义 符号V是从大写字母A绕中心旋转而得到的.它的意义与英文单词A1直接 有关，译成中文就是“对所有”“对任意”“对任何”或“对每一个”. 符号3是从大写字母E绕中心旋转而得到的.它的意义与英文单词Exst一 致，译成中文就是“存在”或“有” 举例来说，如何刻画一个数列{an}有界？如果不用数学符号的话，则可说成 为：存在一个正数，使数列的每一项的绝对值都以它为界，也就是说都不超过这个 正数.如果用上述逻辑符号，则可以写为 3M>0,Hn,使得lan≤M(成立). (1.3) 当然初学者很可能会觉得这两个不同说法并没有多大差别，而且在后一个说法中 还引进了两个陌生的符号，何必呢？ 现在提出一个新的问题，即如何刻画一个数列{an}无界？ 从定义知道，数列无界的概念是作为数列有界概念的否定而引进的.因此问题 就变成如何去刻画数列{an}不是有界的？这在很多场合是不能避免的问题
10 第一章引论 例如，假定你要证明的一个命题是：若数列满足条件P,则必定有界.如果你 打算用反证法，则证明的第一句话应当是：设有一个数列{an}满足条件P,但同时 {an}无界.如果你不能够将“{an}无界”这个反证法的前提用正面方式表达出来， 而只知道无界就是有界的否定的话，那么你的反证法证明就做不下去了. 现在我们从(1.3)出发来看如何导出无界的正面叙述.在(1.3)中的第一句 话“匀M>0”,即存在一个正数，它具有后两句中所规定的性质.因此数列{an}无 界就应当是它的反面，即不存在由后两句规定的性质的正数（这里我们仍然没有前 进一步).换一个说法，即每一个正数都不具有由(1.3)后两句所规定的性质.这样 就可以将数列{an}无界从“不是有界的”改写成 HM>0,不成立n,使得an≤M” 然后再看，如何将Vn,使得|an≤M”的否定说法改为正面叙述.可以看出， 既然不是对每个n,成立|anl≤M,那么就等于说至少存在一个n,使得an≤M 不成立.这样我们又前进了一步，即可以将数列{an}无界写为 HM>0,3n,不成立“lanl≤M” 最后，anl≤M的否定当然是|an>M,因此就得到数列{an}无界的新的叙述为 tM>0,3n,使得laml>M (1.4) 由于其中不出现否定性的词，因此将它称为无界概念的正面叙述.又由于它是从叙 述(1.3)的否定得来的，因此这就是否定说法的正面叙述的一个例子 比较(1.3)和(1.4)，可见前一个叙述中的V和3在后一个叙述中的对应位置上 恰好改为3和H,还有最后一句从“lan≤M"换为恰恰相反的“|an>M”.这就是 对偶法则 它的一般形式可以表达如下.设命题P可写为 p191,p292,·,Pnqn,使得gn+1(成立)， (1.5) 其中p:(亿=1,2，…，n)为逻辑符号或3；而q(位=1,2，…，n+1)代表普通的 数学表达式，如在(1.3)中的M>0,n,lan≤M等.这里对“命题”作广义理解， 它可以是数学中任何叙述、断言、定义等①.例如，P可以是数列有界的定义，也可 以是对一个数列的有界性的断言， 对偶法则设命题P为(1.5)所表示.则为了得到命题P的否命题的正面叙述， 只要将(1.5)中的所有逻辑符号p(亿=1,2，·，n)从（臼）改成3()，并将最后的 qn+1改为它的否定式即可 再举几个例子.其中后两个例子取自数列极限理论，初学者可以在今后参考， ①对于廿后只有一个表达式或断言的简单情况，按照文献中的习惯，常将V移到最后.例如： x∈(0,1)，f(x)>0”常写为“f(x)>0,Vx∈(0,1)