第一章引论 这一章只是一些准备工作.读者可先浏览一下，然后根据自己的需要来使用 在§1.1中对于如何上习题课提出一些建议.在§1.2中列出了本书中的常用记 号.在S1.3中介绍几个常用的初等不等式，供自学.根据我们的经验，在学期开始时 如能关于初等不等式组织一次课外讲座是很合适的.就初学者而言，花点力气学好 这一节（包括练习题）对今后大有好处.这不仅因为其中的平均值不等式、三点不 等式和Cauchy(柯西)不等式是以后的常用工具，而且还可以通过这些不等式的证 明熟悉所用的方法.§1.4的对偶法则很重要，也可自学 81.1关于习题课教案的组织 在上册中，除第二章外，不提供具体的习题课教案.附有教案的参考书已有很 多，例如[13,61,65,701等.我们认为习题课的任课教师应当根据所用的具体教 材、大课内容和学生的动态情况来写出自己的习题课教案.与主讲教师所上的大课 相比，这里有更为广阔的天地可以发挥教师的创造性.我们在下面先提出一些原则 性的建议供参考，然后从第二章起，于每章的最后一节提出学习要点和对习题课的 建议，并附有一定难度的若干参考题供选择使用.注意：较难的参考题，特别是第 二组参考题，可供学有余力的学生或考研使用，对习题课则不尽合适 在讨论习题课的内容之前，需要强调指出：上习题课的教师必须自己动手解题 和选题.随随便便从一本书上抄个题，不明白它的来龙去脉，就拿来作为习题课上 的例题或练习题，这不是对学生负责的做法，效果也一定不会好.一旦出了问题，就 会砸锅，使自己下不了台.以其昏昏，怎能使人昭昭？ 写教案的另一个依据则是掌握学生不断变化的具体情况，特别是作业批改中 出现的活材料.教师认真批改作业和思考其中出现的问题是上好习题课的必要条 件.对于学习中出现的情况是不可能举尽的，完全要靠教师的辛勤劳动和对教学内 容的把握来作出正确的处理.“教无常法”在这里是非常合适的 一、课堂提问与讨论·这方面可以参考本书中为部分章节安排的思考题.但 往往最好的材料来自习题批改和学习中出现的具体情况.要从一开始引导学生学 习数学的思维方式.例如，对于所提出的问题，若回答“一定”，则要求能给出证明： 若回答“不一定”，则要求会举出反例.用来推翻某个论断的例子就叫做“反例”.要 引导学生学会举例子来支持自己的观点 二、课内例题的选取首先应当注意，不要将习题课变成例题讲解课，一讲到 底.这样做的效果往往不一定好.实际上，不论例题的选择和讲解是怎样的如花似 锦，学生还是必须经过自己的实践才能吸收其中所含的营养.这就是P6ly(波利
2 第一章引论 亚)所说的“模仿加实践”的意思（见「45）.“精讲多练，加强实践”的提法在这里是 完全正确的.关于例题的选取可以参考本书各章节的例题和所用教材的内容，还要 根据学生情况来决定其难度和强度.在一定条件下，多即是少，少即是多.脱离实际 讲难度过大的题，使得绝大多数学生都听不懂，这完全背离了教学的基本原则.要 学生听不懂，这是最差的教师都能做得到的事.教学中困难的恰恰是其反面，即能 够深入浅出，将重要的基本内容讲得使绝大多数学生都懂.总之，在教学上如何为 好，应当根据实际效果作出裁决 三、对课内练习题的备课课内练习题的选取应当考虑到同学的实际情况， 不宜过难.指导教师要精心考虑如何启发和引导学生，根据现场情况对有困难的学 生给以帮助，进行个别指导.要避免使很多学生束手无策或在错误的道路上浪费太 多的时间.还应当在现场及时总结情况，发现和介绍较好的解法.这里有一个与上 大课不同之处是，在习题课上经常会出现事先不曾料到的情况.例如有学生提出新 的解法，它的正确与否，以及它的意义和价值，需要习题课任课教师当场作出判断 和处理.由此可见，上好习题课对教师来说，无论是刚上讲台的青年教师还是老教 师，都不是简单的工作.要做到因势利导与随机应变，真是谈何容易.当然，关键还 在于充分备课和积累经验.习题课教师对于所布置的课内练习题的意义、解法和所 要达到的目的应当有清楚的了解和充分的准备.要积极鼓励学生中的创造性思维」 §1.2书中常用记号 凡本书中用文字符号表示的数，如未加说明，均为实数.对于实数，本书一开始 采取与中学教材中相同的理解，即可以用十进有尽小数和无尽小数表示的数， 1.N:所有正整数所成的集合， 2.R:所有实数所成的集合（同时也用于表示无限区间（一∞，+∞）) 3.Q:所有有理数所成的集合 4.C:所有复数所成的集合. 5.←→是等价关系的记号.A←→B表示A和B等价.例如，A代表x>3, B代表x-3>0,则x>3→x-3>0 6.[z是实数x的整数部分，即不超过x的最大整数.例如【②=1，【-√②= -2.关于的基本不等式是：[≤x<[z+1,或x-1<[≤x 7.口表示一个证明或解的结束 8. ）=C吹=nn-1:(m-k+1) k！ 9.记号≈表示近似值.例如V2≈1.4
61.3几个常用的初等不等式 3 10.复合函数f(g(x)也写成(fg)(x)或fg. 11.若A和B为两个集合，则用记号A-B或A\B表示A与B的差集，也就 是集合{xx∈A且x生B} 12.用Os(a)表示以a为中心，以6>0为半径的邻域.它就是开区间(a-6,a+ )(也可用U(a)等记号).如不必指出半径，则可简记为O(a)(或U(a): §1.3几个常用的初等不等式 本节的不等式只要有中学数学基础就能理解，但在中学时学生不一定都学过 更谈不上熟悉，而在大学学习时老师又可能认为这些内容很容易，学生早就该会了 在多数的数学分析教材中往往对此不加证明（或只放在一个注解中）.其实这些不 等式，尤其是算术平均值一几何平均值不等式，以及它们的一些常见的证明方法， 具有深刻的意义，从一开始就应当重视.本节以命题的形式介绍它们的基本内容， 作为学习数学分析的准备工作 1.3.1几个初等不等式的证明 命题1.3.1(Bernoulli(伯努利)不等式)设h>-1,n∈N,则成立不等式 (1+h)n≥1+nh, 其中当n>1时等号成立的充分必要条件是h=0. 证由于n=1或h=0时不等式明显成立（且其中均成立等号)，以下只需讨 论n>1和h≠0的情况 将(1+h)”-1作因式分解，就可以得到 (1+h)m-1=h[1+(1+h)+(1+h)2+·+(1+h)m-1]. (1.1) 当h>0时，在右边方括号内从第二项起都大于1，因此就有(1+h)m-1>nh. 在-1<h<0时在(1.1)右边方括号中从第二项起都小于1，因此方括号中表 达式之和小于n.由于h<0,因此又得到(1+h)m-1>nh. □ 为了应用的方便，可将Bernoulli不等式推广为双参数的形式. 令h=B/A,其中A>0,A+B>0,则条件1+h>0成立.将这个h代入 Bernoulli不等式中，就可以得到下一个不等式. 命题1.3.2设有A>0,A+B>0,n∈N,则成立不等式 (A+B)n≥Am+nAm-1B, 而且当n>1时等号成立的充分必要条件是B=0
第一章引论 下面要介绍的就是著名的算术平均值一几何平均值不等式，也简称为平均值 不等式.它在两个实数的情况包含了中学数学的三个基本不等式： (1)Vad≤2a+b)(a,b≥0)， ②号+名≥2a,b同号)， (3)a2+b2≥2ab(a,b∈R), 且仅当a=b时，以上三个不等式中等号成立 平均值不等式“可能是最重要的不等式，并无疑地是不等式理论的基石”（见 [2).平均值不等式在有关不等式的名著[22,2]中都有许多讨论.这方面的较新专 著是[口]，其中收集了74个证明.读者还可以从30]中找到关于平均值不等式的许 多推广和新的研究.有些数学杂志，如《数学通报》《中学数学月刊》和《美国数学月 刊》等，还经常发表关于平均值不等式的新证明， 命题1.3.3（算术平均值-几何平均值不等式）设a1,a2,…,an是n个非负 实数，则成立不等式 a1+a2+…+am≥a1a2…am, z 其中等号成立的充分必要条件是a1=a2=·=an 证1一开始可以看出，如果在a1,a2,~,an中出现0，则不等式已经成立. 又可以看出，这时等号成立的充分必要条件是其中每个数为0.因此以下只要对 a1,a2,·,an为n个正数的情况来进行证明就够了. 应用数学归纳法.在n=1时结论是平凡的.在n=2时的结论是中学数学 已包含的内容.现设n=k时不等式已成立，然后讨论n=飞+1.将k+1个正数 a1,a2,·,ak+1的算术平均值分解如下： a1+2+…+ak+1=a1+a2+…+ak+kak+1-(a1+a2+…+ak .(1.2) k+1 k(k+1) 然后将上式右边的两项分别记为A和B.这时条件A>0,A+B>0满足，因而 就可以应用命题1.3.2中的不等式作以下计算： a1+a2+·+ak+1 k+1 k+1 =(A+B)+1≥A+1+(k+1)A*B =A(A+(k+1)B) a1+a2+·+ak ·ak+1 ≥a1a2··akak+1
§1.3几个常用的初等不等式 5 在不等式中等号成立的条件也可用数学归纳法得到.在=1时已成立.设在 n=k时结论为真，则在n=k+1时可从上述推导看出等号成立的条件是 kak+1=a1+a2+·+ak和a1=a2=··=ak, 也就是a1=a2=··=ak=ak+1 ▣ 证2这个证明与第一个证明基本上是一样的，只是多用了一个技巧，从而就 可以不必用Bernoulli不等式，而只要用二项式展开定理就够了. 只写出与第一个证明不同之处.在归纳法第二步中，对a1,a2,·,ak+1可根 据需要重新编号，使得ak+1是其中的最大数（之一）.然后再作分解(1.2).这个分 解式右边的第二项一定是非负数，从而满足条件A>0,B≥0.从二项式展开定理 就有(A+B)k+1≥Ak+1+(k+1)AB,其后的证明不变 ▣ 证3现在介绍用向前-向后(Forward and Backward)数学归纳法的证明. 这是由Cauchy于l897年给出的.由于这个证明十分精彩，也有人将平均值不等式 称为Cauchy平均值不等式， 从n=2的已知情况出发，可以得到如下=4时的平均值不等式： @+0243+a4=3(a12+04 4 2 a1+a2 a3+a4 2 2 ≥√a1a2Va3a4=/@1a2a3a4. 同样可知，若n=2k时不等式已成立，则可得到n=2k+1时的平均值不等式 2k+1 2 2k+1 ai=2 ∑a+∑a i- =2k+1 2k+1 2k+1 =2k+1 这样就证明了当为2的所有方幂时平均值不等式已成立.这是“向前”部分 第二步要证明，当平均值不等式对某个n>2成立时，则它对n-1也一定成 立.这是证明中的“向后”部分.写出 三a-()2=(区+