教学研究与实践阶段性总结 教学路径:微积分一流化进程 教学路径:基于现代张量分析的连续介质力学基础理论 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 Xiexilin@fudan.edu.cn 2013年12月整理
教学研究与实践 阶段性总结 教学路径： 微积分一流化进程 教学路径： 基于现代张量分析的连续介质力学基础理论 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2013年12月 整理
追求具有一流水平的微积分与连续介质力学 基础知识体系的教研与实践 第一部分研究背景与目的 我们面对的自然世界,从尺度而言,可以简单分为:微观世界,宏观世界以及宇观世界。宏观世界, 主要包括机械运动,也涉及生命体中器官、组织等运动。这个世界所包括的对象往往在空间中呈连续分布 形态,称为连续介质。对连续介质的运动学及动力学研究主要构成连续介质力学,相关研究主要属于力学 范畴。连续介质力学涵盖一般刚性物质(含小变形物质),主要包括机械,材料,桥梁及建筑等等;可 形物质,包括水,气,高分子材料,生命体及其宏观组成部分以及现代智能材料等等。因此,连续介质力 学涉猎极其广泛,且紧密联系于我们的日常生活,生产建设等。从学科发展而言,正是由于连续介质力学 的兴起,使得力学独立于物理学。 昂子力学 理论力学 自然世界 理性界 学&数 关思想及方法 连续介质力学 数学刻画 1非数学刻 相关思想及方法 非自然世界 微积分+线性代数测度论+泛函分析 层次 图1力学与数学之间的关系及其在认识自然及非自然世界中的作为 归纳力学专业(以理论力学、连续介质力学、控制力学等为核心)、物理专业(以理论力学、电动力 学、热力学与统计力学、量子力学等为核心)的骨干课程,我们可绘出如图1所示的力学与数学之间的关 系及其作为:力学与数学为我们认识自然及非自然世界提供了基本而又系统的思想及方法;同时数学又 我们构建理性世界(认知世界)提供了基本的表述形式。 连续介质力学作为力学的核心基础,结合微积分作为高等数学的核心基础,本教研与实践的主要目标 为:将自身学习、研究与教学紧密融合,追求具有一流水平的微积分与连续介质力学基础知识体系,并通 过相关课程体系持续地向学生传递相关知识体系;注重理论联系实际,切实将相关知识体系作为认识自然 及非自然世界的思想及方法源泉。此处,“一流水平”指:①课程的广度及深度达到甚至超越国内外具有 一流水平的教程或专著的程度;②研究知识体系的发展脉络,不仅表现为自身知识体系结构清晰,而且 数学与力学知识体系之间关系清晰。 第二部分研究特色(创新点) 1.追求具有“一流化水平”的微积分及连续介质力学基础知识体系,具体建设有二条课程体系:①“微 积分一流化进程”,主要包括《数学分析》(一年制,必修课程)、《经典力学数学名著选讲》(有关微 积分的深化,选修课程)、《流形上的微积分》(选修课程);②“基于现代张量分析的连续介质力学基 第1页共10页
第 1 页 共 10 页 追求具有一流水平的微积分与连续介质力学 基础知识体系的教研与实践 第一部分 研究背景与目的 我们面对的自然世界，从尺度而言，可以简单分为：微观世界，宏观世界以及宇观世界。宏观世界， 主要包括机械运动，也涉及生命体中器官、组织等运动。这个世界所包括的对象往往在空间中呈连续分布 形态，称为连续介质。对连续介质的运动学及动力学研究主要构成连续介质力学，相关研究主要属于力学 范畴。连续介质力学涵盖一般刚性物质（含小变形物质），主要包括机械，材料，桥梁及建筑等等；可变 形物质，包括水，气，高分子材料，生命体及其宏观组成部分以及现代智能材料等等。因此，连续介质力 学涉猎极其广泛，且紧密联系于我们的日常生活，生产建设等。从学科发展而言，正是由于连续介质力学 的兴起，使得力学独立于物理学。 图 1 力学与数学之间的关系及其在认识自然及非自然世界中的作为 归纳力学专业（以理论力学、连续介质力学、控制力学等为核心）、物理专业（以理论力学、电动力 学、热力学与统计力学、量子力学等为核心）的骨干课程，我们可绘出如图 1 所示的力学与数学之间的关 系及其作为：力学与数学为我们认识自然及非自然世界提供了基本而又系统的思想及方法；同时数学又为 我们构建理性世界（认知世界）提供了基本的表述形式。 连续介质力学作为力学的核心基础，结合微积分作为高等数学的核心基础，本教研与实践的主要目标 为：将自身学习、研究与教学紧密融合，追求具有一流水平的微积分与连续介质力学基础知识体系，并通 过相关课程体系持续地向学生传递相关知识体系；注重理论联系实际，切实将相关知识体系作为认识自然 及非自然世界的思想及方法源泉。此处，“一流水平”指：① 课程的广度及深度达到甚至超越国内外具有 一流水平的教程或专著的程度；② 研究知识体系的发展脉络，不仅表现为自身知识体系结构清晰，而且 数学与力学知识体系之间关系清晰。 第二部分 研究特色（创新点） 1. 追求具有“一流化水平”的微积分及连续介质力学基础知识体系，具体建设有二条课程体系：①“微 积分一流化进程”，主要包括《数学分析》（一年制，必修课程）、《经典力学数学名著选讲》（有关微 积分的深化，选修课程）、《流形上的微积分》（选修课程）；②“基于现代张量分析的连续介质力学基
础理论”,主要包括《张量分析与微分几何基础》(选修课程)、《连续介质力学基础》(选修课程)、《现 代张量分析及其在连续介质中的应用》(复旦大学暑期集中性教学项目FIST,本研共享)、《张量分析 与连续介质力学》(东华大学,研究生必修课程,本研共享)。现有上述课程的广度及深度可类比相关 国内外具有一流水平的教程或专著,且具有较为理想的教与学的效果。上述课程体系适用于技术科学 类、自然科学类等专业的数学及力学基础教学,适用于相关高端人才(如拔尖人才、卓越工程师等) 的培养。 2.提出以“知识点一知识要素”构建知识体系,建议将知识体系分成若干知识点,对每一知识点再分成 若千知识要素。就不同层面的微分学知识体系,我们构建了具有高度相似性的知识点集合(注重澄清 并归纳最为基本的思想及方法),由此使得不同层面的微分学教学表现出高度相似性,以此追求“温 故而知新”的理想效果。另值得指出,知识要素可为某些特定的数学结构,由此可能隶属不同知识体 系的知识点含有相同的知识要素,我们将此称为“数学通识”。我们自身并鼓励学生一同追求对各个 知识体系自身的“融会贯通”(可基于对知识点和知识要素的不断凝练),追求对不同知识体系之间的 “触类旁通”(可基于对数学通识的挖掘) 3.注重数学、力学知识体系之间的融合,以此作为认识自然及非自然世界系统的思想及方法,由此注重 从实际问题中提炼出问题(构建数学及力学模型),经过数学及力学分析后再回到实际问题的完整过 程,而非仅限于单纯的数学逻辑过程。注重相关数学知识体系同力学知识体系之间的关系,表现为按 般数学知识体系发展力学知识体系对应的主要结论。将数学知识体系对应于力学知识体系,不仅十 分有益于相关力学思想、方法及结论的澄清,而且也能通过数学理论的具体实践加深对数学知识体系 自身的理解和认识。就此方面,教学中表现出“基于已有知识发展新知识”的自我扩充和自我发展的 过程。 4.注重研究与发展知识体系的基本思想及方法,藉此发展可适合一类问题的思想及方法;随时将相关最 新科研成果或者按现有知识体系归纳的已有成果作为课程的教学内容,就此教与学的形式,往往表现 出教师与学生之间的学术研讨。注重理论联系实际,学生基于理论学习可针对具体问题实践相关思想 及方法,形式可为数值实验或真实实验;在获得科研成果的基础上,我们鼓励和资助学生积极参加各 种学术会议,撰写学术论文等。总体上,我们注重培养学生基于坚实基础发展新思想及新方法的创新 能力。 第三部分现有工作 §3.1课程体系建设 R上微分学 [a句上Rmmn积分 R上微分学 甲上Jorm可测集上 Riemann积分 (R中微分流形上微分学) R上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 一般赋范线性空间上微分学 (R中微分流形上积分学) 图2具有一流水平的微分学及积分学知识体系架构 第2页共10页
第 2 页 共 10 页 础理论”，主要包括《张量分析与微分几何基础》（选修课程）、《连续介质力学基础》（选修课程）、《现 代张量分析及其在连续介质中的应用》（复旦大学暑期集中性教学项目 FIST，本研共享）、《张量分析 与连续介质力学》（东华大学，研究生必修课程，本研共享）。现有上述课程的广度及深度可类比相关 国内外具有一流水平的教程或专著，且具有较为理想的教与学的效果。上述课程体系适用于技术科学 类、自然科学类等专业的数学及力学基础教学，适用于相关高端人才（如拔尖人才、卓越工程师等） 的培养。 2. 提出以“知识点－知识要素”构建知识体系，建议将知识体系分成若干知识点，对每一知识点再分成 若干知识要素。就不同层面的微分学知识体系，我们构建了具有高度相似性的知识点集合（注重澄清 并归纳最为基本的思想及方法），由此使得不同层面的微分学教学表现出高度相似性，以此追求“温 故而知新”的理想效果。另值得指出，知识要素可为某些特定的数学结构，由此可能隶属不同知识体 系的知识点含有相同的知识要素，我们将此称为“数学通识”。我们自身并鼓励学生一同追求对各个 知识体系自身的“融会贯通”（可基于对知识点和知识要素的不断凝练），追求对不同知识体系之间的 “触类旁通”（可基于对数学通识的挖掘）。 3. 注重数学、力学知识体系之间的融合，以此作为认识自然及非自然世界系统的思想及方法，由此注重 从实际问题中提炼出问题（构建数学及力学模型），经过数学及力学分析后再回到实际问题的完整过 程，而非仅限于单纯的数学逻辑过程。注重相关数学知识体系同力学知识体系之间的关系，表现为按 一般数学知识体系发展力学知识体系对应的主要结论。将数学知识体系对应于力学知识体系，不仅十 分有益于相关力学思想、方法及结论的澄清，而且也能通过数学理论的具体实践加深对数学知识体系 自身的理解和认识。就此方面，教学中表现出“基于已有知识发展新知识”的自我扩充和自我发展的 过程。 4. 注重研究与发展知识体系的基本思想及方法，藉此发展可适合一类问题的思想及方法；随时将相关最 新科研成果或者按现有知识体系归纳的已有成果作为课程的教学内容，就此教与学的形式，往往表现 出教师与学生之间的学术研讨。注重理论联系实际，学生基于理论学习可针对具体问题实践相关思想 及方法，形式可为数值实验或真实实验；在获得科研成果的基础上，我们鼓励和资助学生积极参加各 种学术会议，撰写学术论文等。总体上，我们注重培养学生基于坚实基础发展新思想及新方法的创新 能力。 第三部分 现有工作 §3.1 课程体系建设 图 2 具有一流水平的微分学及积分学知识体系架构
按我们调研,国外具有一流水平的微积分教学表现为如下特征:①将微分学由有限维 Euclid空间延 拓至一般赋范线性空间;②将积分学由 Riemann积分延拓至 Jordan测度、 Lebesgue测度意义下的积 分;③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态延拓至需多个参数化的几何形态,亦即建立微分流 形上的微积分。图2显示了较为完整的微积分知识体系架构。需指出,国内现行微积分课程设置一般为一 年或一年半制(对应于非数学以及数学专业);非数学专业的微积分教学止于有限维 Euclid空间上微积分, 并不能充分满足现代工程科学的要求。由此,我们通过设计系列课程(包括选修课)以完成上述知识体系 的讲述。随着我们对自然及非自然世界认识的深入,按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远意义。 我们现建设形成的“微积分一流化进程”知识体系,主要包括:①一年制《数学分析》,②暑期课 程《经典力学数学名著选讲》(有关微积分的深化),③《流形上的微积分》。 基本理论课程」 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 固体力学」 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 固体力学基 血液动大 力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 涡量与涡动力学基础|涡量空气动力学 图3基于现代张量分析的连续介质力学基础理论及其实践的知识体系架构 近二年来我们在连续介质力学基础理论研究方面取得一定进展。主要表现为,按连续介质的几何形态 区分为 Euclid流形(体)和 Riemann流形(曲面)。针对几何形态为 Euclid流形的连续介质提出“当 前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”;相关理论适合研究边界可作有限变形运动的流 固耦合问题,如可变形飞行器飞行特性、生物体流动等。针对几何形态为 Riemann流形的连续介质提出 “几何形态为曲面的有限变形理论”;相关理论适合星体表面大气运动、镀膜过程、生物膜运动、水面上 油污扩散等问题。上述有限变形理论参照经典有限变形理论的基本内容做平行发展,主要包括构形及曲线 坐标系构造;变形梯度定义及其基本性质;变形刻画及输运定理;守恒律控制方程。结合当前力学、航空 宇航科学与技术、生物医学工程等学科的发展趋势,上述二套有限变形理论所适用的研究对象均属热点。 另一方面,我们实现了将一般赋范线性空间上微分学的基本理论对应实现至张量映照,由此使得张量分析 知识体现更具系统性、严格性和现代性。 我们现建设形成的“基于现代张量分析的连续介质力学基础理论”课程体系,主要包括:①《张量分 析与微分几何基础》,②《连续介质力学基础》,③《现代张量分析及其在连续介质中应用》,④《张量分 析与连续介质力学》相关知识体系架构,如图3所示。 相关课程开设情况(2007年9月至2013年12月) 系列课程 课程开设学期(√表示开设 课程代码)秋0春8秋0春秋10春|10秋1春1秋{12春|12秋13春|13秋 数学分析 (一年制) √ 第3页共10页
第 3 页 共 10 页 按我们调研，国外具有一流水平的微积分教学表现为如下特征：① 将微分学由有限维 Euclid 空间延 拓至一般赋范线性空间；② 将积分学由 Riemann 积分延拓至 Jordan 测度、Lebesgue 测度意义下的积 分；③ 将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态延拓至需多个参数化的几何形态，亦即建立微分流 形上的微积分。图 2 显示了较为完整的微积分知识体系架构。需指出，国内现行微积分课程设臵一般为一 年或一年半制（对应于非数学以及数学专业）；非数学专业的微积分教学止于有限维Euclid空间上微积分， 并不能充分满足现代工程科学的要求。由此，我们通过设计系列课程（包括选修课）以完成上述知识体系 的讲述。随着我们对自然及非自然世界认识的深入，按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远意义。 我们现建设形成的“微积分一流化进程”知识体系，主要包括：① 一年制《数学分析》，② 暑期课 程《经典力学数学名著选讲》（有关微积分的深化），③ 《流形上的微积分》。 图 3 基于现代张量分析的连续介质力学基础理论及其实践的知识体系架构 近二年来我们在连续介质力学基础理论研究方面取得一定进展。主要表现为，按连续介质的几何形态 区分为 Euclid 流形（体）和 Riemann 流形（曲面）。针对几何形态为 Euclid 流形的连续介质提出“当 前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”；相关理论适合研究边界可作有限变形运动的流 固耦合问题，如可变形飞行器飞行特性、生物体流动等。针对几何形态为 Riemann 流形的连续介质提出 “几何形态为曲面的有限变形理论”；相关理论适合星体表面大气运动、镀膜过程、生物膜运动、水面上 油污扩散等问题。上述有限变形理论参照经典有限变形理论的基本内容做平行发展，主要包括构形及曲线 坐标系构造；变形梯度定义及其基本性质；变形刻画及输运定理；守恒律控制方程。结合当前力学、航空 宇航科学与技术、生物医学工程等学科的发展趋势，上述二套有限变形理论所适用的研究对象均属热点。 另一方面，我们实现了将一般赋范线性空间上微分学的基本理论对应实现至张量映照，由此使得张量分析 知识体现更具系统性、严格性和现代性。 我们现建设形成的“基于现代张量分析的连续介质力学基础理论”课程体系，主要包括：①《张量分 析与微分几何基础》，②《连续介质力学基础》，③《现代张量分析及其在连续介质中应用》，④《张量分 析与连续介质力学》。相关知识体系架构，如图 3 所示。 相关课程开设情况（2007 年 9 月至 2013 年 12 月） 系列课程 （课程代码） 课程开设学期（√ 表示开设） 07 秋 08 春 08 秋 09 春 09 秋 10 春 10 秋 11 春 11 秋 12 春 12 秋 13 春 13 秋 数 数学分析 （一年制） √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 涡量与涡动力学基础 固体力学基础 涡量空气动力学 弹塑性力学 生物力学基础 基本理论课程 生物力学 血液动力学 流体力学 固体力学
学经典力学数学名 基著选讲(有关微 √ √ √ 积分的深化 流形上的微积分 √√√ 张量分析与微分、√√√√ √ 几何基础 连续介质力学基 学张量分析与连续 /质力学(东华√ √ √ 础现代张量分析及 其在连续介质中 应用(复旦FST) 07秋08春08秋|09春|09秋10春10秋1春1秋12春12秋13春13秋 2010、2011、2012、2013年(8学期),上述课程的实际授课学时 《数学分析》(一年制) 6(学时/周)×17(周/学期)×8(学期)=816学时 《经典力学数学名著选讲》 3(学时/周)×17(周/学期)×4(暑期)=204 《流形上的微积分》 3(学时/周)×17(周/学期)×4(学期)=204 《张量分析与微分几何基础 3(学时/周)×17(周/学期)×4(学期)=204 《连续介质力学基础》 3(学时/周)×17(周/学期)×4(学期)=204学时 《张量分析与连续介质力学》(东华大学)3(学时/周)×17(周/学期)×4(学期)=204学时 《现代张量分析及其在连续介质中应用》54学时(2013年暑期首次开设) 总计:1890学时(8学期);相当于每周14节课,已持续8学期 §32知识体系建设 我们注重数学与力学基础知识体系的研究,注重发展可适合一类问题的思想及方法;此方面成果表现 为“注重阐述思想及方法的教研与科研融合型论文以及学术专著/教程”。我们的实践表明,研究知识体系 的基本思想及方法,藉此发展可适合一类问题的思想及方法,可切实提升课程的广度与深度,切实有益于 学生深入理解和掌握相关思想及方法,而且教与学的效果突岀、特别受到优秀学生的青睐 ◆注重阐述思想及方法的教研与科研融合型论文(现已正式发表5篇杂志论文,3篇会议论文) 1]谢锡麟.“正本遣源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用.《力学季刊》 2012,33(4):544-557.(系统论述)本文提出:(1)以“知识点、知识要素”构建知识体系;提出一 维 Euclid空间、有限维 Euclid空间以及一般赋范线性空间上微分学知识体系的辐射型发展特征。(2) 按张量场可微性理解 Euclid空间中一般曲线坐标系下张量场的梯度以及张量场整体对曲线坐标的偏 导数等。(3)给出了 Stokes公式的一种完全证明形式,将向量场旋度联系与向量场 Jacobi矩阵反称 化后的对偶向量,使得旋度的力学意义更为清晰。本论文主要内容在第五届全国力学史与方法论学术 研讨会(2011年9月大连)做一般会议交流。 2]谢锡麟·基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究·《力学季刊》 2013,34(2):337-351.(系统论述)本文按有限维 Euclid空间上微积分以及一般赋范线性空间上微分 第4页共10页
第 4 页 共 10 页 学 基 础 经典力学数学名 著选讲(有关微 积分的深化) √ √ √ √ √ √ 流形上的微积分 √ √ √ √ 力 学 基 础 张量分析与微分 几何基础 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 连续介质力学基 础 √ √ √ √ √ 张量分析与连续 介质力学(东华 大学) √ √ √ √ √ √ √ 现代张量分析及 其在连续介质中 应用(复旦 FIST) √ 07 秋 08 春 08 秋 09 春 09 秋 10 春 10 秋 11 春 11 秋 12 春 12 秋 13 春 13 秋 2010、2011、2012、2013 年（8 学期），上述课程的实际授课学时： 《数学分析》（一年制） 6（学时/周）× 17（周/学期）× 8（学期）= 816 学时 《经典力学数学名著选讲》 3（学时/周）× 17（周/学期）× 4（暑期）= 204 学时 《流形上的微积分》 3（学时/周）× 17（周/学期）× 4（学期）= 204 学时 《张量分析与微分几何基础》 3（学时/周）× 17（周/学期）× 4（学期）= 204 学时 《连续介质力学基础》 3（学时/周）× 17（周/学期）× 4（学期）= 204 学时 《张量分析与连续介质力学》（东华大学） 3（学时/周）× 17（周/学期）× 4（学期）= 204 学时 《现代张量分析及其在连续介质中应用》 54 学时（2013 年暑期首次开设） ——总计：1890 学时（8 学期）；相当于每周 14 节课，已持续 8 学期。 §3.2 知识体系建设 我们注重数学与力学基础知识体系的研究，注重发展可适合一类问题的思想及方法；此方面成果表现 为“注重阐述思想及方法的教研与科研融合型论文以及学术专著/教程”。我们的实践表明，研究知识体系 的基本思想及方法，藉此发展可适合一类问题的思想及方法，可切实提升课程的广度与深度，切实有益于 学生深入理解和掌握相关思想及方法，而且教与学的效果突出、特别受到优秀学生的青睐。 注重阐述思想及方法的教研与科研融合型论文（现已正式发表 5 篇杂志论文，3 篇会议论文） [1] 谢 锡 麟 . “ 正 本 清 源 ” 在 力 学 之 数 学 及 专 业 基 础 知 识 体 系 建 立 中 的 作 用 . 《 力 学 季 刊 》 2012,33(4):544-557. （系统论述）本文提出：（1）以“知识点、知识要素”构建知识体系；提出一 维 Euclid 空间、有限维 Euclid 空间以及一般赋范线性空间上微分学知识体系的辐射型发展特征。（2） 按张量场可微性理解 Euclid 空间中一般曲线坐标系下张量场的梯度以及张量场整体对曲线坐标的偏 导数等。（3）给出了 Stokes 公式的一种完全证明形式，将向量场旋度联系与向量场 Jacobi 矩阵反称 化后的对偶向量，使得旋度的力学意义更为清晰。本论文主要内容在第五届全国力学史与方法论学术 研讨会（2011 年 9 月 大连）做一般会议交流。 [2] 谢锡麟．基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究.《力学季刊》 2013,34(2):337-351. （系统论述）本文按有限维Euclid空间上微积分以及一般赋范线性空间上微分