复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教学研究_教学研究与实践阶段性总结（谢锡麟）

图4 Stokes证明所用的图示 Fig 4 The sketches utilized for the proof of Stokes formula f a(x,y, =) td=ja(o “= (Odr j.eRODE(C-O).d r o)dr J[P, Q, RJ( oy/ou dy/ar(u(), v(o) o )dr / ax/av [PQoy/aQ,lay/1a(分块矩阵运算) /at az/av ax/ar ax/ [P。Q,]o(n+P,N](d(参数空间中线积分) En /ou/[p, e,rjoy/ov [P,Q]y/bnda(参数空间中Gen公式) 此处 14页共20页

第 14 页 共 20 页 x z u v t Duv  y o o o [ ]  Cuv Cxyz  图 4 Stokes 证明所用的图示 Fig.4 The sketches utilized for the proof of Stokes formula                          , , , , = , , , = , , , , , xyz xyz C uv uv t t dC a x y z dl a t t dt dt dC P Q R t D C t t dt dt xu xv u P Q R t y u y v u t v t t dt v zu zv xu xv PQR y u PQR y v zu zv                                                                                ,, ,, , , , , uv t t C t u dt v xu xv P Q R y u i P Q R y v j dl zu zv xv xu PQR y v PQR y u u v zv z                                                                            分块矩阵运算 参数空间中线积分 Green   Duv d u                             参数空间中 公式 此处

a/av ax/au PQ]吵/b [P,e,R] l a/av a/au ax/a ax/a [PQ+[PQ。-PQan-[PQ。a/a a/av a/av ol a/au ax/av ax/a [PQ列[PQay a/ov ay/av ae/o]g-[a/ ou ay/u a/au]9 进一步计算得 [ax/ov Oy/ov a=/0v].91-[ax/ou Oy/ou a-/ou].9 R R x/ou [ox/0v ay/0v a=/0v]- a@/0x ag/y aQ/0=0y/au ay aR/a=a=/au P/oyaP/a1「ax L aR/Ox aR/ay aR/a=0=/at Ab=bAa-bAa=b(a-aa: =bQ 此处Ω会DE-(D)为反对称矩阵。相关图示,请见图4 考虑到,对一般三阶反对称矩阵Ω有以下表达形式 O 0 此处O=01+O2+O2k常称为反对称阵的对偶向量 籍此,有:bΩa=b a=b(o×a)=(×a,b=(a×b) 15页共20页

第 15 页 共 20 页             , , , , ,, ,, ,, ,, xv xu PQR y v PQR y u u v zv zu x v xv xu xu P Q R y v PQR y v PQR y u PQR y u u uv v zv zv zu z                                                                         ,, ,, u xv xu PQR y v PQR y u u v zv zu P P xv yv zv Q xu yu zu Q u v R R                                                        进一步计算得：         P P x v yv zv Q xu yu zu Q u v R R Px Py Pz xu xv yv zv Qx Qy Qz yu Rx Ry Rz zu Px Py Pz xu yu zu Qx Qy Qz Rx Ry Rz                                                                                       : :   T T T TT T T T x v y v z v b Aa a Ab b Aa b A a b A A a b a                      此处  T     D D 为反对称矩阵。相关图示，请见图 4。 考虑到，对一般三阶反对称矩阵 有以下表达形式： 32 1 3 1 2 123 2 1 3 123 0 : 0 0 a i jk a i jk a a a aaa                                        此处 12 3      i jk     常称为反对称阵的对偶向量。 籍此，有：      3 2 3 1 2 1 0 0 0 T T b a b a b a ab ab                                       

aP/ay-oQ/ax aP/az -OR/ax 此处Ω会A-2=|aQax-aP/O aQ/az-OR/Oy aR/ax-aP/az aR/ay-a/az 0 综上得,RHS=∫ol(,),(x,)(n)d=Jrol(x,y,=)示d,证明完毕 上述证明清晰地表示:向量场旋度可理解为向量场作为向量值映照其 Jacobian阵反称化 后所对应的对偶向量;获得此观点的关键在于推导出了反对称阵及其对偶向量之间的关系 理论力学中,反对称阵及其对偶向量之间的关系也是建立单参数向量值映照其相对固定 参照系变化率与相对运动参照系变化率之间关系的数学基础[15];由此也成为速度、加速度 合成原理的数学基础。现在,微积分中的 Stokes公式也以此为基础。上述关系似乎意示着“反 对称阵及其对偶向量之间的关系”就是各种“旋转现象”的共有数学机制 5.数学知识体系同力学知识体系的关系 我们把数学理解为:认识自然及非自然世界的系统的思想和方法,而非仅是数学逻辑 由此,相关知识体系以及教学上需要包括三部分:①数学定义所涉及内容的实际来源;②对 定义所展开的逻辑分析〔一般数学课程的主要内容);③数学逻辑所得数学结论(性质或定理 等)对实际问题的指导作用。例如,微积分中 Gauss -Ostrogradski公式源于定积分中的 Newton Leb公式款故其形式可为乎o,d=d以及,d=(,a,一般教程 中往往仅叙述后者,而前者却是力学中最为常用的,籍此形式我们可以几乎平凡地获得 Archimedes浮力定理。 对上述观点,在 V.AZorich著“ Mathematical Analysis”等俄罗斯数学教材等具有一流化 水平的教程或专著中有着深刻的表现。国际著名数学家Ⅴ ARnold将 AZorich著“ Mathematical Analysis”赞誉为“迄今为止最好的现代分析学教程”。 L.Arnold甚至认为“ Mathematics is a part to physics. Physics is an experimental science, a part of natural sciences. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap”[13],此处的物理应理解为包括力学等的广泛的物 理范畴 借鉴于Ⅴ ARnold有关数学同自然间的关系,结合自身的学习、教学与研究,我们将认 识自然及非自然世界的方法归纳为三种:“真实实验”、“数值实验”以及“数学实验”。前二 者在力学、物理等学科上已为共识。而数学实验基于数学建模及相关逻辑过程;她可能在某 些情形下可以直接确定籍此类实验获得的结论必为真理,而有些情形所得结论需基于实践检 验。微积分中有关定积分的应用,基于数学建模(获得基于微元的部分和)及分析( Riemann 页共20页

第 16 页 共 20 页 此处 0 0 0 T Py Qx Pz Rx AA Qx Py Qz Ry Rx Pz Ry Qz                                   综上得，  , , ,,      uv u v D RHS rota u v r r u v d rota x y z n d              。证明完毕。 上述证明清晰地表示：向量场旋度可理解为向量场作为向量值映照其 Jacobian 阵反称化 后所对应的对偶向量；获得此观点的关键在于推导出了反对称阵及其对偶向量之间的关系。 理论力学中，反对称阵及其对偶向量之间的关系也是建立单参数向量值映照其相对固定 参照系变化率与相对运动参照系变化率之间关系的数学基础[15]；由此也成为速度、加速度 合成原理的数学基础。现在，微积分中的 Stokes 公式也以此为基础。上述关系似乎意示着“反 对称阵及其对偶向量之间的关系”就是各种“旋转现象”的共有数学机制。 5. 数学知识体系同力学知识体系的关系 我们把数学理解为：认识自然及非自然世界的系统的思想和方法，而非仅是数学逻辑。 由此，相关知识体系以及教学上需要包括三部分：①数学定义所涉及内容的实际来源；②对 定义所展开的逻辑分析（一般数学课程的主要内容）；③数学逻辑所得数学结论（性质或定理 等）对实际问题的指导作用。例如，微积分中 Gauss－Ostrogradskii 公式源于定积分中的 Newton －Leibinze 公式，故其形式可为 V V nd d          以及 V V a nd ad             。一般教程 中往往仅叙述后者，而前者却是力学中最为常用的，籍此形式我们可以几乎平凡地获得 Archimedes 浮力定理。 对上述观点，在 V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”等俄罗斯数学教材等具有一流化 水平的教程或专著中有着深刻的表现。国际著名数学家 V.I.Arnold 将 A.Zorich 著“Mathematical Analysis”赞誉为“迄今为止最好的现代分析学教程”。V.I.Arnold 甚至认为“Mathematics is a part to physics. Physics is an experimental science, a part of natural sciences. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap”[13]，此处的物理应理解为包括力学等的广泛的物 理范畴。 借鉴于 V.I.Arnold 有关数学同自然间的关系，结合自身的学习、教学与研究，我们将认 识自然及非自然世界的方法归纳为三种：“真实实验”、“数值实验”以及“数学实验”。前二 者在力学、物理等学科上已为共识。而数学实验基于数学建模及相关逻辑过程；她可能在某 些情形下可以直接确定籍此类实验获得的结论必为真理，而有些情形所得结论需基于实践检 验。微积分中有关定积分的应用，基于数学建模（获得基于微元的部分和）及分析（Riemann

积分有关 Darboux和理论)获得相关结论,包括:平面曲边梯形面积、柱形体体积、旋成体 侧面积、有限维 Euclid空间中曲线弧长等。建模过程中,前二者对应的部分和(对应真实值) 可由相关函数的 Darboux小和和大和控制,故可明确确认相应函数的积分必为真实值。而后 二者,由于真实值无法明确由相关函数的 Darboux小和和大和控制,故对应的定积分是否为 真实值,就必需由实践加以经验。如对旋成体的侧面积计算,我们既可以用圆台侧面积近似 也可以用圆柱侧面积近似,数学分析上都可获得相应函数的定积分,然而经实践检验前者为 真理而后者不是 对于力学从业者而言,将现代数学知识体系(思想及方法)联系与力学知识体系或者直 接联系与自然或非自然现象,往往需要我们对数学更为深刻的认识。一般而言,现代数学知 识体系的思想及方法并非轻而易举地就能服务于力学研究;她们往往需要经过我们的认识和 理解,甚至做一定的“改造”以融合与力学知识体系 51数学、力学知识体系间关系的事例:从 Lagrange力学到 Hamilton力学 Ⅵ ARnold所著《经典力学中的数学方法》[14],倡导以几何的思想及方法认识并处理基 本力学问题,总体思想可认识为:① agrange学:引入广义坐标{q-作为力学系统的构 形刻画,{q/一般由相应的变分原理(如最小作用原理等)控制,满足变分极值方程;以 q)为 Cartesian坐标定义相空间,由此力学系统的构形刻画可等价于相空间中由变分原理 所决定的轨迹;轨迹可作为相空间中的微分流形。② Hamilton力学:基于 Legendre变换,将 Lagrange 7学变换为 Hamilton力学,亦即将广义坐标{q}m和广义速度{}m微分同胚意义 下变换为广义坐标{)-和广义动量{Pm;以广义坐标、广义动量构成新的2N维相空间 此时系统的构形刻画等价于由 Hamilton系统(动力系统)所决定的轨迹;新的相空间具有自 然的辛结构,轨迹可作为相空间中的微分流形 按现有认识,我们觉得将上述几何化的思想及方法应用于具有有限自由度的系统(刚体 系统)时较为清晰,然而是否能够以及如何推广到无限自由度系统(如可变形介质体系)将 是非常巨大的挑战 52数学、力学知识体系间关系的事例:Le导数与物质导数、对流导数 张筑生著《数学分析新讲》(第1册)明确叙述了定积分建模中的此种关系 第17页共20页

第 17 页 共 20 页 积分有关 Darboux 和理论）获得相关结论，包括：平面曲边梯形面积、柱形体体积、旋成体 侧面积、有限维 Euclid 空间中曲线弧长等。建模过程中，前二者对应的部分和（对应真实值） 可由相关函数的 Darboux 小和和大和控制* ，故可明确确认相应函数的积分必为真实值。而后 二者，由于真实值无法明确由相关函数的 Darboux 小和和大和控制，故对应的定积分是否为 真实值，就必需由实践加以经验。如对旋成体的侧面积计算，我们既可以用圆台侧面积近似 也可以用圆柱侧面积近似，数学分析上都可获得相应函数的定积分，然而经实践检验前者为 真理而后者不是。 对于力学从业者而言，将现代数学知识体系（思想及方法）联系与力学知识体系或者直 接联系与自然或非自然现象，往往需要我们对数学更为深刻的认识。一般而言，现代数学知 识体系的思想及方法并非轻而易举地就能服务于力学研究；她们往往需要经过我们的认识和 理解，甚至做一定的“改造”以融合与力学知识体系。 5.1 数学、力学知识体系间关系的事例：从 Lagrange 力学到 Hamilton 力学 V.I.Arnold 所著《经典力学中的数学方法》[14]，倡导以几何的思想及方法认识并处理基 本力学问题。总体思想可认识为：①Lagrange 力学：引入广义坐标  1 i N i i q   作为力学系统的构 形刻画，  1 i N i i q   一般由相应的变分原理（如最小作用原理等）控制，满足变分极值方程；以   1 i N i i q   为 Cartesian 坐标定义相空间，由此力学系统的构形刻画可等价于相空间中由变分原理 所决定的轨迹；轨迹可作为相空间中的微分流形。②Hamilton 力学：基于 Legendre 变换，将 Lagrange 力学变换为 Hamilton 力学，亦即将广义坐标  1 i N i i q   和广义速度  1 i N i i q    微分同胚意义 下变换为广义坐标  1 i N i i q   和广义动量  1 i N i i p   ；以广义坐标、广义动量构成新的2N 维相空间， 此时系统的构形刻画等价于由 Hamilton 系统（动力系统）所决定的轨迹；新的相空间具有自 然的辛结构，轨迹可作为相空间中的微分流形。 按现有认识，我们觉得将上述几何化的思想及方法应用于具有有限自由度的系统（刚体 系统）时较为清晰，然而是否能够以及如何推广到无限自由度系统（如可变形介质体系）将 是非常巨大的挑战。 5.2 数学、力学知识体系间关系的事例：Lie 导数与物质导数、对流导数 * 张筑生著《数学分析新讲》（第 1 册）明确叙述了定积分建模中的此种关系

(5,4)∈T(TM) dp(x(:5)) 迹线 dt (:5)=(x(,5),) x(4;5) lC.x(;5)=5 . M 烟线 Nd(5,)∈T(T.M) 图5Le导数定义所用的图示 Fig. 5 The sketch utilized for the definitions of Lie-derivative 任一较为标准的现代徹分几何教程都会涉及Lie导数的定义,主要思想为基于坐标变换 将同一轨线上的张量场拉回至起始点,然后计算此张量场随时间的变化率[8,14,17。值得指 出的是,一般数学文献中Lie导数的定义将张量场默认为定常场(未曾明确指出),由此对 Lie导数的相关诠释既有物质导数[8,14],亦有对流导数[17] 按我们认识,按场观点,可将Lie导数定义为如下形式,如图5所示 ①定义Lie导数为沿“轨迹”的变化率,对应为物质导数 L1Φ(5,)=lim (x(t:5),)-()aD c(54)+vs(5 ②定义Lie导数为沿“烟线”的变化率,对应为对流导数: L1Φ(5,)=lim c(x(;5),)-(5,1) =vV②Φ(5,0) 对于定常情况,轨迹、烟线以及流线三者重合,故上述二者重合。进一步,我们可以证明 Lpa (5, 40)=va, p kOV, d.+o.dbi-kark v「o,;+r;}-;+r:1(5,)=:FV;(5,) 一般数学文献,对于Lie导数的计算式仅有前一等式的形式;而第二等式的建立,使得Lie 导数完全相容于一般曲线坐标系下张量场分析中出现的对流导数项之形式 6.总结 本文中我们将微积分作为力学之数学基础知识体系,将现代张量分析以及基于其上的连 续介质力学作为力学之专业基础知识体系。对于某一知识体系,我们可以归纳为若干知识点, 而每一知识点归结为若干知识要素 所谓的对于知识体系的“正本清源”,包括:①对某一知识体系,以知识点及其所含的知 18页共20页

第 18 页 共 20 页   0t ;   0 x t ; T M T Mx  迹线 烟线   , 0    x t t ; ,    r T TM s t       ,   r T TM s t           0 ; ;, . . ; dx t V xt t dt IC x t            图 5 Lie 导数定义所用的图示 Fig.5 The sketch utilized for the definitions of Lie-derivative 任一较为标准的现代微分几何教程都会涉及 Lie 导数的定义，主要思想为基于坐标变换 将同一轨线上的张量场拉回至起始点，然后计算此张量场随时间的变化率[8,14,17]。值得指 出的是，一般数学文献中 Lie 导数的定义将张量场默认为定常场（未曾明确指出），由此对 Lie 导数的相关诠释既有物质导数[8,14]，亦有对流导数[17]。 按我们认识，按场观点，可将 Lie 导数定义为如下形式，如图 5 所示： ①定义 Lie 导数为沿“轨迹”的变化率，对应为物质导数：           0 0 0 00 0 ;, , , : lim , , V t t xt t t L t tV t tt t                ②定义 Lie 导数为沿“烟线”的变化率，对应为对流导数：           0 0 0 0 ;, , , : lim , V t t xt t t Lt V t t t             对于定常情况，轨迹、烟线以及流线三者重合，故上述二者重合。进一步，我们可以证明：     0 0 0 , + , : , isk ik l ik sk ik is Vj lj j s j sj s l ik i sk s ik k is l ik l j ls j lj s ls j l j VV V L tV x V tV t                                              一般数学文献，对于 Lie 导数的计算式仅有前一等式的形式；而第二等式的建立，使得 Lie 导数完全相容于一般曲线坐标系下张量场分析中出现的对流导数项之形式。 6. 总结 本文中我们将微积分作为力学之数学基础知识体系，将现代张量分析以及基于其上的连 续介质力学作为力学之专业基础知识体系。对于某一知识体系，我们可以归纳为若干知识点， 而每一知识点归结为若干知识要素。 所谓的对于知识体系的“正本清源”，包括：①对某一知识体系，以知识点及其所含的知