复旦大学本科生优秀毕业论文：数值研究边界可作有限变形运动的二维流动.pdf

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(201 数值研究边界可作有限变形运动的二维流动力学与工程科学系陈瑜指导教师谢锡麟摘要:本文致力于数值研究边界可做有限变形运动的二维流动。理论上,根据映照的观点,基于显含时间的微分同胚将一般连续介质力学理论中当前物理构型对应的曲线坐标系推广至显含时间情形,籍此规则并固定参数构型,基于张量分析直接获得定义于参数构型的控制方程以及在局部基下的分量形式。方法上,通过构造显含时间的微分同胚实现了壁面可作有限变形运动的二维不可压缩流动的涡一流函数解法,及相关物理量的表示和求解方法、边界条件的处理、差分离散求解的方法等。同时,开发了数值模拟壁面可作有限变形运动的二维管道流动和表面可作有限变形运动的钝体绕流的系列计算程序。并通过对不同几何形状参数、运动参数等不同算例,初探了边界的限变形运动对流场的影响。关键词:边界的有限变形运动二维数值研究 Abstract: This paper focus on 2D numeral research on flow with boundary of finite deformable motion. According to the view of mapping, we use differential homeomorphism include time variable to transform real flow region to regular and steady parameter configuration. And generalize the theory of finite deformation to the case of using time based curvilinear coordinate Then obtain governmental equations on parameter configuration under theory of tensor analysis Based on these theoretical deduction, we develop the vorticity-stream function method under time based curvilinear coordinates for numeral solution of 2D unsteady flow, which include the governmental equation, boundary condition and finite differential format. We also develop the computational program for 2D pipe flow and flow around blunt body. And give some numeral examples of different cases, preliminary study the effect of finite deformable boundary motion Keywords: Finite Deformable Boundary Motion; 2D Numeral Research 引言(前言绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流场中的主导旋涡结构及其空间演化特性,从而大幅地改变绕流体的气动或水动性能,甚至边界变形运动同流场的相互作用可直接提供动力等。这方面自然界鱼儿游动与鸟儿飞翔给了我们启示。对此方面机制的研究与掌握对现代航空航海业具有极其重要的意义, 当前数值研究处理边界可作有限变形运动,主要可应用现有的差分方法以及有限体积法等。总体而言,当前数值分析对可变形运动边界的处理多借鉴于适用

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2011） 1 数值研究边界可作有限变形运动的二维流动力学与工程科学系陈瑜指导教师谢锡麟摘要：本文致力于数值研究边界可做有限变形运动的二维流动。理论上，根据映照的观点，基于显含时间的微分同胚将一般连续介质力学理论中当前物理构型对应的曲线坐标系推广至显含时间情形，籍此规则并固定参数构型，基于张量分析直接获得定义于参数构型的控制方程以及在局部基下的分量形式。方法上，通过构造显含时间的微分同胚实现了壁面可作有限变形运动的二维不可压缩流动的涡－流函数解法，及相关物理量的表示和求解方法、边界条件的处理、差分离散求解的方法等。同时，开发了数值模拟壁面可作有限变形运动的二维管道流动和表面可作有限变形运动的钝体绕流的系列计算程序。并通过对不同几何形状参数、运动参数等不同算例，初探了边界的限变形运动对流场的影响。关键词：边界的有限变形运动二维数值研究。 Abstract: This paper focus on 2D numeral research on flow with boundary of finite deformable motion. According to the view of mapping, we use differential homeomorphism include time variable to transform real flow region to regular and steady parameter configuration. And generalize the theory of finite deformation to the case of using time based curvilinear coordinates. Then obtain governmental equations on parameter configuration under theory of tensor analysis. Based on these theoretical deduction, we develop the vorticity-stream function method under time based curvilinear coordinates for numeral solution of 2D unsteady flow, which include the governmental equation, boundary condition and finite differential format. We also develop the computational program for 2D pipe flow and flow around blunt body. And give some numeral examples of different cases, preliminary study the effect of finite deformable boundary motion. Keywords: Finite Deformable Boundary Motion; 2D Numeral Research 引言（前言）绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流场中的主导旋涡结构及其空间演化特性，从而大幅地改变绕流体的气动或水动性能，甚至边界变形运动同流场的相互作用可直接提供动力等。这方面自然界鱼儿游动与鸟儿飞翔给了我们启示。对此方面机制的研究与掌握对现代航空航海业具有极其重要的意义。当前数值研究处理边界可作有限变形运动，主要可应用现有的差分方法以及有限体积法等。总体而言，当前数值分析对可变形运动边界的处理多借鉴于适用

复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2011) 刚性运动边界的方法;对于贴体网格的使用,多为基于笛卡儿坐标系下的方程, 然后利用曲线坐标系将笛卡儿分量相对于笛卡儿坐标的偏导数转变至对曲线坐标的偏导数。现业内对二维流场的研究相对较多。 1本文研究思想和内容本文应用映照的观点,即基于显含时间的微分同胚将形态不规则且随时间变化的实际流动区域变换至形态规则且固定的参数区域,将一般连续介质力学理论中当前物理构型对应的曲线坐标系推广至显含时间情形,籍此规则并固定参数构型,进一步基于一般曲线坐标系上的张量场分析,可直接获得定义在参数区域上的偏微分方程及其分量形式。计算域形态随时间始终保持方体而边界条件可随时间变化,由此简化差分格式等构造上的复杂性。在壁面上,物理量由于相对于反映曲面几何性质的局部基展开,往往便于边界条件的处理。由此,可实现壁面可作有限变形运动的二维不可压缩流动的涡一流函数解法。对壁面可作有限变形运动的二维管道流动和表面可作有限变形运动的钝体绕流不同算例的研究,可验证上述理论研究以及数值求解方法的可行性。并通过对不同几何形状参数、运动参数等不同工况以及与边界静止情况的比较研究,考察边界可作有限变形运动下对流场的影响 2当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论我们将按映照观点处理边界的有限变形运动。然而,一般连续介质力学方面的教程或专著,当前物理构型对应的曲线坐标系都不显含时间,故本章主要研究当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论。世界坐标系下的速度的表达 aX v=X2(x(s, t),t)=-(x, t)+xgi(x, t) 世界坐标系下的张量场的物质导数: a aΦ aX φ一(,t)=-(x(,t),t)= at(xt)+(vD人卩@中变形梯度张量的性质: F|=|F,F=(凶V)·F,F-=-F-·(vV 物质体上的输运定理 d a中d=a)Fd=(中F+中i)dt=(中+6 涡量控制方程:定义ω仝卩×v,U全υ·F,2VXU由F·V×(u·F)=|F×v, 可推导得当前物理构形对应曲线坐标系显含时间情形的连续介质理论框架下所

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2011） 2 刚性运动边界的方法；对于贴体网格的使用，多为基于笛卡儿坐标系下的方程，然后利用曲线坐标系将笛卡儿分量相对于笛卡儿坐标的偏导数转变至对曲线坐标的偏导数。现业内对二维流场的研究相对较多。 1 本文研究思想和内容本文应用映照的观点，即基于显含时间的微分同胚将形态不规则且随时间变化的实际流动区域变换至形态规则且固定的参数区域，将一般连续介质力学理论中当前物理构型对应的曲线坐标系推广至显含时间情形，籍此规则并固定参数构型，进一步基于一般曲线坐标系上的张量场分析，可直接获得定义在参数区域上的偏微分方程及其分量形式。计算域形态随时间始终保持方体而边界条件可随时间变化，由此简化差分格式等构造上的复杂性。在壁面上，物理量由于相对于反映曲面几何性质的局部基展开，往往便于边界条件的处理。由此，可实现壁面可作有限变形运动的二维不可压缩流动的涡－流函数解法。对壁面可作有限变形运动的二维管道流动和表面可作有限变形运动的钝体绕流不同算例的研究，可验证上述理论研究以及数值求解方法的可行性。并通过对不同几何形状参数、运动参数等不同工况以及与边界静止情况的比较研究，考察边界可作有限变形运动下对流场的影响。 2 当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论我们将按映照观点处理边界的有限变形运动。然而，一般连续介质力学方面的教程或专著，当前物理构型对应的曲线坐标系都不显含时间，故本章主要研究当前物理构型对应的曲线坐标系显含时间情形的有限变形理论。世界坐标系下的速度的表达： ≜ ̇ܺ = ݒ ߲ܺ ݐ߲ = (ݐ,(ݐ,ߦ)ݔ) ߲ܺ ݐ߲ ݔ + (ݐ,ݔ) . ௜݃௜ (ݐ,ݔ) 世界坐标系下的张量场的物质导数： ≜ ̇ߔ ߔ߲ ݐ߲ = (ݐ,ߦ) ߔ߲ ݐ߲ = (ݐ,(ݐ,ߦ)ݔ) ߔ߲ ݐ߲ − ݒ൬) + ݐ,ݔ) ߲ܺ ߔ ⊗ ߘ ⋅ ൰ ݐ߲ 变形梯度张量的性质： |ܨ| ܨ− = ̇ିܨ ,ܨ ⋅ (ߘ ⊗ ݒ) = ̇ܨ ,|ܨ|ߠ = ̇ (ߘ ⊗ ݒ) ⋅ ି 物质体上的输运定理： ݀ ߬݀ߔ න ݐ݀ ௥೟ = ݀ ߬݀|ܨ|ߔ න ݐ݀ ௥బ |ܨ|ߔ + |ܨ|̇ߔ൫ න= ̇ ൯݀߬ ௥బ = න ൫ߔ + ̇ߔߠ൯݀߬ ௥೟ ߘ ≜ ߗ,ܨ ⋅ ݒ ≜ ܷ ,ݒ × ߘ ≜ ߱定义：涡量控制方程 ௢ ߘ ⋅ ܨ由× ܷ, ௢ ,ݒ × ߘ|ܨ| = (ܨ ⋅ ݒ) × 可推导得当前物理构形对应曲线坐标系显含时间情形的连续介质理论框架下所

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2011） 3 考。是加速度场̇ݒ = ̇ܽ这里 × ܽ,ߘ + ߱ߠ − (ݒ ⊗ ߘ) ⋅ ߱ = ̇߱:推得涡量控制方程为虑不可压缩、体积力有势，并展开第一项，有： ∂ω − ݒ൬ + ݐ߲ ߲ܺ ݐ߲ + ߱ ⋅ (∇ ⊗ ݒ) = ߱ ⊗ ∇ ⋅ ൰)ݐ,ݔ) 1 ܴ݁ Δ߱ 对于平面问题：߱ଵ = 0, ߱ଶ = 0, ݒ ଷ = 0, ߁௝௜ ଷ = 0，故代入后有分量形式： ߲߱ଷ ݒ + ݐ߲ ௜ ߲߱ଷ ݔ߲ ௜ − ൬ ߲ܺ ൰ ݐ߲ ௜ ߲߱ଷ ݔ߲ = ଷ߱߂ = ௜ 1 ܴ݁ ቆ݃ ௞௜ ߲ ଶ߱ଷ ݔ߲ ݔ߲௜ ௞ − ݃ ௝௜߁௝௜ ௞ ߲߱ଷ ݔ߲ ௞ ቇ ,߮߂ − (߮ ⋅ ߘ)ߘ = ݒ × ߘ = ߱ ,0 = ݒ ⋅ ߘ:则 × ߮，ߘ = ݒ:设：关于流函数的说明对于二维问题：߱ଷ = −߂߮ଷ，令：߰ = ߮ଷ，即有：ߘ߱− = ߰ଷ，由此即有二位问题的流函数所满足的方程： ݃ ௜௝ ቈ ߲ ଶ߰ ݔ߲ ݔ߲௜ ௝ − Γ௜௝ ௞ ߲߰ ݔ߲ ௞ ቉ = −߱ଷ 3 数值求解方法 3．1 微分同胚构造对于平面区域构造显含时间 t 的微分同胚 ݔ)ߛ = (ݐ,ݔ)ܺ ଵ ݔ + ߮ቀ) + ݐ, ଶ ݔ)߶൫ ଵ ݔ)߮ − (ݐ, ଵ ݔ)݊ ⋅ ൯ቁ)ݐ, ଵ (ݐ, 由此，将物理空间上的流动区域ܦ௑ భ௑ ݔ)ߛమ映照为关于基线 ଵ ݔ中的参数)ݐ, ଵ， ݔ以及沿法线方向的相对位置 ଶ的参数区域ܦ௫ భ௫ మ。 3．2 控制方程的离散方法综合上述推导，所需求解的方程组为(1)(2)。对于涡量控制方程采用二次近似格式。此格式的计算分二步：第一步以步长Δ t 显式推进一步，求出第 n+1 时间层上的第一次近似值，方程右端偏导数采用中心差，如计算域不等距，可采用项用三点或五点 Lagrange 插值求得。第二步由上述算出的第一步值作为 n 时间层上的近似值，对方程从 n 层到 n+1 层推进一步，得到第 n+1 时间层上的第二次近似值，最后取二者算术平均值作为本次推进的值。对于流函数 Possion 方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解，取超松弛因子为 1.72。 3．3 壁面流函数边界条件处理 ߛ以 ఝ 边界为例，又流函数的定义，可推得壁面流函数边界条件为： ߰|(ఉ,଴) − ߰|(ఈ,଴) = න (ݒ ఝ ழଵவ ఉ ఈ ݒ߲ ఝ ழଶவ ݔ߲ ݒ − ଵ ఝ ழଶவ ݒ߲ ఝ ழଵவ ݔ߲ ଵ ݔ)( ଵ ݔ݀(ݐ, ଵ 由此，再通过数值积分即可求得壁面流函数的取值。 3．4 壁面涡量边界条件处理

复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2011） 4 由无限小增量公式，以及速度表示和涡量控制方程，可推得二阶精度的壁面涡量条件为： ߱௪ = ݃ ଵଵ డ డ௫ భ ൫ඥ݃ݒ௪ ଶ ൯ − 2݃ ଵଶ డ డ௫ భ ൫ඥ݃ݒ௪ ଵ ൯ + ݃ ଶଶ ଶ ௞ మ ݔ)߰ൣ ଵ ௪ݔ , ଶ ) + ඥ݃ݒ௪ ଵ ݇ − ݔ)߰ ଵ ௪ݔ , ଶ + ݇)൧ − (݃ ଵଵ߁ଵଵ ଵ + ݃ ଶଶ߁ଶଶ ଵ + 2݃ ଵଶ߁ଵଶ ଵ )ඥ݃ݒ௪ ଶ + (݃ ଵଵ߁ଵଵ ଶ + ݃ ଶଶ߁ଶଶ ଶ + 2݃ ଵଶ߁ଵଶ ଶ )ඥ݃ݒ௪ ଵ 3．5 压力解的处理在物理构形参数域显含时间的情形下，有：∇݌− ܽ− = ଵ ோ௘ ∇ × ߱ ∴ ݃ ୩ : డ௣ డ௫ ೖ = −ܽ ௝݃௝௞ − ଵ ோ௘ ߳ ௟௜௝݃௞௝∇௟߱௜ 。其中： ܽ ௜ = డ௩ ೔ డ௧ + ൬ݒ ௞ − ቀ డ௑ డ௧ቁ ௞ ൰ ቀ డ డ௫ ೖ ݒ ௜ + Γ௞௦ ݒ ௜ ௦ቁ , ቀ డ௑ డ௧ቁ ௞ = ݃ ௞௜ డ௑ ೕ డ௧ డ௑ ೕ డ௫ ೔ 。对： ப୴ ப୲ + v ⋅ ∇ ⊗ v − பଡ଼ ப୲ (x,t)∇ ⊗ v = −∇p + ଵ ୖୣ Δv + fத两边求散度，可得压力控制方程为：−Δ݌ ⊗ ∇) = ݒ) :(ݒ − (∇ ⊗ ቀ∇ ⊗ డ௑ (∇ ⊗ ݒ) : డ௧ቁ 3．6 壁面切应力 ߬௡ఛ = ߤ ቆ݊ ௝ ߬௜ ቆ ݒ߲ ௜ ݔ߲ ௝ + Γ௝௦ ݒ ௜ ௦ቇ + ݊ ௞݃௝௞߬ ௜ ቆ ݒ߲ ௝ ݔ߲ ௜ + Γ௜௦ ௝ ݒ ௦ቇቇ 3．7 方法验证本文涉及几何量如度量张量分量，Christoffel 符号由 5 点 Lagrange 插值并对比解析式确定值，相对误差在整个区域保持在 1e-6 以内，以此可考察微分同胚的选取和计算域网格的划分是否适当。通过对环形域上 Possion 方程相应边值问题映照后在曲线坐标系下迭代求解，并与解析给出特解对比，相对误差在 1e-4 以内。另外，针对计算结果，利用经典问题进行检验，如下文绕流问题中选取参数使得为特殊情形：静止圆柱绕流 Re 数 120 下，所得 Strouhal 数为 0.16，并将流态与实验结果相比较，验证计算结果的合理性。 4 壁面可作有限变形运动的二维管道流动 4．1 问题描述本章叙述壁面可作有限变形运动的二维管道流动的具体算例，构造的微分同胚、控制方程及其差分方法见第 3 节中分析。进口边界条件根据平面定常 Poiseuille 流动解析解对应的速度剖面分布确定流函数取值。流函数出口边界条件：߰௢௨௧௘௥(ݔ ଵ ݔ , ଶ )通过内插给出。壁面流函数边界条件参见 3.3 分析处理。涡量进出口边界条件：߱ = 0(进口条件)， డఠ డ௫ మ (出口条件)。壁面涡量边界条件参见 3.4