2010年全国力学课程论坛：基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践

基于现代张量分析的连续介质力学理论 及其在流体力学中的实践 复旦大学力学与工程科学系谢锡麟 Xiexilinafudan. edu.cn 2010年11月四川成都 主要内容 ·《张量分析与微分几何基础》,36-54学时 《连续介质力学基础》,54学时 《涡量与涡动力学基础》,54学时

基于现代张量分析的连续介质力学理论 及其在流体力学中的实践 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2010 年11 月 四川成都 主要内容 • 《张量分析与微分几何基础》，36－54 学时 • 《连续介质力学基础》，54 学时 • 《涡量与涡动力学基础》，54学时

实践1:《张量分析与微分几何基础》—充分利用微积分①微分同胚~曲线坐标系 ②张量值场可微性定义 g,(x.)x3 Curvilinear-coordiante 83 d x(x)∈C(DD,) g2(x) g2( 81(x K/ local Co variant-Basis )=[g1282,83] XI 张量场Φ(x)=Vc;(x)g,g⑧g4(x)∈T(")可微性,分析要素 多元函数:Vp:(x+△x)=V(x)+(x)Ax2+0(△x)∈R 向量值映照:g(x+△x)=g(x)+28(x)△x2+0(△x)=g,(x)+r(x)g,(x)△x+0(△x)∈Rm 向量值映照:g(x+△x)=g(x)+8(x)△x2+o(△Ax)=8(x)-r(x)g(x)Ax2+0(△x)∈R 简单张量范数:k8n③5(g)=kmkl (x+△x)=(x)+Vp:(x)g,8g′8g(x)△x+o(△x)eT(R =(x)+[va:(x)8;g88g(x)[Arg(x)+o(△x)=(x)+(v)(x)△x+(△x)

实践1：《张量分析与微分几何基础》——充分利用微积分 ① 微分同胚～曲线坐标系； ② 张量值场可微性定义                                                 3 1 : i k j m l j i k i k i k i k s j l j l j s i s t s m i i i si t s j j j s j j t s m s st x x g g g x T x x x x x o x x g g x x g x x x o x g x x g x x o x x g g x x g x x x o x g x x g x x o x x                                                      张量场 可微性，分析要素： 多元函数： 向量值映照： 向量值映照： 简单                                3 3 = = m m m m T i k j l m l j i k i k j l q l j i k q x x x x g g g x x o x T x x g g g g x x g x o x x x X o x                                                    张量范数: 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h g x 1  a  g x 2  a  g x 3  a  1 x 2 x 3 x o    ;  p x y Curvilinear coordiante X x C D D      1 2 3   var : , , local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x g x 1  d  g x 3  d  g x 2  d  3 x 1 x

以方法论的思想梳理和掌握理论二思想+方法(应用),正本清源、格物致知」 - Euclid空间中场论恒等式的推导 (x)=(=“(x)gg,③g(x)=V,∈“(x)g,g,8g(x)=0 1. Ricci引理: G (x)=(g,(x)g'8g(x)=v,, (x)g'0g'(x) 3 Euclid空间基本性质:V2v=VV 完整系下定义的张量梯度在非完整下的表示 基本依据: V8中(x)=V:(x)g8g881g()=voa((x)ggAg8g0 此处:votp(x)=CCaC"(x)v;(x) 分析思想: 1形式导数:0=Cl () 2. Christoffelf: rae(x) =ckclacie(x) rf (x)-Cla Cie(x). a(x) 3协变导数:(3)=00(x)+m(人a,(+/mnpm (),(y)

—— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用），正本清源、格物致知                       0 1.Ricci 0 2. 3. ijk ijk l l i j k l i j k i j i j l l ij l ij ijk j k k j ipq p q p q p q q p x x g g g x x g g g x x x G x g x g g x g x g g x x x Euclid                                         ——Euclid空间中场论恒等式的推导 引理： 空间基本性质：                                                                                  : : . : 2. : 3. i k l j l j i k l j i k i k l j l l i j k i j j k ij i x x g g g g x x g g g g x x C C C C x x C C Christoffel x C C C x x C C x x x                                                             ——完整系下定义的张量梯度在非完整下的表示 基本依据： 此处： 分析思想： 1形式导数： 符号： 协变导数：                                                        x x x x x :                                       

曲面分析基本知识基于数学通识 aX/、OX A∈PSwm G AGI 同时对角化:V G非奇异,st B∈S B…B 2切空间:T=9m(8(9()=9mn图()(8,g)=)厂 3曲面标架运动方程。/(x)=/()2()+b(x))=rn()(x)+b()n() (x)=b(x)g(x)=b()g,(x), where b =gbk Boundany of the B X(: D x(x)=x2(x)=(x,x)+xn( x(x) D x'-Cinve

3 X 1 X 2 X o 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 3 g 2 g 2 g 2 g 3 g 3 g 3 g   1 2  x x, Boundary of the Body 1 x Curve  2 x Curve  3 x Curve            1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 3 X : X , , x x X x D x x x X x x x x n x x x X                             o 1 x 3 x Dx 2 x X x                     2 1 1 1 , A G AG=I 1. , , s.t. G BG= , , , 2. T | , T ij i i m T T m ij i j i i i x i j j i i i X X A g x x PSym x x G B Sym X B b x n x x x X span g x x span g x g g x                                                                                 m-1 同时对角化： 非奇异 切空间：                             , 3. , : i k k j ji k ji ji k ji j i i ik j ji j i j k g x x g x b x n x x g x b x n x x n x b x g x b x g x where b g b x                    m-1 曲面标架运动方程： —— 曲面分析基本知识 基于数学通识

实践2:基于《张量分析与微分几何基础》,按理性力学观点研习《连续介质力学基 础》一有限变形理论等 X A 初始构型曲线坐标系 X(5)∈C|v,vx 当前构型曲线坐标系 x(5 X(x,)∈C[v2×R+,FxR t>t 按现代航空航天等新兴发展趋势,着力研究显含时间的微分同胚(适用于研究可 变形边界的流固耦合问题),以此为出发点,以郭仲衡著《非线性弹性理论》相 关内容为参照,澄清当前构形曲线坐标系显含时间情形相应的结果

实践2：基于《张量分析与微分几何基础》，按理性力学观点研习《连续介质力学基 础》—— 有限变形理论等 • 按现代航空航天等新兴发展趋势，着力研究显含时间的微分同胚（适用于研究可 变形边界的流固耦合问题），以此为出发点，以郭仲衡著《非线性弹性理论》相 关内容为参照，澄清当前构形曲线坐标系显含时间情形相应的结果。 t t  0 t 0 t t t  0 t 0 t 1 X 1 X 1 X m X m X m X 1 x m x 1 x m x 1 x m x  X   X x t  ,  x t ,    , p X C V V  X         初始构型曲线坐标系  , ,  t t p X x t C V V x x            当前构型曲线坐标系