复旦大学本科生优秀毕业论文：基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研究固定曲面上流动及曲面自身运动

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研 究固定曲面上流动及曲面自身运动 力学与工程科学系史倩 指导教师谢锡麟 摘要:本文基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论,具体研究了二种典型的运 动。其一为固定曲面上连续介质的有限变形运动。具体推导了固定曲面上流动的控制方程分 量形式;进一步就不可压缩流动推导了涡一流函数解法,且数值研究了曲面局部扰动对圆柱 尾迹的影响。其二为曲面自身的有限变形运动,即膜的运动。具体推导了膜运动的控制方程 分量形式;进一步数值研究了轴对称膜的轴对称有限变形运动。本文就控制方程分量形式的 推导基于特定形式的三维流动在曲面上的限制,最终结果表现为不依赖于三维流动的具体选 关键词:有限变形理论;固定曲面上的流动:膜运动;曲面论 Abstract: Based on the finite deformation theory of the continuous medium limited to surface two typical motions on the surface are studied in detail in this dissertation. The one is the motion on the fixed surface and the other one the pure motion of the surface. The differential equations with respect to conservation laws are deduced The vorticity-stream funct thod for numerical solution of impressible flow on fixed surface is presented together with some results in order to study how the wake of cylinder is influenced by the surface. We also carry out the numerical study of axisymmetric membrane vibration considering the finite deformation motion. Keywords: finite deformation; flow on fixed surface, motion on the surface; the theory of surface 引言 几何形态为曲面的连续介质有着广泛的应用背景,如细胞膜、泪液层等生物 膜,工业生产中传热传质过程中的保护膜,燃烧、雾化过程以及涂膜工艺,以及 封装和净化工业中的应用。从连续介质力学角度来研究方面,殷雅俊(2008)指 出生物膜是嵌入在三维 Euclidean空间中的二维 Riemann空间[9]。 Robert Irion(1999)评述了皂膜水洞作为新技术对于揭示湍流的旋涡世界的意义[4]。Jun Zhang等(2000实验研究了在流动皂膜上引入柔性细丝后的流场形态[3]。尹 协振等也对皂膜风洞实验方面进行了相关研究[8]。对于固体薄膜的振动, RH Gutierrez(1998数值模拟了环形(包括圆形)且膜密度关于半径定常函数分

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 1 基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研 究固定曲面上流动及曲面自身运动 力学与工程科学系 史倩 指导教师 谢锡麟 摘要：本文基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论，具体研究了二种典型的运 动。其一为固定曲面上连续介质的有限变形运动。具体推导了固定曲面上流动的控制方程分 量形式；进一步就不可压缩流动推导了涡－流函数解法，且数值研究了曲面局部扰动对圆柱 尾迹的影响。其二为曲面自身的有限变形运动，即膜的运动。具体推导了膜运动的控制方程 分量形式；进一步数值研究了轴对称膜的轴对称有限变形运动。本文就控制方程分量形式的 推导基于特定形式的三维流动在曲面上的限制，最终结果表现为不依赖于三维流动的具体选 取。 关键词：有限变形理论；固定曲面上的流动；膜运动；曲面论 Abstract: Based on the finite deformation theory of the continuous medium limited to surface, two typical motions on the surface are studied in detail in this dissertation. The one is the motion on the fixed surface and the other one the pure motion of the surface. The differential equations with respect to conservation laws are deduced. The vorticity-stream function method for numerical solution of impressible flow on fixed surface is presented together with some results in order to study how the wake of cylinder is influenced by the surface. We also carry out the numerical study of axisymmetric membrane vibration considering the finite deformation motion. Keywords: finite deformation; flow on fixed surface; motion on the surface; the theory of surface 引言 几何形态为曲面的连续介质有着广泛的应用背景，如细胞膜、泪液层等生物 膜，工业生产中传热传质过程中的保护膜，燃烧、雾化过程以及涂膜工艺，以及 封装和净化工业中的应用。从连续介质力学角度来研究方面，殷雅俊（2008）指 出生物膜是嵌入在三维 Euclidean 空间中的二维 Riemann 空间 [9]。Roert Irion(1999)评述了皂膜水洞作为新技术对于揭示湍流的旋涡世界的意义[4]。Jun Zhang 等（2000）实验研究了在流动皂膜上引入柔性细丝后的流场形态[3]。尹 协振等也对皂膜风洞实验方面进行了相关研究[8]。对于固体薄膜的振动， R.H.Gutierrez(1998)数值模拟了环形（包括圆形）且膜密度关于半径定常函数分

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 布下自由振动的相关结果[5]。方形膜的大变形自由振动也有相关报道 借鉴于一般连续介质力学的基本理论体系[1,2],谢锡麟等(2012)建立了 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论[6,7]。本文具体考虑了两种典型的 几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动:固定曲面上连续介质的有限变形运 动,即固定曲面上的流体,以及曲面自身的有限变形运动,即膜的运动。推导了 其控制方程的分量形式;并结合基于映照的方法进行了数值研究,以期从现象和 方法上对几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动进行了初步探索和分析。 1概述几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 自身可作有限变形运动的曲面,其一般的向量值映照表示为 (x2):R2D23x2=→2(x,1)年x2(x20)∈R,类比于一般连续介质 力学理论,为考虑初始物理构形中两无限接近的介质质点位移同其在当前物理构 形中位移的关系,可引入变形梯度:F会(2)8(x,1)8G(x)∈r() 基于变形梯度的有关性质,我们可以归类当前一初始物理构形构型中有向 线元、面元及它们的模,以及物质导数的转换四类变形形式。例如: ◇当前一初始物理构形中有向线元、面元间的转换 dc d 2(2); (λ,) 2|a∑a∑ (2,1)n(A,) ◇当前物理构形中有向线元、面元的物质导数转换: dC(4)-(e)24C(,02.2(x=(b}-8计小|02,2( 类似于微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分,我们可将输运定理分成 第一类和第二类 ◇第二类输运定理 线输运:d「a*zl=(ard++ 面输运:*mdo=[中*ndo+「Φ*Bndo dt

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 2 布下自由振动的相关结果[5]。方形膜的大变形自由振动也有相关报道。 借鉴于一般连续介质力学的基本理论体系[1,2]，谢锡麟等（2012）建立了 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论[6,7]。本文具体考虑了两种典型的 几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动：固定曲面上连续介质的有限变形运 动，即固定曲面上的流体，以及曲面自身的有限变形运动，即膜的运动。推导了 其控制方程的分量形式；并结合基于映照的方法进行了数值研究，以期从现象和 方法上对几何形态为曲面的连续介质的有限变形运动进行了初步探索和分析。 1 概述几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 自身可作有限变形运动的曲面，其一般的向量值映照表示为：       1 1 2 2 3 2 3 , : , , X x x t D x x t X x t x X                                     ，类比于一般连续介质 力学理论，为考虑初始物理构形中两无限接近的介质质点位移同其在当前物理构 形中位移的关系，可引入变形梯度：         2 3 , , i j j i x F t g x t G x T                 。 基于变形梯度的有关性质，我们可以归类当前－初始物理构形构型中有向 线元、面元及它们的模，以及物质导数的转换四类变形形式。例如：  当前－初始物理构形中有向线元、面元间的转换：     t o d C d C F d d        ；  ,  t t                3 det , , o o t F n                   ；  当前物理构形中有向线元、面元的物质导数转换：     t t d C d C V d d                  ，  ,  t t              ,  t t    I V                                。 类似于微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分，我们可将输运定理分成 第一类和第二类。  第二类输运定理 线输运： t t t C d dl dl L dl dt                          ； 面输运： * * * t t t d nd nd B n d dt                       

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 上述*表示任何合法的张量代数运算,如张量并,点积、叉乘等。 第一类输运 线输运:d Φdl=|dd+|Φ|x:D.rldl dt 面输坛.4 dd=|dd+|dθdo。 对于守恒律控制方程,可有: 今质量守恒 对于密度p,利用输运方程,即可得质量守恒的积分型方程 d[plo引p+Pda=0。由此可得质量守恒的微分方程:p+pO=0。对于 不可压缩流动,则有:θ=0。进一步得分量形式 ◆动量守恒 考虑曲面上运动的连续介质的各种受力:pr=Fm+Fm+Fm+△P 此处Fm为表面张力作用,F为介质之间粘性力(摩擦力)作用,Fm表示介质 间压力作用,AP表示曲面两侧压力差作用。其中 Fm=rfrxndl=-rJ(v-n)ndo, F=-orx(pm)dl=J-Vp+v(pn)n do 手(xo)(8)=rn)以 小(A⑧-(vm)n(v8)]-(n8n)v(v)])d 最终可得动量守恒的微分形式: dr-y(Vn)n-Vp+V(pn)n+APn +{△8-(vn)n(v8T)]-(n8n):[va(a 上述表面张力、介质之间粘性力、介质内压力作用都可以表示为所选取介质 系统边界上的线积分;应用曲面上的广义 Stokes公式,可将线积分转化为介质

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 3 上述*表示任何合法的张量代数运算，如张量并，点积、叉乘等。  第一类输运 线输运： t t t C C C d dl dl D dl dt                     ; 面输运： t t t d d d d dt                  。 对于守恒律控制方程，可有：  质量守恒 对于密度 ，利用输运方程，即可得质量守恒的积分型方程： 0 t t d d d dt                      。由此可得质量守恒的微分方程：   0     。对于 不可压缩流动，则有： 0   。进一步得分量形式：     3 , , 0 i i i i x t x x t V H V t x                           。  动量守恒 考虑曲面上运动的连续介质的各种受力： t = sur is pre d Vd F F F P dt          。 此处 Fsur 为表面张力作用，Fvis 为介质之间粘性力（摩擦力）作用，Fpre 表示介质 间压力作用，P 表示曲面两侧压力差作用。其中：   sur c F ndl n nd              ，     p c F pn dl p pn n d                             :           is c c F n V dl n V n n dl V n n V n n V d                                                           最终可得动量守恒的微分形式：           ( ) + ( ) : d V n n p pn n Pn dt V n n V n n V                                        上述表面张力、介质之间粘性力、介质内压力作用都可以表示为所选取介质 系统边界上的线积分；应用曲面上的广义 Stokes 公式，可将线积分转化为介质

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) 上的面积分。由于 Stokes公式涉及的场及其场论运算是三维的,故我们需要利 用上述曲面上的运动的三维化处理 可基于曲面引入三维曲线坐标系X(x,1)会Σ(x2,1)+x3:n(x2,)∈R3,由此可 构造三维运动:x=x(5,)9/(3 ∈R3,继而可得三维运动的速度场分布 y(x(:0)2)+2.(x(52:0, +米(5:1)8(x(52))+53,(,),(x1(:0, 对介质内部压力的三维化考虑局部柱型场,亦即沿法向无梯度。另外如果考 虑镜面上镀膜等过程,可能需要考虑介质同镜面之间的摩擦力,对此介质将受到 额外的面力,仅需在上述微分型动量方程的右方直接加入相关项就可 2典型运动形式:固定曲面上连续介质的有限变形运动 此部分讨论固定曲面上不可压缩流动的理论及计算结果。文献中关于皂膜风 洞的实验研究是平面上的流动,依据第2节中理论,可以发展二维固定曲面上不 可压缩流动的涡流函数解法。 由不可压缩流动的连续性方程可引入流函数 ar( v8 V(xg 4=0= ay(xe 依据已获得动量守恒方程微分形式,对于粘性部分需计算: ()l=((0)(0)1儿8 以及-(n8n)[8(v8)]=-m2[V(H)g=[v(VH)]g, 以及[8=[v(ve=[vv8=[V()+v(vH)]g 其中:[vvr]=[g"V(H)=g2+mb-的的 可得原始变量的动量方程为:

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 4 上的面积分。由于 Stokes 公式涉及的场及其场论运算是三维的，故我们需要利 用上述曲面上的运动的三维化处理。 可基于曲面引入三维曲线坐标系       3 3 X x t x t x n x t , , ,         ，由此可 构造三维运动：     3 3 , , x t x x t                ，继而可得三维运动的速度场分布：                     3 3 , , , , , , , , , , i i i i n V x t t x t t t t n x t x t t x t x t t x x                                                     ， 对介质内部压力的三维化考虑局部柱型场，亦即沿法向无梯度。另外如果考 虑镜面上镀膜等过程，可能需要考虑介质同镜面之间的摩擦力，对此介质将受到 额外的面力，仅需在上述微分型动量方程的右方直接加入相关项就可。 2 典型运动形式：固定曲面上连续介质的有限变形运动 此部分讨论固定曲面上不可压缩流动的理论及计算结果。文献中关于皂膜风 洞的实验研究是平面上的流动，依据第 2 节中理论，可以发展二维固定曲面上不 可压缩流动的涡流函数解法。 由不可压缩流动的连续性方程可引入流函数：       1 2 2 1 : , 1 , 0 : , s s g V x t x g V x t x g g V x t x                                         依据已获得动量守恒方程微分形式，对于粘性部分需计算：       3 3 ( ) , , l i l i l n n V H x t x t b g Hb V g i l l i x                                                 ， 以及         3 3 : l l l l n n V n n V g V g                                    ， 以及         3 = 3 l j l V V V g V V g l j l l                                    其中：   j ij ij s j s j l i j l i i l l s l j s V g V g V Hb V b b V                          可得原始变量的动量方程为：

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2012) V⑧ bibl P n+V·(pn) 进一步定义固定曲面上运动的涡量a3=6,可推导得得到固定曲面上 不可压缩流动的涡一流函数解法(控制方程分量形式): 流函数控制方程 ax dx' ax g g 涡量控制方程 do +8 V+K HV 可见相关项耦合于几何信息如平均曲率、高斯曲率,也相容于平面情形。 考察圆柱后平面上叠加凹凸形式的曲面:二=-9+)+(-y),图1 是平均曲率分布图。数值上采用映照的观点,将该区域化为规则的计算域[10], 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解,其中预估步采用二 阶精度的 Adams- Bashforth格式离散;空间导数离散基于不等距 Lagrange插值 公式获得导数计算式。流函数 Possion方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭 代求解,取超松弛因子为1.72。时间步长0.001,网格数300×300,雷诺数Re=100。 Mean curvature 3.24 0.81 0.00 -0.81 1.62 2.43 图1中间钟形双向凸起曲面上平均曲率分布图 图2是计算结果的等流函数图,图3是等涡量云图的俯视图,表现了流动从 上游平面绕过钟形凹凸的行为:总体而言,尾迹依然有卡门涡街形成,对比平面 情形,涡量在非平面部分有被“拉散”的现象,并且传播到下游一定距离,但远 场没有受到明显干扰。对于钟形曲面的大小、位置、数量等在本文中做了初步研 究,仍有待于进行更为广泛的系统研究

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2012） 5 ( ) ij j s l i j l l j s l V p V V g V b b V g t x n n p n n P n                                                           = 进一步定义固定曲面上运动的涡量 3 3 : kl   k l V     ，可推导得得到固定曲面上 不可压缩流动的涡－流函数解法（控制方程分量形式）： 流函数控制方程 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 = - V V V V x x x x x x g g g g g                                                                      涡量控制方程 3 3 3 3 3 3 2 k ij kl kl s G k k i j l G k l s K V g V K Hb V t x x                                                       可见相关项耦合于几何信息如平均曲率、高斯曲率，也相容于平面情形。 考察圆柱后平面上叠加凹凸形式的曲面：         2 2 2 2 5 8 + x y x y z e e         。图 1 是平均曲率分布图。数值上采用映照的观点，将该区域化为规则的计算域[10]， 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解，其中预估步采用二 阶精度的 Adams-Bashforth 格式离散；空间导数离散基于不等距 Lagrange 插值 公式获得导数计算式。流函数 Possion 方程求解采用逐次超松弛方法（SOR）迭 代求解，取超松弛因子为 1.72。时间步长 0.001，网格数300 300  ，雷诺数 Re=100。 图 1 中间钟形双向凸起曲面上平均曲率分布图 图 2 是计算结果的等流函数图，图 3 是等涡量云图的俯视图，表现了流动从 上游平面绕过钟形凹凸的行为：总体而言，尾迹依然有卡门涡街形成，对比平面 情形，涡量在非平面部分有被“拉散”的现象，并且传播到下游一定距离，但远 场没有受到明显干扰。对于钟形曲面的大小、位置、数量等在本文中做了初步研 究，仍有待于进行更为广泛的系统研究