复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教学研究_教学研究与实践阶段性总结（谢锡麟）

变轨及运动刚体实现 方案1:竖直变轨。基于坐标纸,利用薄钢片制作变轨。车辆可选择金属滑块或 玩具小车 方案2:水平或竖直变轨。基于坐标纸,利用钢丝制作变轨。车辆可利用中心穿 实验方案|孔钢珠,将钢珠串在钢丝内 测试实现 1.在运动刚体上固定加速度传感器,以测量运行过程的瞬时加速度 2.通过光电门测量轨迹某点的瞬时速度 1.导轨制作所需材料等 2.加速度传感器 3.光电门 实验需求 1.真实实验装置及测试系统 2.研究报告 成果形式 第4页共13页

第 4 页 共 13 页 实验方案 变轨及运动刚体实现： 方案 1：竖直变轨。基于坐标纸，利用薄钢片制作变轨。车辆可选择金属滑块或 玩具小车。 方案 2：水平或竖直变轨。基于坐标纸，利用钢丝制作变轨。车辆可利用中心穿 孔钢珠，将钢珠串在钢丝内。 测试实现： 1．在运动刚体上固定加速度传感器，以测量运行过程的瞬时加速度。 2．通过光电门测量轨迹某点的瞬时速度。 实验需求 1．导轨制作所需材料等。 2．加速度传感器 3．光电门 成果形式 1．真实实验装置及测试系统 2．研究报告

数学实验研究事例 实验名称|铁道游击队的技术一一两点间直线运行过程加速度估计理论的实现 通过真实实验验证数学实验的确定性结论,探究数学实验中定性结论的具体行 实验类别为;激发“奇思妙想”,基于简单的真实实验验证和检验数学实验所预测的结论, 并注重发现新现象 研究团队 指导教师 维 Euclid空间上的微分学,基于有限增量公式以及最值问题处理等,对 于函数及其各阶导函数的界给予了一些估计。其中有 ()在句上具有二阶导数,满足:(y()=0 则有:35∈[a],满足2(5 (b)-f(a) (b-a) 我们将上述结论应用于二点间直线运行过程。由此∫()作为位移,[ab]作 研究背景为运行时间区间;自然二点间的运行满足起点及终点处速度为零,即 dt 由此,按上述结论,我们认识到: 1.运行过程中某时刻的加速度将会超过4行程 运行时间(定义为阀值) 2.理论上未能确定加速度超过、4行程的具体时间 运行时间 基于真实实验 实验目标,验证上述理论预测 (内容)|2.研究具有相同行程、相同运行时间,而行进方式不同的运行过程,发生加速 度超过阀值的时间点分布情况 方案1:物体实验。制作导轨以及其上的滑块,利用绳索从起点拉制终点,要求 实验方滑块运行时间固定且至终点时速度为零。在滑块上固定加速度传感器,测量加 速度超过阀值的时间。 方案2:游戏。要求在固定时间内,由从起点走向终点,且至终点时速度为零; 第5页共13页

第 5 页 共 13 页 数学实验研究事例 实验名称 铁道游击队的技术——两点间直线运行过程加速度估计理论的实现 实验类别 通过真实实验验证数学实验的确定性结论，探究数学实验中定性结论的具体行 为；激发“奇思妙想”，基于简单的真实实验验证和检验数学实验所预测的结论， 并注重发现新现象。 研究团队 指导教师 研究背景 一维 Euclid 空间上的微分学，基于有限增量公式以及最值问题处理等，对 于函数及其各阶导函数的界给予了一些估计。其中有： f  t 在a b, 上具有二阶导数，满足：     0 df df a b dt dt   则有：    a b, ，满足       2 2 2 d f 4 f b fa dt b a     我们将上述结论应用于二点间直线运行过程。由此 f  t 作为位移，a b, 作 为运行时间区间；自然二点间的运行满足起点及终点处速度为零，即：     0 df df a b dt dt   。 由此，按上述结论，我们认识到： 1．运行过程中某时刻的加速度将会超过 2 4 行程  运行时间 （定义为阀值）。 2．理论上未能确定加速度超过 2 4 行程  运行时间 的具体时间。 实验目标 （内容） 基于真实实验 1．验证上述理论预测。 2．研究具有相同行程、相同运行时间，而行进方式不同的运行过程，发生加速 度超过阀值的时间点分布情况。 实验方案 方案 1：物体实验。制作导轨以及其上的滑块，利用绳索从起点拉制终点，要求 滑块运行时间固定且至终点时速度为零。在滑块上固定加速度传感器，测量加 速度超过阀值的时间。 方案 2：游戏。要求在固定时间内，由从起点走向终点，且至终点时速度为零；

在进行实验的人身上放置加速度传感器,当加速度超过阀值时就接通蜂鸣器(作 为警报)。试试看我们是否能“逃过”警报;比比看谁的警报最少或者最晚:) 方案3:结合方案1,激发“奇思妙想”,在滑块上设置“爆破装置”,保证在运 行过程中发生爆破。尽量使得“爆破装置”隐蔽,如通过利用惯性力进行引爆 等等 1.导轨制作所需材料等 2.加速度传感器 3.计时器 实验需求 4.设计引爆装置所需的相关材料 真实实验装置及测试系统 2.研究报告 成果形式 第6页共13页

第 6 页 共 13 页 在进行实验的人身上放置加速度传感器，当加速度超过阀值时就接通蜂鸣器（作 为警报）。试试看我们是否能“逃过”警报；比比看谁的警报最少或者最晚：） 方案 3：结合方案 1，激发“奇思妙想”，在滑块上设置“爆破装置”，保证在运 行过程中发生爆破。尽量使得“爆破装置”隐蔽，如通过利用惯性力进行引爆 等等。 实验需求 1．导轨制作所需材料等。 2．加速度传感器 3．计时器 4．设计引爆装置所需的相关材料 成果形式 1．真实实验装置及测试系统 2．研究报告

数学实验研究事例 实验名称|牧童栓牛一一对绳上张力分布的研究 通过真实实验验证数学实验的确定性结论,探究数学实验中定性结论的具体行 实验类别为;激发“奇思妙想”,基于简单的真实实验验证和检验数学实验所预测的结论, 并注重发现新现象 研究团队 指导教师 T T 作为一维 Euclid空间上微分学的应用,我们可以分析绕在圆柱上的绳的张 力,现已知二段的张力,如上图所示。对此,进行如下的数学实验: ①基于力学中的微元分析,获得力平衡方程 研究背景 T0+ coS sT(0△0:N △b A N=TI0+ sIn sIn 此处,μ为绳子同圆柱之间的静摩擦系数。 ②基于无限小分析(主要基于无限小增量公式),可得关于张力分布的常微分 方程:“()=-r(0,籍此可得:=cp(m(-a) 基于上述结论,考虑到指数函数的“快速增长”特性(可由极限lim=0 反映),牧童可以通过将绳子在树上绕过几圈的方式,用较小的拉力拴住“力大 无穷”的牛 第7页共13页

第 7 页 共 13 页 数学实验研究事例 实验名称 牧童栓牛——对绳上张力分布的研究 实验类别 通过真实实验验证数学实验的确定性结论，探究数学实验中定性结论的具体行 为；激发“奇思妙想”，基于简单的真实实验验证和检验数学实验所预测的结论， 并注重发现新现象。 研究团队 指导教师 研究背景 x y o  a b Ta Tb T    T         n  N f N    2  2  x  作为一维 Euclid 空间上微分学的应用，我们可以分析绕在圆柱上的绳的张 力，现已知二段的张力，如上图所示。对此，进行如下的数学实验： ① 基于力学中的微元分析，获得力平衡方程： cos cos   22 2 T TN                  sin sin   22 2 NT T                 此处， 为绳子同圆柱之间的静摩擦系数。 ② 基于无限小分析（主要基于无限小增量公式），可得关于张力分布的常微分 方程：   dT T d       ，籍此可得： exp    b b a a T T      基于上述结论，考虑到指数函数的“快速增长”特性（可由极限 lim 0 p x x x  e  反映），牧童可以通过将绳子在树上绕过几圈的方式，用较小的拉力拴住“力大 无穷”的牛

y 7(+△) T(2+△) AT(4) e(2+△ kd+△0)-O) 进一步,我们考虑绕在一般形状柱体上的绳中的张力,如上图所示。借鉴 于上述面对简单情形的数学实验,我们开展面对复杂情形的数学实验: ①基于力学中的微元分析,获得力平衡方程 T(+△A)·cos (2+△)-6(x) 6(2+△A)- T().cos +p·N N=T(4+△A)sin (+△)-() T() (2+△4)-0(4) 此处圆柱轮廓曲线刻画为 7(4),A→F()2y(4) 斜率角可为轮廓曲线参数几的函数O=0(4);且有: 4)=(=( ()4(4)≠0 ,(y()=(2) dx )aS(4 ≠0 故有:((x)=￥+2()=k()√2+p ②基于无限小分析,我们可以获得 则有 7()2(()2+(14)箱此可得 第8页共13页

第 8 页 共 13 页 x y o            n  N f N    2  2              T       T    T    T               x r y            柱体轮廓线  进一步，我们考虑绕在一般形状柱体上的绳中的张力，如上图所示。借鉴 于上述面对简单情形的数学实验，我们开展面对复杂情形的数学实验： ① 基于力学中的微元分析，获得力平衡方程：            cos cos 2 2 T TN                               sin sin 2 2 NT T                   此处圆柱轮廓曲线刻画为：           : , x r r y                  斜率角 可为轮廓曲线参数 的函数    ；且有：                       0 0 dy y x as x dx x tg dx x y as y dy y                             故有：     2 2 2 2 yx xy x y x y                   ② 基于无限小分析，我们可以获得：     dT 2 2 xy T d                 则有：         2 2 T T xy d exp                          ，籍此可得：