组织教学研究与实践研讨：内蕴形式广义Stokes公式及其在几何形态为曲面的连续介质之有限变形理论中的应用

2012年力学航空宇航科学与技术生物医学工程 复旦大学博士生学术论坛 暨上海市力学学会青年工作委员会学术活动 内蕴形式广义 Stokes公式及其在几何形态 为曲面的连续介质之有限变形理论中的应用 谢锡麟史倩陈瑜 复旦大学力学与工程科学系 ·内蕴形式广义 Stokes公式 ·几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质之运动学(确定性结论) 几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质之动力学(需经理论及实验检验)

2012年 力 学 航空宇航科学与技术 生物医学工程 复旦大学博士生学术论坛 暨 上海市力学学会青年工作委员会学术活动 内蕴形式广义Stokes公式 及其 在几何形态 为曲面的连续介质之有限变形理论中的应用 谢锡麟 史 倩 陈 瑜 复旦大学 力学与工程科学系 • 内蕴形式广义Stokes公式 • 几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质 之 运动学（确定性结论） • 几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质 之 动力学（需经理论及实验检验）

曲面论基本内容:标架及其运动方程 →Cm(x21):RmD23x2=:|→X(x2) x v r-Curve 局部基 第一基本量: (x2)=|g1…gm(x2) g,(x=): =g,g ∈PSy 标架运动方程 第二基本量: (re=Th 8+b, n=Tikg+bn b(x)∈S g Or(xr)=-/*+b'n 特征问题:detb,(x2 (x)=-bg′=-b8 Gass曲率K会∏x;平均曲率H会∑λ

曲面论基本内容：标架及其运动方程       , : : i k k j ji k ji ji k ji i ik i j jk j i i j ji j i g x g b n g b n x g x g bn x n x b g bg x                                      标架运动方程         1 1 1 : , , : , det 0 m m m ij i j ij i m j ij ij i i ij ij m G i i g x g g g x PSym g bx x n bx Sy m x bx gx Gauss K H                                                                                         曲率  第一基本量： 第二基本量： ， 平均 特征问题： ； 曲率 1 m i i       1 : ,, D m x g g x              局部基

有限维 >xr-Curve 5(x,O):RD,3x1=:|→∑(x2)=x x 般曲面上的场论 中 Y x-Curve a-g axa axP axg p 8,0g(*), vo(x)=0 8,0g'ETP(TE ∑ ∑ VVΦ-bbΦ bΦ bΦ,)-bnrΦ,n⑧ b)+brΦ|g,⑧n +bbn)Φ,|n⑧ VaV,p-p,=RIg D +Rip ar, where Rp: =b bp-bmabp: V, bps=V,b 此处v, adp ∑ (x2,)+Φ-T④,Φ=(x2,1)8g(x2,1)

           2 2 = , = i j i jp q p pq ji ji i i t ti j i i t i j q p j q pt j qj p t i qi p j pi j pi qj t q j i j i jt t q p j p j p qj j q x g g x x g g TT xx xx bb b b g g b b b n g x b bb x                                                                                   jj i i pi q p qi j g n b b bb n n                 , : - = , ,, i i it si s s s q p j p q j tqp j j qp t tqp q tp tq p q ps p qs i i i s ii i j j l j ls j lj s j i l R R where R b b b b b b x t x tg g x t x                                                  ； 此处 ， 有限维 Euclid空间中 一般曲面上的场论

一般文献中的广义 Stokes公式 第一类广义 Stokes公式 o-Φdl=(n×V)。-Φdo,VΦ∈T"(R 式中: tk ax· n 间题:线积分仅要求张量场在曲面上有定义 而面积分“需要”张量场在全空间有定义, 由此需要证明:面积分的被积部分同张量场 第二类广义 Stokes公式 三维延拓的具体方式无关。 ×n)o-ddl =v--(vn)(n。-)-n-(n(Va)lda,v∈r"(R2) 式中:V=i +k x

一般文献中的广义Stokes公式     3 , p dl n d T i jk xyz                     式中： 第一类广义Stokes公式 问题：线积分仅要求张量场在曲面上有定义， 而面积分“需要”张量场在全空间有定义， 由此需要证明：面积分的被积部分同张量场 第二类广义Stokes公式 三维延拓的具体方式无关。            3 , p n dl nn n n d T i jk xyz                                      式中：

内蕴形式 CmE(x21):R”D23x=:→2(x,),m(x2 义 2(x,) 公 式 vx-Cume euclid空间基本性质:V=i arangO n 第一类内蕴形式广义 Stokes公式 中7-0d=∫(nxv)-d,此处曲面梯度算子、=8m+8 第二类内蕴形式广义 Stokes公式 p(rxn)-=vo-+Hno-do,此处H==V,n为平均曲率

1 2 123 1 1 1 1 23 Euclid iii g g n X XX x xx                      空间基本性质:   1 2 1 2 , Stokes Stoke , : : s dl n d n g dl Hn d H x n g x                                                          第一类内蕴形式广义 公式 第 此处曲面梯 二类内蕴形式广 度算子 此处 义 公式 为平均曲率 内蕴形式 （ intrinsic form）广义 Stokes公式