组织教学研究与实践研讨—2012年01月—复旦大学力学系 谢锡麟报告

教学研究与实践研讨 2012年元月19日复旦大学力学系 2011年度市教委重点课程: 《数学分析》(一年制,面对力学等技术科学专业) 2011年度市教委重点教改项目: 现代连续介质力学理论及实践”课程体系 (1)上述二项目基本情况介绍,结合申请书 (2)教学路径:“微积分的一流化进程” (3)教学研究:“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论及其应用” (4)澄清知识体系的基本思想及方法:知识点、知识要素、数学通识

教学研究与实践 研讨 2012年元月19日 复旦大学力学系 2011年度市教委重点课程： 《数学分析》（一年制，面对力学等技术科学专业） 2011年度市教委重点教改项目： “现代连续介质力学理论及实践”课程体系 （1）上述二项目基本情况介绍，结合申请书 （2）教学路径：“微积分的一流化进程” （3）教学研究：“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论及其应用” （4）澄清知识体系的基本思想及方法：知识点、知识要素、数学通识

分分年数 析制学 R上微分学 基ˇ⌒知 础数识 ③学体 Rm上微分学 分系 本微析 硕分 微分学 (R中徽分流形上微分学) 共流 享形②教 的经路 般赋范线性空间上微分学 微典径 积力 分学 数微 a,b]上 Riemann积分 学积 ④名分 的 Rm上 Jordan可测集上 Riemann积分 应选 用讲流 积分学 实⌒化 R"上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 变有进 函关程 (R中微分流形上积分学) 数高 泛微① 函积二 一般集类上测度及积分

数学知识体系 —— 教学路径：“微积分的一流化进程”：①一 年制《数学分析》；②《经典力学数学名著选讲（有关高等微积 分）》；③《微分流形上的微积分》；④《应用实变函数与泛函 分析基础》（本硕共享） 微分学积分学 1上微分学   m m 上 微 分 学 中 微 分 流 形 上 微 分 学 一 般 赋 范 线 性 空 间 上 微 分 学 a,b上Riemann积分 m 上Jordan Riemann 可测集上 积 分 m m 上Lebesgue Lebesgue 测度及 积 分 （ 中 微 分 流 形 上 积 分 学） 一般集类上测度及积分

力学知识体系—教学路径:“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论 及其在实践”①《张量分析与微分几何基础》;②《连续介质力学基础》(按理性力 学观点);③《涡量与涡动力学基础》(本硕共享);④《固体力学基础》、《断裂 与损伤》;⑤《生物力学基础》;⑥《弹塑性力学》(东华大学)等 Euclid空间中的张量分析与微分几何 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 口弹性力学 连续介质力学一般理论 塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 流体力学(涡量与涡动力学) 空气动力学(涡量与涡动力学观点)

力学知识体系 —— 教学路径：“基于现代张量分析及微分几何的连续介质力学理论 及其在实践” ①《张量分析与微分几何基础》；②《连续介质力学基础》（按理性力 学观点）；③《涡量与涡动力学基础》（本硕共享）；④《固体力学基础》、《断裂 与损伤》；⑤《生物力学基础》；⑥《弹塑性力学》（东华大学）等 Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 流体力学（涡量与涡动力学） 弹性力学 空气动力学（涡量与涡动力学观点） 塑性力学 生物力学

构成;Ⅲ不同知识点之知识要素可能相同,称为“数学通识,知识点由知识要素 知识体系的“辐射式”发展特征;Ⅱ知识体系的构建:知识点 上述认知过程, 称为“正本清源”。 般赋范线性空间上微积分 風范线性空间之间映照极限R上微积分 般集类测度论 回值映照R上微积分西m测集上积分 函数极限 定积分 近行( 照极限 刻画 分和极限 函数导数 饭函数定理 向量值映照可微性 隱隐映照、逆映定理 赋范线性空间之间映照可微性 范线性空间上隐映<逆映照定理 正本清源、格物致知—以方法论的思想梳理和掌握理论=思想+方法(应用)

Ⅰ 知识体系的“辐射式”发展特征；Ⅱ 知识体系的构建：知识点，知识点由知识要素 构成；Ⅲ 不同知识点之知识要素可能相同，称为 “数学通识” —— 上述认知过程， 称为 “正本清源” 。 “逼近行为” 刻画 点列极限 映照极限 部分和极限 函数极限 函数导数 定积分 反函数定理 向量值映照极限 Jordan可测集上积分 向量值映照可微性 隐映照、逆映照定理 1上微积分 赋范线性空间之间映照极限 m上微积分 一般赋范线性空间上微积分 赋范线性空间之间映照可微性 赋范线性空间上隐映照、逆映照定理 一般集类上测度论 正本清源、格物致知 —— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用）

可形一向量值映照f(x):R”393XHf(x)∈R 式贺可微性(+1=((+0,处()=1(x 性而体 映可系引入R上范数:。=√5,5) 照微辐 近性射 似的发 (+1)=()+D(b+0)x)此处:D(=(0()=R 实展 且质 张量场Φ(x):R二93x中(x)V;(x)818g88(x)∈T(R") 误为事 差由例可微性0(x+)=0()+()(+0(1,此处()∈(r() 的自导/”A(R")上范数:8n3)图m1h 无穷 变 数 a(x+h)=(x)+v, a(x)g0g'8g(x).h+o(RET(r 小 变 是映 dg 而思 此处:(x) ()(h)=[Vc;(x)g,g88g(x)][hs,(x)=(中V)(x),H 可泛函C"(2)3f(x)1→F小L(x(x,V(x)dr∈R 起微 的性可微性F(f+h)=F(f)+()(n)+0),此处“()∈L(C(,R) 因的 体六6(0)全(+x)=F(∈B 变表 df 现 →临界点 Lagrange-Euler方程 dv(x()V()(xf(x,V/(x)2=0 d aL

Ⅰ 知 识 体 系 辐 射 发 展 事 例 ： “ 导 数 ” 是 映 照 可 微 性 的 具 体 表 现 形 式 ； 而 可 微 性 的 实 质 为 由 于 自 变 量 变 化 而 引 起 的 因 变 量 变 化 可 由 线 性 映 照 近 似 ， 且 误 差 为 一 阶 无 穷 小 量 。                                : , , m , m m m m n m m n m i n n f Df x h Df x x df df f x h f x x h o h x f x x f x f x h f x x o h L dx dx                                 引 向量值映照 可微性 ，此处 入 上范数: 此处：                                                  3 3 3 3 3 : + , m m m m m m m i k j m l j i k i k j l l j i k i k j l q l j i m m m q m T k x g g g x h d x h x g g g g x x d d x h x x h o h x L T d x x g g g x T T x h x x dx o h h T x g x dx                                                      张 引 量场 可微性 ，此 入 上范数 ： 处 : 此处   =     x H                                                  0 , , Lagrange-Euler lim , , , , , 0 p p C p h dF F f h F f f h D F f df d L L x f dF dF F f h x f x x f x f x dx f C F f f f x F f L x f f h o h f L C df x df f x d                                       基于: 泛函 可微性 ，此处 临界点 方程：