2011年全国力学史与方法论学术会议：“正本清源”在力学之数学及专业知识体系建立中的作用

“正本清源”在力学之数学及专业 知识体系建立中的作用 复旦大学力学与工程科学系谢锡麟 xiexilin(@fudan.edu.cn 第五届全国力学史与方法论学术研讨会 大连2011年9月17-18日 (1)力学之数学知识体系&力学知识体系 (2)知识体系的发展特征及其架构认识 (3)教学研究与实践阶段性认识(直至2011年9月)

“正本清源”在力学之数学及专业 知识体系建立中的作用 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 第五届全国力学史与方法论学术研讨会 大连 2011年9月17-18日 （1）力学之 数学知识体系 & 力学知识体系 （2）知识体系的发展特征 及其 架构认识 （3）教学研究与实践阶段性认识（直至 2011年9月）

分分年数 析制学 R上微分学 基ˇ⌒知 础数识 ③学体 Rm上微分学 分系 本微析 硕分 微分学 (R中徽分流形上微分学) 共流 享形②教 的经路 般赋范线性空间上微分学 微典径 积力 分学 数微 a,b]上 Riemann积分 学积 ④名分 的 Rm上 Jordan可测集上 Riemann积分 应选 用讲流 积分学 实⌒化 R"上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 变有进 函关程 (R中微分流形上积分学) 数高 泛微① 函积二 一般集类上测度及积分

数学知识体系 —— 教学路径：“微积分的一流化进程”：①一 年制《数学分析》；②《经典力学数学名著选讲（有关高等微积 分）》；③《微分流形上的微积分》；④《应用实变函数与泛函 分析基础》（本硕共享） 微分学积分学 1上微分学   m m 上 微 分 学 中 微 分 流 形 上 微 分 学 一 般 赋 范 线 性 空 间 上 微 分 学 a,b上Riemann积分 m 上Jordan Riemann 可测集上 积 分 m m 上Lebesgue Lebesgue 测度及 积 分 （ 中 微 分 流 形 上 积 分 学） 一般集类上测度及积分

力学知识体系—教学路径:“基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在实践” ①《张量分析与微分几何基础》;②《连续介质力学基础》(按理性力学观点);③ 《涡量与涡动力学基础》(本硕共享) Euclid空间中的张量分析与微分几何 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 口弹性力学 连续介质力学一般理论 塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 流体力学(涡量与涡动力学) 空气动力学(涡量与涡动力学观点)

力学知识体系 —— 教学路径：“基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在实践” ①《张量分析与微分几何基础》；②《连续介质力学基础》（按理性力学观点）；③ 《涡量与涡动力学基础》（本硕共享） Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 流体力学（涡量与涡动力学） 弹性力学 空气动力学（涡量与涡动力学观点） 塑性力学 生物力学

构成;Ⅲ不同知识点之知识要素可能相同,称为“数学通识,知识点由知识要素 知识体系的“辐射式”发展特征;Ⅱ知识体系的构建:知识点 上述认知过程, 称为“正本清源”。 般赋范线性空间上微积分 風范线性空间之间映照极限R上微积分 般集类测度论 回值映照R上微积分西m测集上积分 函数极限 定积分 近行( 照极限 刻画 分和极限 函数导数 饭函数定理 向量值映照可微性 隱隐映照、逆映定理 赋范线性空间之间映照可微性 范线性空间上隐映<逆映照定理 正本清源、格物致知—以方法论的思想梳理和掌握理论=思想+方法(应用)

Ⅰ 知识体系的“辐射式”发展特征；Ⅱ 知识体系的构建：知识点，知识点由知识要素 构成；Ⅲ 不同知识点之知识要素可能相同，称为 “数学通识” —— 上述认知过程， 称为 “正本清源” 。 “逼近行为” 刻画 点列极限 映照极限 部分和极限 函数极限 函数导数 定积分 反函数定理 向量值映照极限 Jordan可测集上积分 向量值映照可微性 隐映照、逆映照定理 1上微积分 赋范线性空间之间映照极限 m上微积分 一般赋范线性空间上微积分 赋范线性空间之间映照可微性 赋范线性空间上隐映照、逆映照定理 一般集类上测度论 正本清源、格物致知 —— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用）

可形一向量值映照f(x):R”393XHf(x)∈R 式贺|可微性定义(+0=(0+0处(=() 性而体 映贯引入R上范数:1l=:5 照微辐 近性射 (x+)=/()+D(+()R,此处:D(4)-()∈R xiN 似的发 实展 且质 张量场Φ(x):R二93x中(x)V;(x)818g8(x)∈T(R") 误为事 爹电例可微性(+)0(((处((gr(g) 的自导/”A(R")上范数:8n3)图m1h 无数 穷 a(x+h)=(x)+v, a(x)808'8g(x).h+o(hRET(R) 小 变 是映 dg 而思 此处:(x) ()(h)=[Vc;(x)g,g88g(x)][hs,(x)=(中V)(x),H 可泛函C"(2)3f(x)1→F小L(x(x,V(x)dr∈R 起微 的性可微性F(+b)=F()+()则0+1a,此处()eL(c(),R 因的 箕体基于:dF(0(h)=DF()lm(+2)=F( R 变表 df 现 →临界点吧四E方程:(x1(x)V()(x(y()=0

Ⅰ 知 识 体 系 辐 射 发 展 事 例 ： “ 导 数 ” 是 映 照 可 微 性 的 具 体 表 现 形 式 ； 而 可 微 性 的 实 质 为 由 于 自 变 量 变 化 而 引 起 的 因 变 量 变 化 可 由 线 性 映 照 近 似 ， 且 误 差 为 一 阶 无 穷 小 量 。                                : , , m , m m m m n n m i n m m n df x L dx f Df x h Df x x x f x x f x df f x h f x x h o h dx f x h f x o h                                 可微性定义 ，此处 引入 上范数: 向量值映照 此处：                                                  3 3 3 3 3 : + , m m m m m m m m i k j m i k j m l j i k m T l m l j i k i k j l q l j i k q d x L T dx x g g g x h d x h x g g g g x x x x g g g x T d x h x x h o h dx T x h x o x h d h T g x x                                                      张 可微性 ，此处 引入 上范数: ： 量 此处 场   =     x H                                                  0 , , Lagrange-Euler , lim , , , , 0 p p h p C dF f L C df dF F f h F f f h D C f x F f L x f x f x d dF F f F f df d L L x f x f x x f x f x dx f h F f f h o f h df                                       可微性 ，此处 基于: 临界点 方程： 泛函