识要素建立其架构;并研究知识体系的发展特征。藉此,我们追求对某一知识体系的“融会 贯通”。②隶属于不同知识体系的知识点,其所属的知识要素可能是一致的;我们将此称为“数 学通识”。藉此,我们追求不同知识体系间的“触类旁通 对某一知识体系而言,其知识点及其知识要素可能会有不同的组织架构。然而,我们在 教学研究与实践中需要追求脉络清晰,反映本质的组织架构,有助对知识体系的深入理解和 掌握。对于某一知识点,其知识要素的组成也可有不同的归纳,甚至对于同一结论我们可以 设计不同的论证方法。由此,我们需尽量追求能反映自然机制的数学分析过程及表述形式, 探求自然机制同数学机制(数学通识)之间的关系。 对年青学者而言,对上述较高认知程度的追求,持续性地研读具有一流化水平的教程或 专著,并且将学习、研究与教学互为融合、互为促进,应该为一条有效的途径 值得指出,当教学追求一流化水平时,教学可以高度学术化! 参考文献 张筑生编著.《数学分析新讲》(第一、二、三册).北京大学出版社,1999 2. VA Zorich. Mathematical Analysis(ol.1,2) Springer- Verlag Berlin Heidelberg,2004.(有中译本,俄罗斯数学教材选译之 3.陈天权编著.《数学分析讲义》(第一、二、三册).北京大学出版社,2009 4.陈纪修等《数学分析》(第一、二册).复旦大学出版社 5.(俄)阿黑波夫,(俄)萨多夫尼奇,(俄)丘巴里阔夫著.王昆杨译.《数学分析讲义》,高等教育出版社,2006.俄罗斯数学教 材选译之 6.(美)卢米斯,(美)斯腾博格著.王元,胥鸣伟译.《高等微积分》,高等教育出版社,2005 7.谢锡麟.面对力学专业有关微积分教学的若干体会.第五届全国力学课程报告论坛(2010年11月,四川成都)交流,入 选《力学课程报告论坛论文集2010》 8.郭仲衡著.《张量(理论和应用)》,科学出版社,1988 9.郭仲衡著.《非线性弹性理论》,科学出版社,1980 10.(俄)谢多夫著.李植译.《连续介质力学》(第一、二卷),高等教育出版社,2007.俄罗斯数学教材选译之 11.黄筑平.《连续介质力学基础》.高等教育出版社,2003 12.谢锡麟.基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践.第五届全国力学课程报告论坛(2010年11 月,四川成都)交流,入选《力学课程报告论坛论文集2010》 13. V 1.Arnold. On teaching mathematics. This is an extended text of the address at the discussion on teaching of mathematicsinpAlaisdedecouverteinParison7marCh1997.http://pauli.uni-muenster.de/-munsteg/arnold.html 14.(俄)阿诺尔德著.齐民友译《经典力学的数学方法》,高等教育出版社,2006.俄罗斯数学教材选译之 19页共20页
第 19 页 共 20 页 识要素建立其架构；并研究知识体系的发展特征。藉此，我们追求对某一知识体系的“融会 贯通”。②隶属于不同知识体系的知识点，其所属的知识要素可能是一致的；我们将此称为“数 学通识”。藉此，我们追求不同知识体系间的“触类旁通”。 对某一知识体系而言，其知识点及其知识要素可能会有不同的组织架构。然而，我们在 教学研究与实践中需要追求脉络清晰，反映本质的组织架构，有助对知识体系的深入理解和 掌握。对于某一知识点，其知识要素的组成也可有不同的归纳，甚至对于同一结论我们可以 设计不同的论证方法。由此，我们需尽量追求能反映自然机制的数学分析过程及表述形式， 探求自然机制同数学机制（数学通识）之间的关系。 对年青学者而言，对上述较高认知程度的追求，持续性地研读具有一流化水平的教程或 专著，并且将学习、研究与教学互为融合、互为促进，应该为一条有效的途径。 值得指出，当教学追求一流化水平时，教学可以高度学术化！ 参考文献 1. 张筑生 编著. 《数学分析新讲》（第一、二、三册）. 北京大学出版社，1999. 2. V.A.Zorich. Mathematical Analysis (Vol.1, 2). Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004.（有中译本，俄罗斯数学教材选译之 一） 3. 陈天权 编著. 《数学分析讲义》（第一、二、三册）. 北京大学出版社，2009. 4. 陈纪修等 《数学分析》（第一、二册）.复旦大学出版社. 5. (俄)阿黑波夫, (俄)萨多夫尼奇, (俄)丘巴里阔夫著. 王昆杨译. 《数学分析讲义》, 高等教育出版社, 2006. 俄罗斯数学教 材选译之一. 6. (美)卢米斯, (美)斯腾博格著. 王元, 胥鸣伟译. 《高等微积分》, 高等教育出版社, 2005. 7. 谢锡麟. 面对力学专业有关微积分教学的若干体会. 第五届全国力学课程报告论坛 (2010 年 11 月, 四川成都) 交流, 入 选《力学课程报告论坛论文集 2010》. 8. 郭仲衡著. 《张量（理论和应用）》, 科学出版社, 1988. 9. 郭仲衡著. 《非线性弹性理论》, 科学出版社, 1980. 10. (俄)谢多夫著. 李植译. 《连续介质力学》（第一、二卷）, 高等教育出版社, 2007. 俄罗斯数学教材选译之一。 11. 黄筑平. 《连续介质力学基础》. 高等教育出版社，2003. 12. 谢锡麟. 基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践. 第五届全国力学课程报告论坛 (2010 年 11 月, 四川成都) 交流, 入选《力学课程报告论坛论文集 2010》. 13. V.I.Arnold. On teaching mathematics. This is an extended text of the address at the discussion on teaching of mathematics in Palais de Découverte in Paris on 7 March 1997. http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html 14. (俄)阿诺尔德著. 齐民友译. 《经典力学的数学方法》, 高等教育出版社, 2006. 俄罗斯数学教材选译之一
15.朱照宣,周起钊,殷金生编.《理论力学》(下册),北京大学出版社,1997 16.(俄)米先柯,(俄)福明柯著.张爱和译.《微分几何与拓扑学简明教程》,高等教育出版社,2006.俄罗斯数学教材选译之 17. B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P.Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications( VoL 1, 2, 3). Springer-Verlag New York,1985.(有中译本,俄罗斯数学教材选译之一) 20页共20页
第 20 页 共 20 页 15. 朱照宣, 周起钊, 殷金生编. 《理论力学》(下册), 北京大学出版社, 1997. 16. (俄)米先柯, (俄)福明柯著. 张爱和译. 《微分几何与拓扑学简明教程》, 高等教育出版社, 2006. 俄罗斯数学教材选译之 一. 17. B.A.Dubrovin, A.T.Fomenko, S.P.Novikov. Modern Geometry—Methods and Applications (Vol.1, 2, 3). Springer-Verlag New York, 1985.（有中译本，俄罗斯数学教材选译之一）
高等数学开放性实验初步设想 理论类课程理论联系实际的实践方式之· 基本理念 理论联系实际是我们认识自然及非自然世界的基本的方法论指引。 2.世界顶级数理学家V.I. Arnold在其《论数学教学》中开门见山地指出“数学是物理的 部分;物理是实验科学,是自然科学的一部分;数学是物理中做实验比较便宜的那部分”。 此处的物理应理解为包括力学等的广泛的物理范畴。借鉴于V.I. Arnold有关数学同自然 间的关系,我们将认识自然及非自然世界的方法归纳为三种:①“真实实验”;②“数值 实验”;③“数学实验”。前二者在力学、物理等学科上已为共识。数学实验,基于数学建 模及相关逻辑过程;她可能在某些情形下可以直接确定籍此类实验获得的结论必为真理 (确定性结论),而有些情形所得结论〔非确定性结论)需基于实践的检验 数学实验的主要类别(对具体某项实验可能涉及若干方面) ①通过真实实验或者数值实验验证数学实验的确定性结论 ②通过真实实验或者数值实验检验数学实验的非确定性结论或者探究数学实验未能涉及的 对象 ③将面对简单情形的数学实验之思想及方法延拓至复杂情形的研究,并通过数值实验或者真 实实验获得相关认识 ④激发“奇思妙想”,尽量基于简单的真实实验验证或检验数学实验或数值实验所预测的结 论,并注重发现新现象 ⑥通过数值实验或者真实实验将数学实验中的抽象对象(事务或者过程)具体化,以期深化 对抽象对象的认识 ⑥基于真实实验或者数值实验研究数学实验的定性结论。定性结论是数学硏究成果的重要形 式,然而我们往往知道“存在”,而不知具体的“行为”;由此我们可采用其他实验形式加 以研究 注:以下附若干数学实验研究事例;均隶属微积分方面的数学实验 此处高等数学泛指大学阶段的各门数学课程,也包括相关数值方法等 第1页共13页
第 1 页 共 13 页 高等数学* 开放性实验 初步设想 —— 理论类课程理论联系实际的实践方式之一 基本理念 1. 理论联系实际是我们认识自然及非自然世界的基本的方法论指引。 2. 世界顶级数理学家 V.I.Arnold 在其《论数学教学》中开门见山地指出“数学是物理的一 部分；物理是实验科学，是自然科学的一部分；数学是物理中做实验比较便宜的那部分”。 此处的物理应理解为包括力学等的广泛的物理范畴。借鉴于 V.I.Arnold 有关数学同自然 间的关系，我们将认识自然及非自然世界的方法归纳为三种：①“真实实验”；②“数值 实验”；③“数学实验”。前二者在力学、物理等学科上已为共识。数学实验，基于数学建 模及相关逻辑过程；她可能在某些情形下可以直接确定籍此类实验获得的结论必为真理 （确定性结论），而有些情形所得结论（非确定性结论）需基于实践的检验。 数学实验的主要类别（对具体某项实验可能涉及若干方面） ① 通过真实实验或者数值实验验证数学实验的确定性结论。 ② 通过真实实验或者数值实验检验数学实验的非确定性结论或者探究数学实验未能涉及的 对象。 ③ 将面对简单情形的数学实验之思想及方法延拓至复杂情形的研究，并通过数值实验或者真 实实验获得相关认识。 ④ 激发“奇思妙想”，尽量基于简单的真实实验验证或检验数学实验或数值实验所预测的结 论，并注重发现新现象。 ⑤ 通过数值实验或者真实实验将数学实验中的抽象对象（事务或者过程）具体化，以期深化 对抽象对象的认识。 ⑥ 基于真实实验或者数值实验研究数学实验的定性结论。定性结论是数学研究成果的重要形 式，然而我们往往知道“存在”，而不知具体的“行为”；由此我们可采用其他实验形式加 以研究。 注：以下附若干数学实验研究事例；均隶属微积分方面的数学实验。 * 此处高等数学泛指大学阶段的各门数学课程，也包括相关数值方法等
数学实验研究事例 实验名称转轨设计 实验类别|通过真实实验验证数学实验的确定性结论,探究数学实验未能涉及的对象 研究团队 指导教师 ()全kx( T(t (x(),y 对于平面运动,我们可以构建自然基,如上图所示。基于一维 Euclid空间 研究背景 上微分学,可得切向加速度、法向加速度的表示 d (x菜+户()=2yF2+2() (jx-x:j)() g+2(()()(FO)2a()≠0 (x()5()k()F()as()≠0 此处k()会 ()为曲率 将上述理论应用于变轨设计 第2页共13页
第 2 页 共 13 页 数学实验研究事例 实验名称 转轨设计 实验类别 通过真实实验验证数学实验的确定性结论，探究数学实验未能涉及的对象 研究团队 指导教师 研究背景 x y o t xt yt , t t nt k t Trajectory 对于平面运动，我们可以构建自然基，如上图所示。基于一维 Euclid 空间 上微分学，可得切向加速度、法向加速度的表示： 2 2 2 2 1 d a t xx yy t x y t x y dt 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sgn 0 sgn 0 n a t yx xy t x y d y x t x t t v t as x t dx d x x t y t t v t as y t dy 此处 3 2 2 2 1 yx xy t t t x y 为曲率。 将上述理论应用于变轨设计：
O 如上图所示的变轨,可有如下设计方案 1R-√R-xar>,系/(0-0)=0 asx≤0 方案1:f(x) an(0+0)= F(0 按理论,车辆运动至o点将“感受跳跃”。 方案2:f(x) 0asx≤0 有:当p>2时 (0-0)=0 IS x>0 an(0+0)=0 按理论,车辆运动至O点将“连续过渡” 按平面运动在自然基下的表示,我们认识到 1.变轨设计应遵循曲率连续的原则,对应轨迹的二阶导数连续。然而,我们肉 眼可以“察觉”连续性(图像无间断),一阶导数连续性(切线连续变化), 但对二阶导数连续性似乎“无能为力”;我们也无法“察觉”幂函数A·x对 应p≤2和p>2的区别。 2.轨迹中如有点其二阶导数不存在,则平面运动在自然基下的表示就不成立 (对于典则基也是如此)。由此,转轨设计中,按方案1,我们理论上无法 “预测”在O点将发生什么,车辆所受弹力将会是多少等? 基于真实实验 1.验证上述方案1和方案2的理论结论。体会幂函数λ·x对应p≤2和p>2的 实验目标 区别 (内容) 2.认识二阶导数不存在情形的运动情况 第3页共13页
第 3 页 共 13 页 x y o n n 如上图所示的变轨，可有如下设计方案： 方案 1： 2 2 0 0 0 as x f x R R x as x ，有： 2 00 0 0 0 0 n n a v a R ， 按理论，车辆运动至o 点将“感受跳跃”。 方案 2： 0 0 0 p as x f x x as x ，有：当 p 2 时， 00 0 00 0 n n a a ， 按理论，车辆运动至o 点将“连续过渡”。 按平面运动在自然基下的表示，我们认识到： 1. 变轨设计应遵循曲率连续的原则，对应轨迹的二阶导数连续。然而，我们肉 眼可以“察觉”连续性（图像无间断），一阶导数连续性（切线连续变化）， 但对二阶导数连续性似乎“无能为力”；我们也无法“察觉”幂函数 p x 对 应 p 2和 p 2 的区别。 2. 轨迹中如有点其二阶导数不存在，则平面运动在自然基下的表示就不成立 （对于典则基也是如此）。由此，转轨设计中，按方案 1，我们理论上无法 “预测”在o 点将发生什么，车辆所受弹力将会是多少等？ 实验目标 （内容） 基于真实实验 1．验证上述方案 1 和方案 2 的理论结论。体会幂函数 p x 对应 p 2和 p 2 的 区别。 2．认识二阶导数不存在情形的运动情况