复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教学研究_教学研究与实践阶段性总结（谢锡麟）

Euclid空间中的张量分析与微分几何 国每中的析分已 性力学 塑性力学 连续介质力学一般理论 (物质系统:Ecd流形,非 Euclid流形) 流体力学 倥气动力学 图2现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Fig. 2 The frame of the knowledge systems with respect to 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研 究的基础性作用,作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极 为适合的数学工具。以微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数,构成 了向量分析或者张量分析的主要内容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识 体系,如图2所示,我们注重以下特征∵:①对于 Euclid空间上的张量分析,主要表现为将张 量定义为多重线性函数,籍此基于简单张量获得张量的表达形式,张量分量间的转换关系等; 引入外积运算,以此研究二阶张量的各种代数性质等;基于一般赋范线性空间上的微分学, 硏究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论,研究一般张量映照[1l2]。② 对于非 Euclid空间( Riemann流形)上的张量分析,主要表现为引入微分流形上微积分的基 本思想及方法;基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量, Riemann度量 Riemann联络( Christoffel符号)以及协变微分等。从思想和方法上而言,非 Euclid空间上 的张量分析应涵盖 Euclid空间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学,首先 基于连续介质的几何形态区分 Euclid微分流形以及非 Euclid微分流形,然后充分基于力学 物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方法研究发生于连续介质之上的力学、物 理,甚至化学、生理过程等。 对于各门知识体系,我们先将其归类成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识 点又由若干“知识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定 按本文作者相关教学研究与实践的现有程度,仅实现特征①;对特征②、③涉及的非 Euclid微分流形上的张量分析以及基 于其上的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在 V.ARnold的系列著作中有着系统且深入的阐述,包括《经典力学的数学方法》、“ Ordinary Differential Equations Differential Equations”,“ Topological Methods in Hydrodyanmics”等 (俄)米先柯,(俄)福明柯著(张爱和译)《微分几何与拓扑学简明教程》应对相关知识体系的建立提供很好的借鉴 李开泰,黄艾香著《张量分析及其应用》(科学出版社2004)涉及张量分析在流体机械等方面的应用 第4页共20页

第 4 页 共 20 页 Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 流体力学 弹性力学 空气动力学 塑性力学 生物力学 图 2 现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Fig.2 The frame of the knowledge systems with respect to modern tensor analysis with continuum mechanics based on it 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研 究的基础性作用，作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极 为适合的数学工具。以微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数，构成 了向量分析或者张量分析的主要内容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识 体系，如图 2 所示，我们注重以下特征* ：①对于 Euclid 空间上的张量分析，主要表现为将张 量定义为多重线性函数，籍此基于简单张量获得张量的表达形式，张量分量间的转换关系等； 引入外积运算，以此研究二阶张量的各种代数性质等；基于一般赋范线性空间上的微分学， 研究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论，研究一般张量映照[12]。② 对于非 Euclid 空间（Riemann 流形）上的张量分析，主要表现为引入微分流形上微积分的基 本思想及方法；基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量，Riemann 度量、 Riemann 联络（Christoffel 符号）以及协变微分等† 。从思想和方法上而言，非 Euclid 空间上 的张量分析应涵盖 Euclid 空间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学，首先 基于连续介质的几何形态区分 Euclid 微分流形以及非 Euclid 微分流形，然后充分基于力学、 物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方法研究发生于连续介质之上的力学、物 理，甚至化学、生理过程等‡ 。 对于各门知识体系，我们先将其归类成若干“知识点”（knowledge point），而每个知识 点又由若干“知识要素”（knowledge element）组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定 * 按本文作者相关教学研究与实践的现有程度，仅实现特征①；对特征②、③涉及的非 Euclid 微分流形上的张量分析以及基 于其上的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在 V.I.Arnold 的系列著作中有着系统且深入的阐述，包括《经典力学的数学方法》、“Ordinary Differential Equations”，“Partial Differential Equations”，“Topological Methods in Hydrodyanmics”等。 † (俄)米先柯, (俄)福明柯著(张爱和译)《微分几何与拓扑学简明教程》应对相关知识体系的建立提供很好的借鉴. ‡ 李开泰，黄艾香著《张量分析及其应用》(科学出版社 2004)涉及张量分析在流体机械等方面的应用

义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合,具有一定独立性或功用性;知识要素即为上 述知识集合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系,有助于澄清知识体系的发展 脉络及发展特征 2.微分学知识体系的辐射性发展特征 众所周知,微积分的核心基础为极限,理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步,微积 分中的极限可以归纳为三类:点列极限,包含级数定义;映照极限,包含可微性定义;部分 和极限,主要用于各类积分定义 从广度而言,微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数;从深度而言,可以分 类为一维 Euclid空间R、有限维 Euclid空间Rm以及一般赋范线性空间上的微分学, 般赋范线性空间上微积分 風范线全时之间照极限R上微积分 集类测)阅 画鱼眼极R上微积分以测集)积分 数极限 定积分 逼近行 使照极 数导数 饭函数定 向量值映照可性 聰映、逆噢定理 范线长空闻之间照可微性 陳范线性句上隐映/逆映照定理 图3微积分知识体系的辐射式发展特征 Fig 3 The sketch of the radical development property of the knowledge system of calculus 对于一维 Euclid空间上的微积分,我们可以归纳函数极限,函数导数,定积分,反函数 定理等知识点。然而,这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Euclid空间,甚至一般赋范线性 空间上的微积分知识体系,如图3所示。特别对于微分学而言,各层次上的知识体系具有高 度的相似性,表现为知识点基本一致,且理论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在 教学中,充分反映“温故而知新”的认知效果,注重基于已有的知识发展新的知识 第5页共20页

第 5 页 共 20 页 义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上 述知识集合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展 脉络及发展特征。 2. 微分学知识体系的辐射性发展特征 众所周知，微积分的核心基础为极限，理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步，微积 分中的极限可以归纳为三类：点列极限，包含级数定义；映照极限，包含可微性定义；部分 和极限，主要用于各类积分定义。 从广度而言，微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数；从深度而言，可以分 类为一维 Euclid 空间 1  、有限维 Euclid 空间 m  以及一般赋范线性空间上的微分学。 “逼近行为” 刻画 点列极限 映照极限 部分和极限 函数极限 函数导数 定积分 反函数定理 向量值映照极限 Jordan可测集上积分 向量值映照可微性 隐映照、逆映照定理 1  上微积分 m 赋范线性空间之间映照极限  上微积分 一般赋范线性空间上微积分 赋范线性空间之间映照可微性 赋范线性空间上隐映照、逆映照定理 一般集类上测度论 图 3 微积分知识体系的辐射式发展特征 Fig.3 The sketch of the radical development property of the knowledge system of calculus 对于一维 Euclid 空间上的微积分，我们可以归纳函数极限，函数导数，定积分，反函数 定理等知识点。然而，这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Euclid 空间，甚至一般赋范线性 空间上的微积分知识体系，如图 3 所示。特别对于微分学而言，各层次上的知识体系具有高 度的相似性，表现为知识点基本一致，且理论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在 教学中，充分反映“温故而知新”的认知效果，注重基于已有的知识发展新的知识

2.1辐射性发展事例:映照可微性 映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似,且误差 为一阶无穷小量;“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可 微性刻画需要自变量空间及值域空间均为赋范线性空间。将按此统一认识列举力学中涉及的 主要映照类型如下: §1.有限维 Euclid之间的向量值映照:f(x):R"=93x→∫(x)∈R”,其可微性定义为 (x+)=()+(x)()+(1),此处红(x)=(R 引入R”上范数:1k=√()2,则有 (x+)=/()+D(+0()Eg,此处D/()=1 §2.张量场映照:(x):R”二93x1(x)Vp;(x)g888g(x)∈T(R"),此处以R 上三阶张量为例,其可微性定义为 c(x+)=(x)+0(x)(b)+o(b),此处a()lL(R"r(g) 引入r(")上范数:1、4=√m,则有 (x+h)=@(x)+V;(x)g'⊙g(x)h+o(h2-) [V(x)g⑧g'因gsg"(x)[Hgn(x)]=(8V)(x)H∈T(R") 此处(x)()=(8V)(x)H,H=H"81(x)为物理空间中的位移。可见,张量分析中张 量场的梯度实质为张量场的“导数 S3.泛函:C"(92)3f(x)F[小』L(x,(x)、V(x)dr∈R,其可微性定义为 F(+h)=F()+(0()+0 此处 4()=(C"()2) 可参见张筑生著《数学分析新讲》第2 ↑按本文作者所知,尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度(其分量形式自然涉及协变导数的定义)。基 于多次教学实践,本文认为就 Euclid空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格;作为一般赋范线性 空间上徽分学的具体实践,也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面,基于张量场的可微性,即可获得张量场方向 导数(包含偏导数)的表达式,籍此可通过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算 第6页共20页

第 6 页 共 20 页 2.1 辐射性发展事例：映照可微性 映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似，且误差 为一阶无穷小量；“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可 微性刻画需要自变量空间及值域空间均为赋范线性空间。将按此统一认识列举力学中涉及的 主要映照类型如下： §1. 有限维 Euclid 之间的向量值映照：  :   m n fx x fx     ，其可微性定义为         m df fx h fx x h oh dx     ，此处     , df m n x L dx    引入 m  上范数：   m    , m   ，则有：      m  n f x h f x Df x h o h        ，此处     n m i f Df x x x              * 。 §2. 张量场映照：           3 : m ik j m lj i k        x x x xg g g x T      ，此处以 m  上三阶张量为例，其可微性定义为：    +      m d xh x x h oh dx       ，此处      3 , d m m xL T dx     。 引入   3 m T  上范数：   3 m ijk      T    ijk ，则有：                    3 =: m ik j l lj i k ik j p q m pj i k q x h x xg g g x h oh x g g g g x hg x x H T                               ， 此处       d x h xH dx     ， :   q H hg x  q 为物理空间中的位移。可见，张量分析中张 量场的梯度实质为张量场的“导数”† 。 §3. 泛函：        ,,     p C f x F f Lxf x f x d        ，其可微性定义为：        C p    dF Ff h Ff f h oh df     ，此处     , dF p f LC df    。 * 可参见张筑生著《数学分析新讲》第 2 册。 † 按本文作者所知，尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度（其分量形式自然涉及协变导数的定义）。基 于多次教学实践，本文认为就 Euclid 空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格；作为一般赋范线性 空间上微分学的具体实践，也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面，基于张量场的可微性，即可获得张量场方向 导数（包含偏导数）的表达式，籍此可通过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算

利用微分同方向导数间的关系:(()=DF()mF(+2)FODR∵,可基于 微积分获得变分临界点所需满足的 Lagrange- Euler方程: (xf(x),V(x)人aL dx love of (x,f(x),Vf(x)=0 22辐射性发展事例:隐映照定理及逆映照定理 有限维 Euclid空间中的隐映照定理及逆映照定理(微分同胚局部存在性定理)可谓有限 维 Euclid空间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理,无论在数学领域还是力学 领域都有诸多重要的应用,例如前者为约束表示,后者为 Legendre变换提供了理论基础 我们可基于有限维 Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理(不动点定理)构造性地证 明上述定理'。然而,完备的赋范线性空间( Banach空间)中依然成立有有界闭集上的压缩映 照定理。故对于一般赋范线性空间之间的映照,当值域空间为 Banach空间时仍成立有隐映照 定理和逆映照定理,且分析的思想和方法几乎完全一致于有限维 Euclid空间上的分析。 例如,对于张量Φ∈T(R"),∈T'(R"),满足约束方程f(,甲)=0∈T("),此处 认为约束方程具有足够的正则性,如果,存在∈T(),∈T(R"),满足: ∫(④0,0)=0 2.Dn/(,y)∈L(T()r(R")为可逆有界线性算子 则有,约束方程在(④。甲)点附近确定了映照:平=g(4)∈T"(R"),且有 D/(,g(①)+Dn/(,g()Dg()=0∈L(7(R"),r(R") 3.知识体系架构:知识点及知识要素 对于一门知识体系,我们建议先以知识点为单位归纳知识体系,然后对每一知识点再归 结为若干知识要素,藉此清晰化和条理化知识体系;在教学中,我们可以知识点安排教学进 度。以下列举我们在相关教学研究与实践中的若干事例 相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式;但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正 本清源。按一般赋范线性空间上的微分学,任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数,且高阶微分的计算也 表现为多次方向导数的计算 ′多有著作基于隐映照定理或逆映照定理推出逆映照定理或隐映照定理;然而,可基于压缩映照定理独立地证明隐映照定理 和逆映照定理,具体的技术性处理,张筑生著《数学分析新讲》(第2册)以及 V..Zorich著“ Mathematical Analysis”(Vol2) 都有极其清晰的叙述,且基本思想及方法基本一致 第7页共20页

第 7 页 共 20 页 利用微分同方向导数间的关系：         0 h lim dF Ff h Ff f h DF f df          * ，可基于 微积分获得变分临界点所需满足的 Lagrange－Euler 方程：   ,, ,, 0       dL L xf x f x xf x f x dx f f              。 2.2 辐射性发展事例：隐映照定理及逆映照定理 有限维 Euclid 空间中的隐映照定理及逆映照定理（微分同胚局部存在性定理）可谓有限 维 Euclid 空间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理，无论在数学领域还是力学 领域都有诸多重要的应用，例如前者为约束表示，后者为 Legendre 变换提供了理论基础。 我们可基于有限维 Euclid 空间中有界闭集上的压缩映照定理（不动点定理）构造性地证 明上述定理† 。然而，完备的赋范线性空间（Banach 空间）中依然成立有有界闭集上的压缩映 照定理。故对于一般赋范线性空间之间的映照，当值域空间为 Banach 空间时仍成立有隐映照 定理和逆映照定理，且分析的思想和方法几乎完全一致于有限维 Euclid 空间上的分析。 例如，对于张量   r m  T  ，   s m  T  ，满足约束方程  , 0    t m f T     ，此处 认为约束方程具有足够的正则性。如果，存在 0   r m  T  ， 0   s m  T  ，满足： 1.   0 0 f   , 0 2.   0 0 , ,     sm tm D f LT T      为可逆有界线性算子 则有，约束方程在  0 0  , 点附近确定了映照：     s m    g T  ，且有：  , , 0,             rm tm D f g D f g Dg L T T            。 3. 知识体系架构：知识点及知识要素 对于一门知识体系，我们建议先以知识点为单位归纳知识体系，然后对每一知识点再归 结为若干知识要素，藉此清晰化和条理化知识体系；在教学中，我们可以知识点安排教学进 度。以下列举我们在相关教学研究与实践中的若干事例。 * 相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式；但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正 本清源。按一般赋范线性空间上的微分学，任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数，且高阶微分的计算也 表现为多次方向导数的计算。 † 多有著作基于隐映照定理或逆映照定理推出逆映照定理或隐映照定理；然而，可基于压缩映照定理独立地证明隐映照定理 和逆映照定理，具体的技术性处理，张筑生著《数学分析新讲》（第 2 册）以及 V.A.Zorich 著“Mathematical Analysis”（Vol.2） 都有极其清晰的叙述，且基本思想及方法基本一致

3.1知识点事例:微积分中“无限小增量公式” 对于函数局部性质的研究,微积分中所提供的主要方法为无限小增量公式 (+24(x=)1+(x-x 亦即在x点附近利用高阶多项式进行逼近。对此知识点,我们归纳如下的知识要素:①直接 基于无限小增量公式,获得基本初等函数的多项式逼近,如:1=1+x+(x).四复 合函数极隈定理,如基于,1的逼近,可得=1+(-x)+0(x").⊙由(x)逼近式, 经“逐项求导”获得(x)的逼近式,经“逐项求积”获得的逼近式∫(),基于 Landau 符号实践“抓住主要矛盾、忽略次要矛盾”如0(2x+(x)=0(x),2∈R'等 作为应用事例,我们可有如下分析 ncos.x=ln1-2,+0(x)|=-x+0(x)-1x2+ox2) +O +o(x3) 2+o(x)+o(r)=-x+o(x) 2 般而言,基于上述四个要素,我们能系统化地获得复杂函数的无限小增量公式 32知识点事例:张量分析中“三维 Euclid空间中张量场场论恒等式推导” 连续介质力学中,我们常需要推导各种形式的张量场场论恒等式。对此,我们归纳如下 的知识要素:① Eddington张量同度量张量之间的关系:e,∈m=6164-0613,此处∈为 Eddington张量的协变分量, Kronecker符号为度量张量的混合型分量。此关系式亦可称为 置换符号同 Kroneck符号间的关系。②Rici引理:度量张量、 Eddington张量对所有坐标曲 线的偏导数为零,亦即v(x),Vg0(x)等均为零。微分几何中,Rici引理对应现联络或 共变微分同 Riemann度量相容。③ Euclid空间基本性质:张量分量的协变导数可以交换次序, 亦即ⅴV=VV。微分几何中, Euclid性(空间的平坦性)对应 Riemann- Christoffel张量 本知识点事例,基于张筑生著《数学分析新讲》(第2册)有关内容进行归纳;第④点由本文补充。 ↑此关系式由本文归纳,将基本初等函数的多项式逼近结合复合函数极限定理,常常得到此关系式的左方形式;基于此关系 就能得以简化。需指岀,有教程在具体问题处理过程中岀现左方形式,但未提及必要的说明 本知识点事例,基于郭仲衡著《张量(理论和应用)》有关内容进行归纳;本文未有补充内容 5此处i为哑标,遵循 Einstein求和约定, 第8页共20页

第 8 页 共 20 页 3.1 知识点事例：微积分中“无限小增量公式”* 对于函数局部性质的研究，微积分中所提供的主要方法为无限小增量公式：      00 0   1 n k n k k fx c c x x o x x             亦即在 0 x 点附近利用高阶多项式进行逼近。对此知识点，我们归纳如下的知识要素：①直接 基于无限小增量公式，获得基本初等函数的多项式逼近。如：   1 1 1 1 n k n k x o x x      。②复 合函数极限定理。如基于 1 1 x 的逼近，可得    3 3 3 1 1 1 1+ n k n k x o x x      。③由 f   x 逼近式， 经“逐项求导”获得   df x dx 的逼近式，经“逐项求积”获得的逼近式 f   x dx  。④基于 Landau 符号实践“抓住主要矛盾、忽略次要矛盾”。如     , pp p o x ox ox      † 等。 作为应用事例，我们可有如下分析： 2 2 22 2 2 33 3 3 2 2 34 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 xx x x x ox ox ox o ox x x ox ox ox                                       一般而言，基于上述四个要素，我们能系统化地获得复杂函数的无限小增量公式。 3.2 知识点事例：张量分析中“三维 Euclid 空间中张量场场论恒等式推导”‡ 连续介质力学中，我们常需要推导各种形式的张量场场论恒等式。对此，我们归纳如下 的知识要素：①Eddington 张量同度量张量之间的关系： ijk j k k j ipq p q p q        § ，此处 ijk  为 Eddington 张量的协变分量，Kronecker 符号 j p  为度量张量的混合型分量。此关系式亦可称为 置换符号同 Kroneck 符号间的关系。②Ricci 引理：度量张量、Eddington 张量对所有坐标曲 线的偏导数为零，亦即   ijk l   x ，l ij g x  等均为零。微分几何中，Ricci 引理对应现联络或 共变微分同 Riemann 度量相容。③Euclid 空间基本性质：张量分量的协变导数可以交换次序， 亦即    pq qp 。微分几何中，Euclid 性（空间的平坦性）对应 Riemann－Christoffel 张量 * 本知识点事例，基于张筑生著《数学分析新讲》（第 2 册）有关内容进行归纳；第④点由本文补充。 † 此关系式由本文归纳，将基本初等函数的多项式逼近结合复合函数极限定理，常常得到此关系式的左方形式；基于此关系 就能得以简化。需指出，有教程在具体问题处理过程中出现左方形式，但未提及必要的说明。 ‡ 本知识点事例，基于郭仲衡著《张量（理论和应用）》有关内容进行归纳；本文未有补充内容。 § 此处 i 为哑标，遵循 Einstein 求和约定