复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教学研究_教学研究与实践阶段性总结（谢锡麟）

为零。 作为应用事例,我们对任意二阶张量场Φ=中,g4⑧g作如下分析 Vx(V×d)=Vx(emV,g'g)=e"V,(emVd,)g,8g'=∈e"∈hV,(V),8g =(o2-0o)v.(vΦ:)g,8g=v(VΦ,)g,g-V,(v:)g8g V(V·Φ)-△d 按分析过程,可见上述张量场恒等式适用于任意阶张量场。一般而言,基于上述知识要素, 我们可以顺利地导出诸多张量场场论恒等式,且均在一般曲线坐标系下进行分析。一般教程 或专著中,场论恒等式的推导常常在 Cartesian坐标系下进行。基于上述知识要素,可见一般 曲线坐标系下场论分析较 Cartesian坐标系下分析并不增加任何复杂性;然而基于前者的分析, 可以获得场论恒等式相对于一般曲线坐标系所诱导的局部基的分量方程 3.3知识点事例:张量分析中“完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示” 连续介质力学中常常需要获得张量场梯度(包括籍此衍生的各种场论运算)的分量表示, 如在“单位正交的球坐标系”下获得对流项、 Laplace项等的表达形式。按严格定义,曲线 坐标系即为微分同胚,对此可称此曲线坐标系完整系,其诱导的基称为完整基。故常用的“单 位正交的球坐标系”并非真正的曲线坐标系,而是对完整的“正交的球坐标系”所诱导的局 部基经过单位化而得的单位正交基。此单位正交基并非由曲线坐标(微分同胚)直接诱导, 故为非完整基 对此知识点,其知识要素可归纳如下:①张量分量的坐标转换关系。以三阶张量为例, 其基于完整系定义的梯度为 v8中(x)=Vc;(x)g'g8g'8g(x)=Vo.0(x)g8ga8808g(x) 此处;}和(B}分别为完整基和非完整基,其间满足转换关系8=cs,g"=C Vot0(x)为张量场梯度在非完整基下的分量,满足张量分量的坐标转换关系 Vapt0"(x)=CC"Cc(x)Vc;(x)·②基本思想为构造“非完整基下的形式协变 导数”,涉及形式偏导数、形式 Christoffel符号以及形式协变导数,如下所示 形式导数:o=clp Christoffel N9: r(ake(): =ccia ci() r;(x)-Cla,(x) 本知识点事例,基于郭仲衡著《张量(理论和应用)》有关内容进行归纳;本文未有补充内容 第9页共20页

第 9 页 共 20 页 为零。 作为应用事例，我们对任意二阶张量场 k t t k g g     作如下分析：                 : j k i t rsi j k t rsi j k t ijk t s ijk t r jki s t r rs sr j k t j k t j k t jk jk s t r k t j j t k gg gg gg   gg gg gg                                                按分析过程，可见上述张量场恒等式适用于任意阶张量场。一般而言，基于上述知识要素， 我们可以顺利地导出诸多张量场场论恒等式，且均在一般曲线坐标系下进行分析。一般教程 或专著中，场论恒等式的推导常常在 Cartesian 坐标系下进行。基于上述知识要素，可见一般 曲线坐标系下场论分析较 Cartesian 坐标系下分析并不增加任何复杂性；然而基于前者的分析， 可以获得场论恒等式相对于一般曲线坐标系所诱导的局部基的分量方程。 3.3 知识点事例：张量分析中“完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示”* 连续介质力学中常常需要获得张量场梯度（包括籍此衍生的各种场论运算）的分量表示， 如在“单位正交的球坐标系”下获得对流项、Laplace 项等的表达形式。按严格定义，曲线 坐标系即为微分同胚，对此可称此曲线坐标系完整系，其诱导的基称为完整基。故常用的“单 位正交的球坐标系”并非真正的曲线坐标系，而是对完整的“正交的球坐标系”所诱导的局 部基经过单位化而得的单位正交基。此单位正交基并非由曲线坐标（微分同胚）直接诱导， 故为非完整基。 对此知识点，其知识要素可归纳如下：①张量分量的坐标转换关系。以三阶张量为例， 其基于完整系定义的梯度为：                         : :   ik l j lj i k x xg g g g x xg g g g x                      此处gi 和g i  分别为完整基和非完整基，其间满足转换关系   : l l g Cg    ，     : l l g Cg    。           x        为张量场梯度在非完整基下的分量，满足张量分量的坐标转换关系                       l j ik i k lj x CC CC x x                。②基本思想为构造 “非完整基下的形式协变 导数”，涉及形式偏导数、形式 Christoffel 符号以及形式协变导数，如下所示： 形式导数：   : l   C l   Christoffel 符号：                    :   ij k ij j k ij i C x CCC x x CC x x x                * 本知识点事例，基于郭仲衡著《张量（理论和应用）》有关内容进行归纳；本文未有补充内容

协变导数:voo(x)=ot(x)+rm0-rpt”+rmtm 按上述计算过程获得的形式协变导数即为非完整基下的张量场梯度分量 ③完整基为正交基,非完整基为单位正交基情况,形式协变导数的简单形式 形式导数:a Chris toffel 49: rae(x)=Tayo)= r(aB0);r(aBa)=-r(aaB) a In 协变导数 v(O)o(aBr (x): =d b(aBr)(x) +r(aa)①(uBy)+r(OuB)中(aun)+r(ouy)(aBx) 籍此,可正确、便捷地获得任意单位正交基下张量场梯度的分量表示形式, 34知识点事例:连续介质力学中一般形式的输运定理 类似与微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分,我们将输运定理分成第一类和第二 类。此知识点的知识要素,归类如下:①当前构型下有向线元、有向面元的变化率,称为第 二类变形率;线元、面元以及体元的变化率,称为第一类变形率。上述二类变化率均由变形 梯度刻画。②结合微积分中第一类、第二类曲线、曲面积分以及体积分,即得第一类、第二 类物质系统输运定理。③对于控制系统输运方程,将控制线、面以及体考虑为另一类连续介 质,则上述分析仍然适用 具体内容,如下所述。 由a2(1)F2a(4),地处F会(8(06()为变形梯度,现)和(分 别为初始物理构形和当前物理构形对应的曲线坐标系,{(x)和G()分别为对应的局部 基。基于 Arson公式,可得第二类变形率 有向线元变化率a (4)=L2(2),此处x(4)∈R3为当前物理构形中曲线的向量值 映照表示,A∈R为参数;L全V⑧V,V为速度; 本知识点事例,借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》有关内容进行归纳。本文认为,仅需基于变形梯度的相关性质并结合微 积分中曲线、曲面以及体积分的相关计算式,即可严格获得张量场的各种输运定理。郭仲衡著《非线性弹性理论》着重张量 二点形式的表示;基于张量的简单张量表示,本文认为张量的一点、二点或者多点表示形式并非本质,故在相关教学中充分 利用《非线性弹性理论》中的有限变形理论,而不强调张量的上述表示形式 此处借鍳郭仲衡著《非线性弹性理论》中变形梯度和线、面、体元素变换间的关系,本文相应地获得变形梯度同当前物理 构形中线、面、体之向量值映照的相关导数或偏导数之间的关系(实际上述处理均利用向量值映照的链式求导法则,可自然 “诱导出”变形梯度),由此对输运定理的处理可完全融合与微积分中的相关处理。黄克智、薛明德、陆明万编著的《张量 分析》(清华大学出版社,2003),直接按变形梯度和线、面、体元素变换间的有关关系,“直接”推导了第二类形式的 Reynolds 输运定理,但未提及本文中的第一类线及面输运形式 10页共20页

第 10 页 共 20 页 协变导数：                                                     x x :                                    按上述计算过程获得的形式协变导数即为非完整基下的张量场梯度分量 ③完整基为正交基，非完整基为单位正交基情况，形式协变导数的简单形式： 形式导数：   : l   C l   Christoffel 符号：             1 ln : ; g x g x                       ， 协变导数：     :   + x x                     籍此，可正确、便捷地获得任意单位正交基下张量场梯度的分量表示形式。 3.4 知识点事例：连续介质力学中一般形式的输运定理* 类似与微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分，我们将输运定理分成第一类和第二 类。此知识点的知识要素，归类如下：①当前构型下有向线元、有向面元的变化率，称为第 二类变形率；线元、面元以及体元的变化率，称为第一类变形率。上述二类变化率均由变形 梯度刻画。②结合微积分中第一类、第二类曲线、曲面积分以及体积分，即得第一类、第二 类物质系统输运定理。③对于控制系统输运方程，将控制线、面以及体考虑为另一类连续介 质，则上述分析仍然适用。 具体内容，如下所述。 由     t 0 dX dX F d d       ，此处     , i A A i x F tg x G        为变形梯度，现  i x 和 A  分 别为初始物理构形和当前物理构形对应的曲线坐标系，g x i  和   A G  分别为对应的局部 基。基于 Narson 公式，可得第二类变形率† ：  有向线元变化率     t t dX dX L d d        ，此处   3 t X   为当前物理构形中曲线的向量值 映照表示， 为参数； L V ，V 为速度； * 本知识点事例，借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》有关内容进行归纳。本文认为，仅需基于变形梯度的相关性质并结合微 积分中曲线、曲面以及体积分的相关计算式，即可严格获得张量场的各种输运定理。郭仲衡著《非线性弹性理论》着重张量 二点形式的表示；基于张量的简单张量表示，本文认为张量的一点、二点或者多点表示形式并非本质，故在相关教学中充分 利用《非线性弹性理论》中的有限变形理论，而不强调张量的上述表示形式。 † 此处借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》中变形梯度和线、面、体元素变换间的关系，本文相应地获得变形梯度同当前物理 构形中线、面、体之向量值映照的相关导数或偏导数之间的关系（实际上述处理均利用向量值映照的链式求导法则，可自然 “诱导出”变形梯度），由此对输运定理的处理可完全融合与微积分中的相关处理。黄克智、薛明德、陆明万编著的《张量 分析》（清华大学出版社, 2003）,直接按变形梯度和线、面、体元素变换间的有关关系，“直接”推导了第二类形式的 Reynolds 输运定理，但未提及本文中的第一类线及面输运形式

◇有向面元变化率 x2(, u)=B.,ar OX aX 2(2,),此处X(,)∈R为当前物理构 a1 dp aaμ 形中曲面的向量值映照表示,(λ,)∈R2为参数;B-V⑧V,会rV。 籍此,将上述第二类变形率结合微积分中第二类曲线、曲面积分计算,即可得第二类输运定 理: ◇第二类线输运 d2(λ)d=*rdl+「Φ*(L·r)dl ◇第二类面输运 axa Φ*ndσ dt 0A0 (A,n)d=*ndo+∫(n)do 上述*表示任何合法的张量代数运算,如张量并⑧,点积、叉乘等 将第二类变形率结合内积运算,可得第一类变形率: 令线元模变化率dx(x)21(x)=0Dz/<x(x),此处r为单位切向量, d元 d D会(V②V+V); 面元模变化率 aX (, u)=nB-n (.),此处n为单位法向量 令体元模变化率。Xxx (,A,)=6 籍此,将上述第一类变形率结合微积分中第一类曲线、曲面积分以及体积分计算可得笫一类 输运形式∵: ◇第一类线输运 参阅本文参考文献中郭仲衡、黄筑平以及谢多夫的相关专著,均未提及第一类线、面体输运形式 第11页共20页

第 11 页 共 20 页  有向面元变化率   , ,   tt tt XX XX    B                    ，此处   3 , t X    为当前物理构 形中曲面的向量值映照表示，  2  ,  为参数； B   I V   ，  V  。 籍此，将上述第二类变形率结合微积分中第二类曲线、曲面积分计算，即可得第二类输运定 理：  第二类线输运    t t t t d d dX dl d dl L dl dt dt d                       第二类面输运   , t t t t t D d d XX nd d nd B n d dt dt                                     上述*表示任何合法的张量代数运算，如张量并 ，点积、叉乘等。 将第二类变形率结合内积运算，可得第一类变形率：  线元模变化率       tt t dX dX dX L D dd d             ，此处  为单位切向量，   1 2 DV V   ；  面元模变化率   , ,   tt tt XX XX    nBn           ，此处n 为单位法向量；  体元模变化率 , , ,, , , ,,     ttt ttt XXX XXX                             。 籍此，将上述第一类变形率结合微积分中第一类曲线、曲面积分以及体积分计算可得第一类 输运形式* ：  第一类线输运 * 参阅本文参考文献中郭仲衡、黄筑平以及谢多夫的相关专著，均未提及第一类线、面体输运形式

∫(X(4)d2=jd+j(x,D)d d ◇第一类面输运 Φdo ∫p2xax(2,-a+md-(mDn (x)+V(8)da-「中(nD·n)da ◇体输运 X OX aX d[@aoax''op(,u,y)h=「+∫pOdh (x,t)+V(V⑧Φ)do=ra t (x1)h+∮d(-n)h 对于控制系统输运方程,将控制线、面以及体考虑为另一类连续介质,则上述分析仍然 适用;具体输运形式,仅需将上述物质输运定理中的速庋更换为控制系统的速庋 4.数学通识 数学通识”或者知识体系中的“工兵”。我们生活的世界丰富多彩,但上帝也许就用 样东西创造了这些,这就是“数学机制”或“数学通识”( Mathematical Generality)--以 某种数学结构或性质为载体,比定理等结论具有更高的归纳性,跨越不同课程甚至学科。值 得指出, ARNold在其“ On teaching Mathematics”中指出,诸如存在一个函数既控制所有 四数平方和的表示也控制一个单摆的实际运动的事例对于教学具有重要的意义,此种不同事 物间的关系也能使我们领略到这个世界的和谐之美[13 41数学通识事例:“同时对角化 线性代数中有结论:对任意m阶对称正定阵A,任意对称阵B,存在非奇异阵G,满足 GAG=1,GAG=A,此处为单位阵,A=dag[,…,]为对角阵,且1∈R(1≤i≤m), B-λ,A|=0。此结论称为同时对角化 振动理论中,保守系统在平衡态附近的运动刻画为:设{x}为曲线坐标,{g为其度量 张量的协变分量,则有 12页共20页

第 12 页 共 20 页    t t t t d d dX dl d dl D dl dt dt d                     第一类面输运         , , t tt t t t t t D d d XX d d d d nDnd dt dt xt V d n D n d t                                                      体输运         , , , , , , t t t t t t ttt D V V V V VV d d XXX dv dv dv dv dt dt x t V d x t dv V n dv t t                                                对于控制系统输运方程，将控制线、面以及体考虑为另一类连续介质，则上述分析仍然 适用；具体输运形式，仅需将上述物质输运定理中的速度更换为控制系统的速度。 4. 数学通识 “数学通识”或者知识体系中的“工兵”。我们生活的世界丰富多彩，但上帝也许就用一 样东西创造了这些，这就是“数学机制”或“数学通识”（Mathematical Generality）—— 以 某种数学结构或性质为载体，比定理等结论具有更高的归纳性，跨越不同课程甚至学科。值 得指出，V.I.Arnold 在其“On teaching Mathematics”中指出，诸如存在一个函数既控制所有 四数平方和的表示也控制一个单摆的实际运动的事例对于教学具有重要的意义，此种不同事 物间的关系也能使我们领略到这个世界的和谐之美[13]。 4.1 数学通识事例：“同时对角化” 线性代数中有结论：对任意m 阶对称正定阵 A，任意对称阵 B ，存在非奇异阵G ，满足 T G AG I  ， T G AG   ，此处 I 为单位阵， : ,, diag 1  m 为对角阵，且i    1 i m  ， 0 B A    i 。此结论称为同时对角化。 振动理论中，保守系统在平衡态附近的运动刻画为：设  i x 为曲线坐标，gij 为其度量 张量的协变分量，则有：

系统动能T()=58(x()()x()=x[8n](x()x 系统势能U()=1.aU()x)()=:x(0) L arar/(a)() 2 axOn 此处,[1(x().为对称正定阵,(a()为对称阵,基于上迷的同时对角化,我们可 以先简化动能和势能的形式,然后按 Lagrange- Euler方程便得到解耦的简谐振动方程 [14,15] 微分几何中,m+1维 Euclid空间中光滑曲面的向量值映照刻画即为 2(x):RD13x→∑(x)∈R 在其任意的非奇异点(亦即满足D(x)∈Rm列满秩),则可定义A会(D)(x)D(x) B会-(DE)(x),Dn(x)(此处n(x)为单位法向量场)分别为m阶对称正定阵和对称阵。基于 同时对角化,不仅可定义平均曲率和 Gauss曲率分别为H会∑,K∏,而且可澄清切 空间中存在m个相互正交的主方向,沿某主方向的法截线的曲率恰为某特征值[16]。 综上可见,如果我们所研究的事物中出现由对称正定阵以及对称阵决定的二次型,同时 对角化就能起到简化作用,藉此为获得相关结论提供实质性的支持 42数学通识事例:“反对称阵及其对偶向量” 微积分中众所周知的 Stokes公式为: ∮a(x,y2)d=Jol(xy)hd 此处设向量场为a(x,y,)=(P+Q+R)(xy),曲面Σ的边界为封闭曲线Cm·一般微 积分教材对 Stokes公式的证明,往往独立计算得: 手n((22 x,y,=).n do 类似地可计算其它二个线积分,最终将三者相加即得结论。对此种证法,向量值旋度似乎近 似计算结果,缺乏较为物理的解释。 我们给出 Stokes公式如下的证明,此处线积分项∮a(x,y),d作为整体进行处理。 13页共20页

第 13 页 共 20 页 系统动能             1 1 : 2 2 ij T T t g xt x tx t x g xt x ij ij           ； 系统势能                 1 1 : 2 2 ij T ij ij U U U t xt x tx t x t xt xt xx xx                。 此处，  g xt ij       为对称正定阵，     i j U x t x x          为对称阵。基于上述的同时对角化，我们可 以先简化动能和势能的形式，然后按 Lagrange-Euler 方程便得到解耦的简谐振动方程 [14,15]。 微分几何中，m +1 维 Euclid 空间中光滑曲面的向量值映照刻画即为     1 : m m x x Dx x       在其任意的非奇异点（亦即满足   m m 1 D x     列满秩），则可定义    T A  D xD x   ，    T B    D x Dn x （此处n x  为单位法向量场）分别为m 阶对称正定阵和对称阵。基于 同时对角化，不仅可定义平均曲率和 Gauss 曲率分别为 1 m i i H     ， 1 m i i K     ，而且可澄清切 空间中存在m 个相互正交的主方向，沿某主方向的法截线的曲率恰为某特征值[16]。 综上可见，如果我们所研究的事物中出现由对称正定阵以及对称阵决定的二次型，同时 对角化就能起到简化作用，藉此为获得相关结论提供实质性的支持。 4.2 数学通识事例：“反对称阵及其对偶向量” 微积分中众所周知的 Stokes 公式为：   ,, ,,   Cxyz a x y z dl rota x y z n d          ， 此处设向量场为 a x y z Pi Qi Rk x y z   ,, ,,          ，曲面 的边界为封闭曲线Cxyz 。一般微 积分教材对 Stokes 公式的证明，往往独立计算得：   ,, ,,   Cxyz P P P x y z i dl j k x y z n d z y                         ， 类似地可计算其它二个线积分，最终将三者相加即得结论。对此种证法，向量值旋度似乎近 似计算结果，缺乏较为物理的解释。 我们给出 Stokes 公式如下的证明，此处线积分项  , ,  Cxyz a x y z dl      作为整体进行处理