教学研究与实践阶段性总结 教学路径:微积分的一流化进程 教学路径:基于现代张量分析与微分几何的连续介质力学理 论及其在流体力学中的实践 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2011年11月整理
教学研究与实践 阶段性总结 教学路径： 微积分的一流化进程 教学路径： 基于现代张量分析与微分几何的连续介质力学理 论及其在流体力学中的实践 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2011年11月 整理
汇编内容 教学论文:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 谢锡麟,2011年10月稿 教改探索:高等数学开放性实验初步设想 教案设计:无限小增量公式的基本理论与应用理论 教案设计:平面运动方程及其应用 教案设计:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 教案设计:闭区间上 Riemann积分的应用理论 教案设计:有限维 Euc l id空间中隐映照定理的应用 教学大纲:《数学分析(Ⅰ)》(一年制)(2011年8月更新 教学大纲:《数学分析(Ⅱ)》(一年制)(2011年8月更新) 教学大纲:《经典力学数学名著选讲(有关高等微积分)》(2011年8月更新) 教学大纲:《张量分析与微分几何基础》(2011年8月更新) 试卷及分析:2010-2011学年第一学期《数学分析(Ⅰ)》 试卷及分析:2010-2011学年第二学期《数学分析(Ⅱ)》 试卷 2011年暑期《经典力学数学名著选讲(有关高等微积分)》 试卷及分析:2010-2011学年第一学期《张量分析与微分几何基础》 试卷及分析:2009-2010学年第一学期《连续介质力学基础》 试卷 2009-2010学年第二学期《涡量与涡动力学基础》 试卷 2010-2011学年第二学期《涡量与涡动力学基础》
汇 编 内 容 教学论文：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用， 谢锡麟，2011 年 10 月稿 教改探索： 高等数学开放性实验 初步设想 教案设计： 无限小增量公式的基本理论与应用理论 教案设计： 平面运动方程及其应用 教案设计： 闭区间上Riemann积分的实际来源及数学定义 教案设计： 闭区间上Riemann积分的应用理论 教案设计： 有限维Euclid空间中隐映照定理的应用 教学大纲：《数学分析（Ⅰ）》（一年制）（2011年8月更新） 教学大纲：《数学分析（Ⅱ）》（一年制）（2011年8月更新） 教学大纲：《经典力学数学名著选讲（有关高等微积分）》（2011年8月更新） 教学大纲：《张量分析与微分几何基础》（2011年8月更新） 试卷及分析：2010－2011学年第一学期《数学分析（Ⅰ）》 试卷及分析：2010－2011学年第二学期《数学分析（Ⅱ）》 试卷： 2011年暑期《经典力学数学名著选讲（有关高等微积分）》 试卷及分析：2010－2011学年第一学期《张量分析与微分几何基础》 试卷及分析：2009－2010学年第一学期《连续介质力学基础》 试卷： 2009－2010学年第二学期《涡量与涡动力学基础》 试卷： 2010－2011 学年第二学期《涡量与涡动力学基础》
“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系 建立中的作用 谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系,上海200433 摘要:本文将力学之数学及专业基础知识体系分别归结为微积分和现代张量分析以及基于其 上的连续介质力学;借鉴具有一流水平的国内外教程或专著,给出了上述基础知识体系的基 本构成。提出以知识点以及知识要素组织知识体系,并分析了微积分知识体系的辐射性发展 特征;提出隶属不同知识体系的知识点其所属知识要素可能是同一数学结构或形式,称之为 数学通识。我们把数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法;叙述了数学知识体 系同力学知识体系间的关系。本文引述微积分、张量分析、微分几何、连续介质力学等知识 体系中的有关知识以阐述上述观点;所涉及的微积分中 Stokes公式的统一性证明,张量分析 中张量梯度的可微性观点以及微分几何中Le导数的场观点定义及结论等均为我们自己认识。 关键词:知识体系;知识点;知识要素;数学通识;微积分;张量分析;微分几何;连续介 质力学 中图分类号:G6420 The roles of To radically reform To Thoroughly Overhaul in the Set Up of the Fundamental Mathematical and mechanical Knowledge Systems of the mechanics XIE Xi-Iin Department of Mechanics Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433 ABSTRACT: In this paper, the fundamental mathematical and mechanical knowledge systems of the mechanics are concluded as calculus and modern tensor analysis with continuum mechanics based on it. As referred to the related national and international textbooks and monographs with the first levels, the fundamental constitutions of the above mentioned knowledge systems are presented It is put forward that the knowledge points with the corresponding knowledge elements are suitable to recognize one knowledge system, and the radical development property of the knowledge system of calculus is expressed. The concept termed as" Mathematical generality"is put forward that are 本教学研究与实践受囯家自然科学基金面上项目(10872051),高等学校博士学科点专项科研基金(新教师基金 20070246139)以及复旦大学教务处有关课程建设项目资助 通讯作者 麟,副教授;研究方向:理性力学观点下的连续介质力学理论,力学中的数学方法并将上述理论应用于 开放流场空间动力学行为等研究;xiexin@Fudan.edu.cn 第1页共20页
第 1 页 共 20 页 “正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系 建立中的作用* 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系，上海 200433 摘要：本文将力学之数学及专业基础知识体系分别归结为微积分和现代张量分析以及基于其 上的连续介质力学；借鉴具有一流水平的国内外教程或专著，给出了上述基础知识体系的基 本构成。提出以知识点以及知识要素组织知识体系，并分析了微积分知识体系的辐射性发展 特征；提出隶属不同知识体系的知识点其所属知识要素可能是同一数学结构或形式，称之为 数学通识。我们把数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法；叙述了数学知识体 系同力学知识体系间的关系。本文引述微积分、张量分析、微分几何、连续介质力学等知识 体系中的有关知识以阐述上述观点；所涉及的微积分中 Stokes 公式的统一性证明，张量分析 中张量梯度的可微性观点以及微分几何中Lie导数的场观点定义及结论等均为我们自己认识。 关键词：知识体系；知识点；知识要素；数学通识；微积分；张量分析；微分几何；连续介 质力学 中图分类号：G642.0 The Roles of “To Radically Reform & To Thoroughly Overhaul” in the Set Up of the Fundamental Mathematical and Mechanical Knowledge Systems of the Mechanics XIE Xi-lin Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433 ABSTRACT: In this paper, the fundamental mathematical and mechanical knowledge systems of the mechanics are concluded as calculus and modern tensor analysis with continuum mechanics based on it. As referred to the related national and international textbooks and monographs with the first levels, the fundamental constitutions of the above mentioned knowledge systems are presented. It is put forward that the knowledge points with the corresponding knowledge elements are suitable to recognize one knowledge system, and the radical development property of the knowledge system of calculus is expressed. The concept termed as “Mathematical Generality” is put forward that are * 本教学研究与实践受国家自然科学基金面上项目（10872051），高等学校博士学科点专项科研基金（新教师基金 20070246139）以及复旦大学教务处有关课程建设项目资助。 通讯作者：谢锡麟，副教授；研究方向：理性力学观点下的连续介质力学理论，力学中的数学方法并将上述理论应用于 开放流场空间动力学行为等研究；xiexilin@fudan.edu.cn
just some mathematical structures or forms as the so-called knowledge elements of some knowledge points with respect even to different knowledge systems. Mathematics is taken as the systematic ideas and methods to recognize the natural and unnatural worlds in the present paper, and the relationships between mathematical knowledge system and mechanical knowledge system are represented to some extents. Some cases originated from the knowledge systems of calculus, tensor analysis, differential geometry and continuum mechanics are adopted to expound the arguments that are raised in the present paper. The related proof of the Stokes formula in calculus in the unified form, the interpretation of the tensor field's gradient in tensor analysis in the point of view of differential and the definitions of the Lie-derivative in differential geometry viewed from filed ent with the related results are our own cognitions Key words: Knowledge system; Knowledge point; Knowledge element; Mathematical generality Calculus; Tensor analysis; Differential geometry; Continuum mechanics 17世纪,牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起;18-19世纪,连续介质力学的诞 生使力学发展成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学。马克思曾指出“力学是大工 业的真正的科学基础”。随着科学技术的发展,现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延 拓至可变形的复杂介质运动,从纯机械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互 作用,甚至渗透至经济、管理、医学等领域。我国著名科学家钱学森先生在207年对中国 力学学会成立五十周年之际的贺词中指出:“力学有两方面的服务对象:一是为工程技术服务, 另一是为发展自然科学服务,两者是相辅相成,相互促进的” 力学学科的上述特征,使得力学知识体系别具特色,她既需要庞大而坚实的数学支撑, 又需要联系丰富而多样的自然现象。进而,力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而 且对人才培养等方面都具有极其重要的意义 本文拟从力学之数学及专业基础知识体系,微积分知识体系的辐射性发展特征,知识体 系架构(知识点及知识要素),数学通识,数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述 我们持续性追求具有现代化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识。 力学之数学及专业基础知识体系 按通行的理论与应用力学专业(以下简称力学专业)的课程设置,力学知识体系可以分 摘引自《中国力学学科发展战略研究报告(2011-2020年)》有关文稿 「摘引自我国著名流体力学家、中国力学学会第八届理事会理事长、复旦力学校友李家春院士,我国著名流体力学家、天津 大学周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时的演讲稿。 第2页共20页
第 2 页 共 20 页 just some mathematical structures or forms as the so-called knowledge elements of some knowledge points with respect even to different knowledge systems. Mathematics is taken as the systematic ideas and methods to recognize the natural and unnatural worlds in the present paper, and the relationships between mathematical knowledge system and mechanical knowledge system are represented to some extents. Some cases originated from the knowledge systems of calculus, tensor analysis, differential geometry and continuum mechanics are adopted to expound the arguments that are raised in the present paper. The related proof of the Stokes formula in calculus in the unified form, the interpretation of the tensor field’s gradient in tensor analysis in the point of view of differential and the definitions of the Lie-derivative in differential geometry viewed from filed argument with the related results are our own cognitions. Key Words: Knowledge system; Knowledge point; Knowledge element; Mathematical generality; Calculus; Tensor analysis; Differential geometry; Continuum mechanics 17 世纪，牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起；18－19 世纪，连续介质力学的诞 生使力学发展成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学* 。马克思曾指出“力学是大工 业的真正的科学基础”。随着科学技术的发展，现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延 拓至可变形的复杂介质运动，从纯机械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互 作用，甚至渗透至经济、管理、医学等领域† 。我国著名科学家钱学森先生在 2007 年对中国 力学学会成立五十周年之际的贺词中指出：“力学有两方面的服务对象：一是为工程技术服务， 另一是为发展自然科学服务，两者是相辅相成，相互促进的”。 力学学科的上述特征，使得力学知识体系别具特色，她既需要庞大而坚实的数学支撑， 又需要联系丰富而多样的自然现象。进而，力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而 且对人才培养等方面都具有极其重要的意义。 本文拟从力学之数学及专业基础知识体系，微积分知识体系的辐射性发展特征，知识体 系架构（知识点及知识要素）， 数学通识， 数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述 我们持续性追求具有现代化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识。 1. 力学之数学及专业基础知识体系 按通行的理论与应用力学专业（以下简称力学专业）的课程设置，力学知识体系可以分 * 摘引自《中国力学学科发展战略研究报告（2011－2020 年）》有关文稿。 † 摘引自我国著名流体力学家、中国力学学会第八届理事会理事长、复旦力学校友李家春院士，我国著名流体力学家、天津 大学周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时的演讲稿
为数学以及专业知识体系二部分。数学知识体系,主要包括:微积分及线性代数(核心基础 →①复变函数+复分析;②常微分方程+偏微分方程;③概率论+数理统计;④微分几何 实分析+泛函分析等。专业知识体系,主要包括:理论力学及材料力学(核心基础)→①弹性 力学+塑性力学;②流体力学+空气动力学;③振动力学;④控制力学等。 鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位,本文将微积分作为力学之数学基础知识 体系。基于对国内外具有一流水平的教程或专著的调研[-6,我们通过图1表示微分学和积 分学所能包含的主要内容。 R上微分学 [a,b]上 Riemann积分 上Jdan可测集上 Riemann积分 Rm上微分学 (R中微分流形上微分学 R上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 (R中微分流形上积分学) 般赋范线性空间上微分学 一般集类上测度及积分 图1微分学及积分学知识体系框架 Fig. I The frames of the knowledge systems with respect to differential (left)and integral (right) 相对于当前国内力学专业的必修内容,具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特 征:①将微分学由有限维 Euclid空间沿拓至一般赋范线性空间;②将积分学由 Riemann积分 沿拓至 Jordan测度、 Lebesgue测度意义下的积分;③将微积分研究对象由可单个参数化的几 何形态沿拓至需多个参数化的几何形态,亦即建立微分流形上的微积分“。需指出,国内现 行微积分课程设置一般为一年或一年半制(一般对应于非数学以及数学专业),故我们可以设 计系列课程(包括选修课)以完成上述知识体系的讲述[7]随着,我们对自然及非自然世界 认识的深入,按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。 鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学,故本文将现代张量分析 8]以及基于其上的连续介质力学[9-11作为力学之专业基础知识体系。 参见《2011年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会一学术信息整理》,谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理;与会代 表间交流,未公开发表 对于相关知识体系,本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著;尚有很多优秀著作未能列举, VAZorich著“ Mathematical Analysis”的卷2,对 范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述,相关理论的建立 可以完全类比与有限维 uclid空间上的微分学,张筑生著《数学分析新讲》第2册,对有限维 Euclid空间上的微分学给予 了极好叙述,且能非常好地衔接与一般赋范线性空间上的微分学 5对于力学而言,可能我们既需要有限维 Euclid空间上的测度论也需要一般赋范线性空间上的测度论,对此周民强编著《实 变函数论》(北京大学出版社2009)以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》(上册)(高等教 育出版社2010)分别有很好的叙述 VAZorich著" Mathematical Analysis”的卷1及卷2,对微分流形的基本定义有极好的叙述,指出对于图(chat)的定义 可以既基于微分同胚也可以基于秩定理 第3页共20页
第 3 页 共 20 页 为数学以及专业知识体系二部分。数学知识体系，主要包括：微积分及线性代数（核心基础） →①复变函数+复分析；②常微分方程+偏微分方程；③概率论+数理统计；④微分几何；⑤ 实分析+泛函分析等。专业知识体系，主要包括：理论力学及材料力学（核心基础）→①弹性 力学+塑性力学；②流体力学+空气动力学；③振动力学；④控制力学等* 。 鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位，本文将微积分作为力学之数学基础知识 体系。基于对国内外具有一流水平的教程或专著的调研[1-6]† ，我们通过图 1 表示微分学和积 分学所能包含的主要内容。 1 上微分学 m m 上微分学 中微分流形上微分学 一般赋范线性空间上微分学 a,b 上Riemann积分 m 上 可测集上 积分 Jordan Riemann m m Lebesgue Lebesgue 上 测度及 积分 （ 中微分流形上积分学） 一般集类上测度及积分 图 1 微分学及积分学知识体系框架 Fig.1 The frames of the knowledge systems with respect to differential (left) and integral (right). 相对于当前国内力学专业的必修内容，具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特 征：①将微分学由有限维 Euclid 空间沿拓至一般赋范线性空间‡ ；②将积分学由 Riemann 积分 沿拓至 Jordan 测度、Lebesgue 测度意义下的积分§ ；③将微积分研究对象由可单个参数化的几 何形态沿拓至需多个参数化的几何形态，亦即建立微分流形上的微积分**。需指出，国内现 行微积分课程设置一般为一年或一年半制（一般对应于非数学以及数学专业），故我们可以设 计系列课程（包括选修课）以完成上述知识体系的讲述[7]。随着，我们对自然及非自然世界 认识的深入，按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。 鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学，故本文将现代张量分析 [8]以及基于其上的连续介质力学[9-11]作为力学之专业基础知识体系。 * 参见《2011 年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会－学术信息整理》，谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理；与会代 表间交流，未公开发表。 † 对于相关知识体系，本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著；尚有很多优秀著作未能列举。 ‡ V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”的卷 2，对一般赋范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述，相关理论的建立 可以完全类比与有限维 Euclid 空间上的微分学。张筑生著《数学分析新讲》第 2 册，对有限维 Euclid 空间上的微分学给予 了极好叙述，且能非常好地衔接与一般赋范线性空间上的微分学。 § 对于力学而言，可能我们既需要有限维 Euclid 空间上的测度论也需要一般赋范线性空间上的测度论，对此周民强编著《实 变函数论》（北京大学出版社 2009）以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》（上册）（高等教 育出版社 2010）分别有很好的叙述。 ** V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”的卷 1 及卷 2，对微分流形的基本定义有极好的叙述，指出对于图（chart）的定义 可以既基于微分同胚也可以基于秩定理