2010年全国力学课程论坛：面对力学专业有关微积分教学 的若干体会

面对力学专业有关微积分教学 的若干体会 复旦大学力学与工程科学系谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2010年11月四川成都 主要内容 ·面对力学专业微积分教学的基本观点(理念) 具有国内外一流水平的微积分教学的主要特征 ·拔尖(创新)人才培养的若干思考(有关数理知识体系)

面对力学专业有关微积分教学 的若干体会 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2010 年11 月 四川成都 主要内容 • 面对力学专业微积分教学的基本观点（理念） • 具有国内外一流水平的微积分教学的主要特征 • 拔尖（创新）人才培养的若干思考（有关数理知识体系）

参阅:《论技术科学》一钱学森1957年发表于《科学通报》 人类认识和改造自然及非自然世界的不同层面 简单~精确→中间阶段→具体~复杂 基础科学 精 丰富理想 技术科学 提 工程技术 的 炼 若 数学 流体力学 论模 共有问题 航空工业 固体力学 程 物理 化学工业 题 化学 型的利用 工程力学 冶金工业 经 天文 一般力学 验 原子能利用 精理 地理 飞行器设计 进工程进步 工程经济 论 模型的 理 生物 控制论 物流规划 促 自然及非自然世界中的研究对象→①所研究对象的数学提法(建模)→②数学分析 (逻辑过程)→③获得对所研究对象的认识 微积分教学主要内容为:②以及②同①、③之间的联系

参阅:《论技术科学》—— 钱学森 1957年发表于《科学通报》 基础科学 物 理 化 学 天 文 地 理 生 物 数 学 化学工业 冶金工业 原子能利用 工程经济 物流规划 航空工业 技术科学 工程技术 固体力学 工程力学 一般力学 飞行器设计 控制论 流体力学 提 炼 若 干 工 程 问 题 的 共 有 问 题 利 用 理 想 化 模 型 的 精 确 理 论 丰 富 理 想 化 模 型 的 精 确 理 论 经 验 ＋ 精 确 理 论 促 进 工 程 进 步 人类认识和改造自然及非自然世界的不同层面 简单 ～ 精确  中间阶段  具体 ～ 复杂 自然及非自然世界中的研究对象  ① 所研究对象的数学提法（建模） ② 数学分析 （逻辑过程）  ③ 获得对所研究对象的认识 —— 微积分教学主要内容为：② 以及 ②同①、③之间的联系

一数学是认识自然及非自然世界系统的思想和方法,决非仅是数学上的逻辑过程。 ()会kx(t) 1+ √F()+p(0) Gauss formula d·ndo=V·adr Trajectory qH·ao ( DAT a()2=(0),0()=√2(0)+(0) △F=-(P2-Pg)i△a a()=9(x=,0()()(0=8(°()() queduct Canal E f(r) e=1P.a=e·a=1a PTPa°+e > X 球坐标系下加速度表达式 g(x) 科式惯性力→地球偏转效应

x y o a 1 b c j c l c Aqueduct Canal j 1 x  j x f x  g x  x y o t    x t y t  ,   t           2 2 x t i y t j t x t y t     n t k t      Trajectory i j                               2 2 2 2 2 , : sgn sgn n dv a t t v t x t y t dt v t a t y x x y t t v t f x x t t                      —— 数学是认识自然及非自然世界系统的思想和方法，决非仅是数学上的逻辑过程。        F p gz n a   z V V V V water body Gauss formula a n d a d n d d F gV                       X3 X2 r   r e e e e i T e e e=i P, a=e a i a a=e P P a e a            球坐标系下加速度表达式 科式惯性力 地球偏转效应

基于向 Curvilinear -coordiante 8(x) 量值映照认 x(x)∈C"(D;D,) 识曲线坐标 g2(x) 系 82( 以及速度 g14 加速度在曲 local Co var iant-Basis 线坐标系下 Dx(x)=[g182,3](x) 表示形式 曲线坐标系下轨迹表示:x()∈R→速度表示v()=x()g(x(t 引入:f(xx)=xg(x),显然有(x(),(t)=x()g1(x()=v(t) 按符合映照(函数)链式求导法则可得: (x,x)=g1(x (x(),x()=8(x() X.x ax(().(0)()28()= 此处,g()=g(x()籍此可得: -(a()(0)2a((0()2(030)此处(3=时(

1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h g x 1  a  g x 2  a  g x 3  a  1 x 2 x 3 x o    ;  p x y Curvilinear coordiante X x C D D      1 2 3   var : , , local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x g x 1  d  g x 3  d  g x 2  d  3 x 1 x                                                        ˆ , : , , : . ˆ ˆ ˆ , : , ˆ ˆ , : , i i i i i i i i i i j j j i j i i i i j i j x t v t x t g x t v x x x g x v x t x t x t g x t v t v v x x g x x t x t g x t x x v g g v g dg x x x x x x x t x t x t x t t x x x x x dt                               曲线坐标系下轨迹表示： m 速度表示 引入： 显然有 按符合映照（函数）链式求导法则可得：                        2 : ˆ ˆ 1 ˆ , , , , , : , ˆ 2 i i i i i i g t g x t dv d T T a t g t x t x t x t x t T x x v x x dt dt x x                              此处， 。籍此可得： 此处， —— 基于向 量值映照认 识曲线坐标 系， 以及速度、 加速度在曲 线坐标系下 表示形式

我们生活的世界丰富多彩,但上帝也许就用一样东西创造了这些,这就是“数学机 制”或“数学通识”( Mathematical mechanism) 以某种数学结构或性质为载体, 比定理等结论具有更高的归纳性,跨越不同课程甚至学科。 基于数学通识,追求数理知识体系的“融会贯通、触类旁通” @2a 微积分: Stokes公式 020-aa2=ana2a0=0×a→力学:速度、加速度 aaa 合成原理 A∈PSWm G AG= 彐G非奇异,st. 微分几何:曲面曲率 B ∈p GBG=[A,…,]理论力学:振动模态 范德蒙 计算方法:多项式拟合 行列式 数学物理:函数的光滑沿拓 xX

—— 我们生活的世界丰富多彩，但上帝也许就用一样东西创造了这些，这就是“数学机 制”或“数学通识”（Mathematical Mechanism）—— 以某种数学结构或性质为载体， 比定理等结论具有更高的归纳性，跨越不同课程甚至学科。 —— 基于数学通识，追求数理知识体系的“融会贯通、触类旁通”  1  A G AG=I , , s.t. G BG= , , T m T T m PSym G B Sym               微分几何：曲面曲率 非奇异 理论力学：振动模态 3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2 3 0 : 0 0 a i j k Stokes a i j k a a a a a a                                           微积分： 公式 力 学：速度、加速度 合成原理 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 n n n n n n x x x x x x x x x      范德蒙 计算方法：多项式拟合 行列式 数学物理：函数的光滑沿拓