复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教学研究_教学研究与实践阶段性总结（谢锡麟）

两端力比:7(24+(1 显见,上述一般性结论包含圆柱情形。 基于上述面对简单情形以及一般情形的数学实验,我们可以验证相关数学 实验结论 基于真实实验 实验目标1.基于真实实验验证上述面对简单情形以及一般情形的数学实验结论 (内容)2.归纳不同柱体轮廓曲线对二端张力比的影响;籍此研究“最优”的柱体轮廓 曲线 方案1:用圆柱或其他形状的柱体(比如截口曲线是椭圆,螺线……),其他条 件相同的条件下,测试张力分布,与(1)式的解比照 方案2:改变初始条件(比如改变细绳一端悬挂砝码的质量)测试张力分布 方案3:选用不同材料(例如:表面光滑的钢铁,粗糙的木头……),相同形状 的圆柱,在初始条件相同的情况下,测试张力分布,甚至可以用这种办法,测 出未知材料的摩擦系数 实验方案方案4:改变细绳的缠绕方式(比如细绳在柱面上以等距螺线方式缠绕,测试 张力分布,探究此时张力分布的一些规律 测试实现:利用力传感罨,将细绳的一端与传感器连接,另一端与已知质量的 砝码连接,然后用细绳在柱体上缠绕一定角度。系统平衡后,将连接力传感器 的一端逐漸缓慢展开(相当于减小θ)此时计算机绘制出力变化的图线,得到 张力分布 1.计算机以及力传感器 2.各种形状不同,材料相同的柱体 3.各种材料不同,形状相同的圆柱体 实验需求 4.不同质量的砝码,以及长度足够长的细绳 5.测量角度的仪器 第9页共13页

第 9 页 共 13 页 两端张力比：           2 2 exp T xy d T                         显见，上述一般性结论包含圆柱情形。 基于上述面对简单情形以及一般情形的数学实验，我们可以验证相关数学 实验结论。 实验目标 （内容） 基于真实实验 1. 基于真实实验验证上述面对简单情形以及一般情形的数学实验结论。 2. 归纳不同柱体轮廓曲线对二端张力比的影响；籍此研究“最优”的柱体轮廓 曲线。 实验方案 方案 1：用圆柱或其他形状的柱体（比如截口曲线是椭圆，螺线……），其他条 件相同的条件下，测试张力分布，与（1）式的解比照 方案 2：改变初始条件（比如改变细绳一端悬挂砝码的质量）测试张力分布 方案 3：选用不同材料（例如：表面光滑的钢铁，粗糙的木头……），相同形状 的圆柱，在初始条件相同的情况下，测试张力分布，甚至可以用这种办法，测 出未知材料的摩擦系数 方案 4：改变细绳的缠绕方式（比如细绳在柱面上以等距螺线方式缠绕），测试 张力分布，探究此时张力分布的一些规律。 测试实现：利用力传感器，将细绳的一端与传感器连接，另一端与已知质量的 砝码连接，然后用细绳在柱体上缠绕一定角度。系统平衡后，将连接力传感器 的一端逐渐缓慢展开（相当于减小θ）此时计算机绘制出力变化的图线，得到 张力分布 实验需求 1. 计算机以及力传感器； 2. 各种形状不同，材料相同的柱体 3. 各种材料不同，形状相同的圆柱体 4. 不同质量的砝码，以及长度足够长的细绳 5. 测量角度的仪器

真实实验装置及测试系统 成果形式 2.研究报告 第10页共13页

第 10 页 共 13 页 成果形式 1. 真实实验装置及测试系统 2. 研究报告

数学实验研究事例 实验名称基于数值实验研究带有约束的最值问题 通过数值实验将数学实验中的抽象对象(事务或者过程)具体化,以期深化对 实验类别 抽象对象的认识 研究团队 指导教师 Rm中带有约束的最值问题,数学提法如下 约束:∑={x∈Rf(x)=:(x)=0∈取 现求:x∈E,满足:θ(x)=sup(x)或者(x)=inf(x),此处O(x)∈R为目 标函数 对此问题的分析基于有限维 Euclid空间中的隐映照定理,针对上述约束, 有以下结论 如有:x D(r,…f ∑,满足:D3f(元,元) D(x,… (x,)∈R非奇异,则 有 研究背景3B1(x)cR",B(元)c,满足 Ⅴ∈B2(x),∈B(元),满足约束∫(x,)=0∈R B(x)xB(元) [B2(无)×B(元)∩=/(B2(元) 第11页共13页

第 11 页 共 13 页 数学实验研究事例 实验名称 基于数值实验研究带有约束的最值问题 实验类别 通过数值实验将数学实验中的抽象对象（事务或者过程）具体化，以期深化对 抽象对象的认识。 研究团队 指导教师 研究背景 m  中带有约束的最值问题，数学提法如下： 约束：   1 0 m r r f x fx x f                           现求： * x ，满足：   x*  sup  x   或者   x*  inf  x   ，此处   x   为目 标函数。 对此问题的分析基于有限维 Euclid 空间中的隐映照定理，针对上述约束， 有以下结论： 如有： 0 0 0ˆ x x x          ，满足：         1 00 00 1 , , , ˆ ˆ ˆ ˆ , r r r x r Df f Df x x x x Dx x          非奇异，则 有：   0 0 , ˆ mr r Bx Bx         ，满足：    x   Bx xBx    0 0 , ! ˆ ˆ   ，满足约束  , 0 ˆ r f xx     。 1 , , r m X X   o 1 X r X B x    0   0 0 Bx Bxˆ     x xˆ  0 x 0 xˆ   Bx Bx Bx      00 0   ˆ        

隐映照定理结论的几何刻画,如上图所示 局部柱体B2(x)×B(元)cR中,Σ为隐映照图像: p(a)iEB(*)( 由此,定义在约束∑上的目标函数θ(x),在局部等价于: 0(x)全0(,9(x),W∈B2(元) 基于链式求导法则,其临界点方程为 D0()=D2O(.,0(.)+D0(.,(.)D0(元,) =D(元,o()+D0(x,0()[(D/)”,D2/](x(元)=0 一般处理带有约束的最值问题,常采用 Lagrange乘子法;所引入的高阶 Lagrange函数的临界点方程同上述方程一致 基于上述理论,我们拟直接基于上述临界点方程,通过数值实验“搜索 临界点。其主要步骤如下 ①基于有限维 Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理,限定B2()cRm 和B(元)∈R ②对于ⅵ∈B2(元),通过迭代过程确定压缩映照的“不动点”∈B2(元);籍 此获得离散的对应关系:VB2(x)3x口(x)∈B(元),亦即离散的隐映 照表示 ③当获得隐映照表示,则可基于上述临界点方程,通过数值实验“筛选”出临 界点。需指出,上述临界点方程所含各映照的 Jacobian矩阵都有解析式 基于数值试验 方案1:寻找适合的事例,使得理论上可以获得隐映照的表达式。基于上述数值 实验目标实验获得隐映照的数值表示以检验程序的正确性等 内容)|方案2:对多个复杂的高维事例,进行数值实验.主要研究内容有:①探究数值 实验中如何保证有限维 Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理所需的条件。 ②相关事例对应的隐映照实际存在的空间范围等 第12页共13页

第 12 页 共 13 页 隐映照定理结论的几何刻画，如上图所示： 局部柱体   0 0ˆ m Bx Bx       中， 为隐映照图像：     0 ˆ x x B x x                   由此，定义在约束 上的目标函数  x，在局部等价于：    x  x x xBx , ,       0        基于链式求导法则，其临界点方程为：                        * ** ** * ˆ 1 ** ** ** ˆ ˆ , , , , , 0 x x x x xx Dx D x x D x x Dx D x x D x x Df Df x x                              一般处理带有约束的最值问题，常采用 Lagrange 乘子法；所引入的高阶 Lagrange 函数的临界点方程同上述方程一致。 基于上述理论，我们拟直接基于上述临界点方程，通过数值实验“搜索” 临界点。其主要步骤如下： ① 基于有限维 Euclid 空间中有界闭集上的压缩映照定理，限定   0 m r B x      和   0ˆ r B x    。 ② 对于   0 x B x      ，通过迭代过程确定压缩映照的“不动点” xˆ ˆ  B x   0  ；籍 此获得离散的对应关系：  Bx x x Bx      0 0       ˆ  ，亦即离散的隐映 照表示。 ③ 当获得隐映照表示，则可基于上述临界点方程，通过数值实验“筛选”出临 界点。需指出，上述临界点方程所含各映照的 Jacobian 矩阵都有解析式。 实验目标 （内容） 基于数值试验 方案 1：寻找适合的事例，使得理论上可以获得隐映照的表达式。基于上述数值 实验获得隐映照的数值表示以检验程序的正确性等。 方案 2：对多个复杂的高维事例，进行数值实验。主要研究内容有：①探究数值 实验中如何保证有限维 Euclid 空间中有界闭集上的压缩映照定理所需的条件。 ②相关事例对应的隐映照实际存在的空间范围等

实验方案 台式计算机 实验需求 1.数值实验程序 成果形式|2.研究报告 第13页共13页

第 13 页 共 13 页 实验方案 实验需求 台式计算机 成果形式 1. 数值实验程序 2. 研究报告